12、小船勻速橫渡一條河流，當(dāng)船頭垂直對岸方向航行時，在出發(fā)后10 min到達(dá)對岸下游120 m處；若船頭保持與河岸成α角向上游航行，出發(fā)后12.5 min到達(dá)正對岸。求：
(1)水流的速度；
(2)小船在靜水中的速度、河的寬度以及船頭與河岸間的夾角α。
[解析] (1)船頭垂直對岸方向航行時，如圖甲所示。
由x＝v2t1得v2＝＝ m/s＝0.2 m/s。
(2)船頭保持與河岸成α角航行時，如圖乙所示。
由圖甲可得d＝v1t1
v2＝v1cos α
d＝v1t2sin α
聯(lián)立解得α＝53°，v1≈0.33 m/s，d＝200 m。
[答案] (1)0.2 m/s (2)0
13、.33 m/s 200 m 53°
[易錯提醒]
(1)船的航行方向即船頭指向，是分運動；船的運動方向是船的實際運動方向，是合運動，一般情況下與船頭指向不一致。
(2)渡河時間只與船垂直于河岸方向的分速度有關(guān)，與水流速度無關(guān)。
(3)船沿河岸方向的速度為船在靜水中的速度沿岸方向的分速度與水流速度的合速度，而船頭垂直于河岸方向時，船沿河岸方向的速度等于水流速度。
[集訓(xùn)沖關(guān)]
1.[多選](2018·淮安模擬)小船橫渡一條兩岸平行的河流，船在靜水中的速度大小不變，船頭始終垂直指向河的對岸，水流速度方向保持與河岸平行，若小船的運動軌跡如圖所示，則( )
A．越接近河岸水流速度越
14、大
B．越接近河岸水流速度越小
C．小船渡河的時間會受水流速度變化的影響
D．小船渡河的時間不會受水流速度變化的影響
解析：選BD 從軌跡曲線的彎曲形狀上可以知道，小船先具有向下游的加速度，小船后具有向上游的加速度，故加速度是變化的，由于水流是先加速后減速，即越接近河岸水流速度越小，故A錯誤，B正確。由于船身方向垂直于河岸，無論水流速度是否變化，這種渡河方式耗時最短，即船渡河的時間不會受水流速度變化的影響，選項C錯誤，D正確。
2.(2018·如東、豐縣聯(lián)考)一只小船渡河，運動軌跡如圖所示。水流速度各處相同且恒定不變，方向平行于岸邊；小船相對于靜水分別做勻加速、勻減速、勻速直線運動，
15、船相對于靜水的初速度大小均相同、方向垂直于岸邊，且船在渡河過程中船頭方向始終不變，由此可以確定( )
A．船沿AD軌跡運動時，船相對于靜水做勻加速直線運動
B．船沿三條不同路徑渡河的時間相同
C．船沿AB軌跡渡河所用的時間最短
D．船沿AC軌跡到達(dá)對岸前瞬間的速度最大
解析：選D 當(dāng)沿AD軌跡運動時，則加速度方向與船在靜水中的速度方向相反，因此船相對于水做勻減速直線運動，故A錯誤；船相對于水的初速度大小均相同，方向垂直于岸邊，因運動的性質(zhì)不同，則渡河時間也不同，故B錯誤；沿AB軌跡，做勻速直線運動，則渡河所用的時間大于沿AC軌跡運動渡河時間，故C錯誤；沿AC軌跡，垂直河岸方向船是做
16、勻加速運動，則船到達(dá)對岸的速度最大，故D正確。
3.(2018·徐州三中月考)某物理興趣小組的同學(xué)在研究運動的合成和分解時，駕駛一艘快艇進(jìn)行了實地演練。如圖所示，在寬度一定的河中的O點固定一目標(biāo)靶，經(jīng)測量該目標(biāo)靶距離兩岸的最近距離分別為MO＝15 m、NO＝12 m，水流的速度平行河岸向右，且速度大小為v1＝8 m/s，快艇在靜水中的速度大小為v2＝10 m/s。現(xiàn)要求快艇從圖示中的下方河岸出發(fā)完成以下兩個過程：第一個過程以最短的時間運動到目標(biāo)靶；第二個過程由目標(biāo)靶以最小的位移運動到圖示中的上方河岸。在下列說法中正確的是( )
A．快艇的出發(fā)點位于M點左側(cè)8 m處
