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1、2022年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 誘導(dǎo)公式教案 理 教材分析 這節(jié)內(nèi)容以學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了銳角的三角函數(shù)值為基礎(chǔ)，利用單位圓和三角函數(shù)的定義，導(dǎo)出三角函數(shù)的五組誘導(dǎo)公式，即有關(guān)角k·360°＋α，180°＋α，－α，180°－α，360°－α的公式，并通過運用這些公式，把求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求銳角的三角函數(shù)值，從而滲透了把未知問題化歸為已知問題的化歸思想．這節(jié)課的重點是后四組誘導(dǎo)公式以及這五組公式的綜合運用．把這五組公式用一句話歸納出來，并切實理解這句話中每一詞語的含義，是切實掌握這五組公式的難點所在．準(zhǔn)確把握每一組公式的意義及其中符號語言的特征，并且把公式二、三與圖形對應(yīng)起來，是突破上述

2、難點的關(guān)鍵． 教學(xué)目標(biāo) 1. 在教師的引導(dǎo)下，啟發(fā)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)誘導(dǎo)公式及其證明，培養(yǎng)學(xué)生勇于探求新知、善于歸納總結(jié)的能力． 2. 理解并掌握正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式，并能應(yīng)用這些公式解決一些求值、化簡、證明等問題． 3. 讓學(xué)生體驗探索后的成功喜悅，培養(yǎng)學(xué)生的自信心． 4. 使學(xué)生認(rèn)識到轉(zhuǎn)化“矛盾”是解決問題的有效途徑，進(jìn)一步樹立化歸思想． 任務(wù)分析 誘導(dǎo)公式的重要作用之一就是把求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求銳角的三角函數(shù)值．在五組誘導(dǎo)公式中，關(guān)于180°＋α與－α的誘導(dǎo)公式是最基本的，也是最重要的．在推導(dǎo)這兩組公式時，應(yīng)放手讓學(xué)生獨立探索，尋求“180°＋α與角α的終邊”及“－

3、α與角α的終邊”之間的位置關(guān)系，從而完成公式的推導(dǎo)．此外，要把90°～360°范圍內(nèi)的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)，除了利用第二、四、五個公式外，還可以利用90°＋α，270°±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系．應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在掌握前五組誘導(dǎo)公式的基礎(chǔ)上進(jìn)一步探求新的關(guān)系式，從而使學(xué)生在頭腦中形成完整的三角函數(shù)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)． 教學(xué)設(shè)計 一、問題情境 教師提出系列問題 1. 在初中我們學(xué)習(xí)了求銳角的三角函數(shù)值，現(xiàn)在角的概念已經(jīng)推廣到了任意角，能否把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值呢？ 2. 當(dāng)α＝390°時，能否求出它的正弦、余弦和正切值？ 3. 由2你能否得出一般性的結(jié)論？試說明理由

4、． 二、建立模型 1. 分析1 在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生獨立推出公式（一），即 2. 應(yīng)用1 在公式的應(yīng)用中讓學(xué)生體會公式的作用，即把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為0°～360°范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)值． 練習(xí)：求下列各三角函數(shù)值． （1）cosπ．　?。?）tan405°． 3. 分析2 如果能夠把90°～360°范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值，即可實現(xiàn)“把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值”的目標(biāo)．例如，能否將120°，240°，300°角與我們熟悉的銳角建立某種聯(lián)系，進(jìn)而求出其余弦值？ 引導(dǎo)學(xué)生利用三角函數(shù)的定義并借助圖形，得到如下結(jié)果： cos120°

5、＝cos（180°－60°）＝－cos60°＝－， cos240°＝cos（180°＋60°）＝－cos60°＝－， cos300°＝cos（360°＋60°）＝cos60°＝． 4. 分析3 一般地，cos（180°＋α），cos（180°－α），cos（360°－α）與cosα的關(guān)系如何？你能證明自己的結(jié)論嗎？由學(xué)生獨立完成下述推導(dǎo)： 設(shè)角α的終邊與單位圓交于點P（x，y）．由于角180°＋α的終邊就是角α的終邊的反向延長線，則角180°＋α的終邊與單位圓的交點P′與點P關(guān)于原點O對稱． 由此可知，點P′的坐標(biāo)是（－x，－y）． 又∵單位圓的半徑r＝1，∴cosα＝x，sin

6、α＝y(tǒng)，tanα＝，cos（180°＋α）＝－x，sin（180°＋α）＝－y，tan（180°＋α）＝． 從而得到： 5. 分析4 在推導(dǎo)公式三時，學(xué)生會遇到如下困難，即：若α為任意角，180°－α與角α的終邊的位置關(guān)系不容易判斷．這時，教師可引導(dǎo)學(xué)生借助公式二，把180°－α看成180°＋（－α），即：先把180°－α的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為－α的三角函數(shù)值，然后通過尋找－α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，使原問題得到解決． 由學(xué)生獨立完成如下推導(dǎo)： 如圖，設(shè)任意角α的終邊與單位圓相交于P（x，y），角－α的終邊與單位圓相交于點P′．∵這兩個角的終邊關(guān)于ｘ軸對稱，∴點P′的

7、坐標(biāo)是（x，－y）．又∵r＝1，∴cos（－α）＝x， sin（－α）＝－y，tan（－α）＝ 從而得到： 進(jìn)而推出： 注：在問題的解決過程中，教師要注意讓學(xué)生充分體驗成功的快樂． 6. 教師歸納 公式（一）、（二）、（三）、（四）、（五）都叫作誘導(dǎo)公式，利用它們可以把k·360°＋α，180°±α，－α，360°－α的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為α的三角函數(shù)．那么，在轉(zhuǎn)化過程中，發(fā)生了哪些變化？這種變化是否存在著某種規(guī)律？ 引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下概括：α＋k·360°（k∈Z），－α，180°±α，360°－α的三角函數(shù)值，等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號．為了