B．第一個過程所用的
17、時間約為1.17 s
C．第二個過程快艇的船頭方向應(yīng)垂直河岸
D．第二個過程所用的時間為2 s
解析：選D 第一個過程以最短的時間運動到目標(biāo)靶，當(dāng)船頭的方向始終與河岸垂直時，船到達(dá)O點的時間最短，最短時間為：t1＝＝ s＝1.5 s，該過程中，船隨水流向下游方向的位移：x＝v1t1＝8×1.5 m＝12 m，可知船開始時要位于M左
側(cè)12 m處，故A、B均錯誤；第二個過程由目標(biāo)靶以最小的位移運動到圖示中的上方河岸，則船頭的方向要向河的上游有一定的角度θ，此時：v2cos θ＝v1，得cos θ＝0.8，第二個過程所用的時間為：t2＝＝ s＝2 s，故C錯誤，D正確。
突破點(四) 繩
18、(桿)端速度分解問題
兩物體通過繩(桿)相牽連，當(dāng)兩物體都發(fā)生運動時，兩物體的速度往往不相等，但因繩(桿)的長度是不變的，因此兩物體的速度沿繩(桿)方向的分速度是大小相等的。
[典例] (2018·興平市一模)如圖所示，一塊橡皮用細(xì)線懸掛于O點。用釘子靠著線的左側(cè)，沿與水平方向成30°的斜面向右上以速度v勻速運動，運動中始終保持懸線豎直，則橡皮運動的速度( )
A．大小為v，方向不變和水平方向成60°
B．大小為v，方向不變和水平方向成60°
C．大小為2v，方向不變和水平方向成60°
D．大小和方向都會改變
[解析] 橡皮沿斜面向右上運動的位移一定等于橡皮向上的位移，故在
19、豎直方向以相等的速度v勻速運動，根據(jù)平行四邊形定則，可求得合速度大小為v，方向不變和水平方向成60°。
[答案] B
[內(nèi)化模型]
1．熟記常見模型
2．謹(jǐn)記解題思路
[集訓(xùn)沖關(guān)]
1.(2018·靖江月考)如圖所示，一輕繩通過無摩擦的小定滑輪O與小球B連接，另一端與套在光滑豎直桿上的小物塊A連接，桿兩端固定且足夠長，物塊A由靜止從圖示位置釋放后，先沿桿向上運動。設(shè)某時刻物塊A運動的速度大小為vA，小球B運動的速度大小為vB，輕繩與桿的夾角為θ。則( )
A．vA＝vBcos θ
B．vB＝vAcos θ
C．A上升過程中繩中張力不變
D．A上升過程中
20、，繩中張力始終小于B的重力
解析：選B 將物塊A的速度分解為沿繩子方向和垂直于繩子的方向，在沿繩子方向的分速度等于B的速度。在沿繩子方向的分速度為vAcos θ，所以vB＝vAcos θ，故A錯誤，B正確。A、B組成的系統(tǒng)因重力做功，開始的時候B的速度逐漸增大，但是由于vB＝vAcos θ，當(dāng)θ＝90°時，則B的速度為0，所以B的速度一定是先增大后減小。知B先向下加速后向下減速，加速度方向先向下后向上，拉力先小于重力后大于重力，故C、D錯誤。
2.如圖所示，工廠生產(chǎn)流水線上的工件以3 m/s的速度連續(xù)不斷地向右勻速運動，在切割工序的P處，割刀的速度為6 m/s(相對地)。為了使割下的工件都
21、成規(guī)定尺寸的矩形，關(guān)于割刀相對工件的速度大小和方向，下列判斷正確的是( )
A．大小為3 m/s，方向與工件的邊界成60°角
B．大小為3 m/s，方向與工件的邊界垂直
C．大小為3 m/s，方向與工件的邊界成60°角
D．大小為3 m/s，方向與工件的邊界垂直
解析：選B 為了使割下的工件都成規(guī)定尺寸的矩形，割刀相對工件的速度方向必須和工件的邊界垂直，故A、C錯誤；割刀相對工件的速度和工件的速度都是分速度，割刀相對地的速度是合速度，所以割刀相對工件的速度大小為：v相＝ m/s＝3 m/s，故B正確，D錯誤。
22、
生活中的運動合成問題
(一)騎馬射箭
1.[多選]民族運動會上有一騎射項目如圖所示，運動員騎在奔跑的馬上，彎弓放箭射擊側(cè)向的固定目標(biāo)。假設(shè)運動員騎馬奔馳的速度為v1，運動員靜止時射出的箭速度為v2，跑道離固定目標(biāo)的最近距離為d。要想命中目標(biāo)且射出的箭在空中飛行時間最短，則( )
A．運動員放箭處離目標(biāo)的距離為
B．運動員放箭處離目標(biāo)的距離為
C．箭射到固定目標(biāo)的最短時間為
D．箭射到固定目標(biāo)的最短時間為
解析：選BC 要想以箭在空中飛行的時間最短的情況下?lián)糁心繕?biāo)，v2必須垂
23、直于v1，并且v1、v2的合速度方向指向目標(biāo)，如圖所示，故箭射到目標(biāo)的最短時間為，C對，D錯；運動員放箭處離目標(biāo)的距離為，又x＝v1t＝v1·，故＝ ＝，A錯，B對。
(二)轉(zhuǎn)臺投籃
2．趣味投籃比賽中，運動員站在一個旋轉(zhuǎn)較快的大平臺邊緣上，相對平臺靜止，向平臺圓心處的球筐內(nèi)投籃球。則下圖各俯視圖中籃球可能被投入球筐(圖中箭頭指向表示投籃方向)的是( )
解析：選C 當(dāng)沿圓周切線方向的速度和出手速度的合速度沿球筐方向，球就會被投入球筐。故C正確，A、B、D錯誤。
(三)下雨打傘
3．雨滴在空中以4 m/s的速度豎直下落，人打傘以3 m/s的速度向西急行，如果希望雨滴垂直打向傘的
24、截面而少淋雨，傘柄應(yīng)指向什么方向？
解析：雨滴相對于人的速度方向即為傘柄的指向。雨滴相對人有向東3 m/s的速度v1，有豎直向下的速度v2＝4 m/s，如圖所示，雨滴對人的合速度v＝＝5 m/s。
tan α＝＝，即α＝37°。
答案：向西傾斜，與豎直方向成37°角
(四)風(fēng)中騎車
4．某人騎自行車以4 m/s的速度向正東方向行駛，天氣預(yù)報報告當(dāng)時是正北風(fēng)，風(fēng)速為4 m/s，那么，騎車人感覺到的風(fēng)向和風(fēng)速為( )
A．西北風(fēng) 風(fēng)速為4 m/s B．西北風(fēng) 風(fēng)速為4 m/s
C．東北風(fēng) 風(fēng)速為4 m/s D．東北風(fēng) 風(fēng)速為4 m/s
解析：選D 以騎車人為參考系，人
25、向正東方向騎行，感覺風(fēng)向正西，風(fēng)速大小為v1＝4 m/s，當(dāng)時有正北風(fēng)，人感覺到的風(fēng)向為正南，風(fēng)速為v2＝4 m/s，如圖所示，可求得人感覺到的風(fēng)向為東北風(fēng)，風(fēng)速v＝4 m/s，D正確。
對點訓(xùn)練：物體做曲線運動的條件與軌跡分析
1．(2018·重慶月考)關(guān)于兩個運動的合成，下列說法正確的是( )
A．兩個直線運動的合運動一定也是直線運動
B．方向不共線的兩個勻速直線運動的合運動一定也是勻速直線運動
C．小船渡河的運動中，小船的對地速度一定大于水流速度
D．小船渡河的運動中，水流速度越大，小船渡河所需時間越短
解析：選B 兩個直線運動可以合成為直線運動(勻速直線＋勻速直
26、線)，也可以合成為曲線運動(勻變速直線＋勻速直線)，故選項A錯誤；兩個分運動為勻速直線運動，沒有分加速度，合運動就沒有加速度，則合運動一定是勻速直線運動，則選項B正確；小船對地的速度是合速度，其大小可以大于水速(分速度)，等于水速，或小于水速，故選項C錯誤；渡河時間由小船垂直河岸方向的速度決定，由運動的獨立性知與水速的大小無關(guān)，選項D錯誤。
2.(2018·南京模擬)在光滑水平面上運動的物體，受到水平恒力F作用后，沿曲線MN運動，速度方向改變了90°，如圖所示，則此過程中，物體受到的恒力可能是( )
A．F1 B．F2