8、便于記憶，還可編成一句口訣“函數(shù)名不變，符號看象限”． 三、解釋應(yīng)用 ［例　題］ 1. 求下列各三角函數(shù)值． 通過應(yīng)用，讓學(xué)生體會誘導(dǎo)公式的作用： ①把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，其一般步驟為 評注：本題中，若代入cosα·cot3α形式，就須先求得cosα的值．由于不能確定角α所在象限，解題過程將變得煩鎖．以此提醒學(xué)生注意選取合理形式解決問題． 四、拓展延伸 教師出示問題：前面我們利用三角函數(shù)的定義及對稱性研究了角α＋k·360°（k∈Z），－α，180°±α，360°－α的三角函數(shù)與角α的三角函數(shù)之間的關(guān)系，這些角有一個共同點，即：均為180°的整數(shù)倍加、減

9、α．但是，在解題過程中，還會遇到另外的情況，如前面遇到的120°角，它既可以寫成180°－60°，也可以寫成90°＋30°，那么90°＋α的三角函數(shù)與α的三角函數(shù)有著怎樣的關(guān)系呢？ 學(xué)生探究：經(jīng)過獨立探求后，有學(xué)生可能會得到如下結(jié)果： 設(shè)角α的終邊與單位圓交于點P（x，y），角90°＋α的終邊與單位圓交于點P′（x′，y′）（如圖），則cosα＝x，sinα＝y(tǒng)，cos（90°＋α）＝x′，sin（90°＋α）＝y(tǒng)′． 過P作PM⊥x軸，垂足為M，過P′作P′M′⊥y軸，垂足為M′，則△OPM≌△OP′M′，∴OM＝OM′，MP＝M′P′，即x＝y(tǒng)′，y＝x′． 進(jìn)而得到cos（9

10、0°＋α）＝sinα，sin（90°＋α）＝cosα．對此結(jié)論和方法，教師不宜作任何評論，而應(yīng)放手讓學(xué)生展開辯論和交流，最后得到正確結(jié)果： 由于OM與OM′，MP與M′P′僅是長度相等，而當(dāng)點P在第一象限時，P′在第二象限，∴x′＜0，y′＞0， 又∵x＞0，y＞0，∴x′＝－y，y′＝x． 從而得到： 教師進(jìn)一步引導(dǎo)： （1）推導(dǎo)上面的公式時，利用了點P在第一象限的條件．當(dāng)點Ｐ不在第一象限時，是否仍有上面的結(jié)論？ （通過多媒體演示角α的終邊在不同象限的情景，使學(xué)生理解公式六中的角α可以為任意角） （2）推導(dǎo)公式六時，采用了初中的平面幾何知識．是否也能像推導(dǎo)前五組公式那樣采用

11、對稱變換的方式呢？ 學(xué)生探究：學(xué)生先針對α為銳角時的情況進(jìn)行探索，再推廣到α為任意角的情形． 設(shè)角α的終邊與單位圓交點為P（x，y），＋α的終邊與單位圓的交點為P′（x′，y′）（如圖）．由于角α的終邊經(jīng)過下述變換：2（－α） ＋2a＝，即可得到＋α的終邊．這是兩次對稱變換，即先作P關(guān)于直線y＝x的對稱點M（y，x），再作點M關(guān)于y軸的對稱點P′（－y，－x），∴x′＝－y，y′＝x． 由此，可進(jìn)一步得到： 教師歸納：公式六、七、八、九也稱作誘導(dǎo)公式，利用它們可以把90°±α，270°±α的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為α的三角函數(shù)． 引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出： 90°±α，270°±α的三角函

12、數(shù)值等于α的余名函數(shù)值，前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號． 兩套公式合起來，可統(tǒng)一概括為 對于k·90°±α（k∈Z）的各三角函數(shù)值，當(dāng)k為偶數(shù)時，得α的同名函數(shù)值；當(dāng)k為奇數(shù)時，得α的余名函數(shù)值．然后，均在前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號．為了便于記憶，也可編成口訣：“奇變偶不變，符號看象限”． 點　評 這篇案例從學(xué)生的實際出發(fā)，充分尊重學(xué)生的思維特點，通過創(chuàng)設(shè)問題情境，引發(fā)認(rèn)知沖突，較好地調(diào)動了學(xué)生的積極性和主動性，符合新課程理念的精神．在教學(xué)設(shè)計中，教師以學(xué)生活動為主，注意師生互動，體現(xiàn)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)．實際的課堂教學(xué)表明，在教學(xué)過程中，教師對每名同學(xué)的發(fā)言都給以充分地鼓勵，即使他的解法不完美，甚至不正確．這對保護(hù)學(xué)生大膽嘗試、認(rèn)真思考的積極性至關(guān)重要．只有這樣，才能將教學(xué)效果落實到學(xué)生個體的學(xué)習(xí)行為上，進(jìn)而實現(xiàn)預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)．總之，這篇案例的突出特點就是，注意通過問題驅(qū)動的方式，激發(fā)學(xué)生主動探究的熱情，完成五組誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)．缺陷是，在關(guān)注五組誘導(dǎo)公式推導(dǎo)的“一氣呵成”的同時，鞏固、強(qiáng)化工作顯得單?。@是一對棘手的矛盾！