C．F3 D．F4
解析：選C 由題圖
27、可知，物體從M向N運動的過程中，沿初速度的方向做減速運動，所以具有與初速度方向相反的分力；同時物體向右做加速運動，所以物體還受到向右的作用力。所以物體受到的合力的方向沿F3的方向。故C正確，A、B、D錯誤。
3.(2018·蘇州模擬)現(xiàn)在很多教室都安裝可以沿水平方向滑動的黑板，如圖所示。在黑板以某一速度向左勻速運動的同時，一位教師用粉筆在黑板上畫線，粉筆相對于墻壁從靜止開始先勻加速向下畫，接著勻減速向下畫直到停止，則粉筆在黑板上畫出的軌跡可能為( )
解析：選D 粉筆相對黑板以某一速度水平向右勻速運動，同時從靜止開始先勻加速向下運動，再勻減速向下運動至停止，根據(jù)做曲線運動的物體所受合
28、外力一定指向曲線凹側(cè)，則粉筆在水平方向始終勻速，在豎直方向先向下加速時，曲線向下彎曲；后向下減速，則曲線向上彎曲，故D正確；A、B、C錯誤。
對點訓(xùn)練：運動的合成與分解的應(yīng)用
4．(2018·蘇南七校聯(lián)考)帆船船頭指向正東以速度v(靜水中速度)航行，海面正刮著南風(fēng)，風(fēng)速為v，以海岸為參考系，不計阻力。關(guān)于帆船的實際航行方向和速度大小，下列說法正確的是( )
A．帆船沿北偏東30°方向航行，速度大小為2v
B．帆船沿東偏北60°方向航行，速度大小為v
C．帆船沿東偏北30°方向航行，速度大小為2v
D．帆船沿東偏南60°方向航行，速度大小為v
解析：選A 由于帆船的船頭指向正東，
29、并以相對靜水中的速度v航行，南風(fēng)以v的風(fēng)速吹來，當(dāng)以海岸為參考系時，實際速度v實＝ ＝2v，cos α＝＝，α＝30°，即帆船沿北偏東30°方向航行，選項A正確。
5．[多選]如圖1所示，在一端封閉的光滑細(xì)玻璃管中注滿清水，水中放一個紅蠟做成的小圓柱體R。將玻璃管的開口端用膠塞塞緊后豎直倒置且與y軸重合，R從坐標(biāo)原點以v0＝3 cm/s勻速上浮的同時，玻璃管沿x軸正方向運動，玻璃管的v-t圖像如圖2所示，則( )
A．R做勻加速直線運動
B．2 s內(nèi)R路程為 cm
C．2 s末R速度為5 cm/s
D．2 s末R坐標(biāo)為(4 cm,6 cm)
解析：選CD R在y軸方向做勻速運
30、動，而在x軸方向上為勻加速直線運動，故合運動一定為勻變速曲線運動，故A錯誤；由題圖知小圓柱體R在x軸豎直方向做勻加速運動，有：vx＝at，
解得：a＝＝ cm/s2＝2 cm/s2，
在x軸方向做初速為0的勻加速直線運動，
有：sx＝at2，
2 s末沿x軸方向的位移：sx＝×2×22 cm＝4 cm
沿y軸方向的位移：sy＝v0t＝3×2 cm＝6 cm
所以2 s末R的坐標(biāo)為(4 cm,6 cm)
2 s內(nèi)的位移：s＝＝ cm＝ cm
由于R做曲線運動，可知R的路程大于位移大小，所以R的路程大于 cm，故B錯誤，D正確；2 s末R沿x軸方向的分速度：vx＝at＝2×2 cm
31、/s＝4 cm/s
所以2 s末R的速度：v＝＝ cm/s＝5 cm/s，故C正確。
6．如圖所示，在豎直平面內(nèi)的xOy坐標(biāo)系中，Oy豎直向上，Ox水平。設(shè)平面內(nèi)存在沿x軸正方向的恒定風(fēng)力。一小球從坐標(biāo)原點沿Oy方向豎直向上拋出，初速度為v0＝4 m/s，不計空氣阻力，到達(dá)最高點的位置如圖中M點所示，(坐標(biāo)格為正方形，g取10 m/s2)求：
(1)小球在M點的速度v1；
(2)在圖中定性畫出小球的運動軌跡并標(biāo)出小球落回x軸時的位置N；
(3)小球到達(dá)N點的速度v2的大小。
解析：(1)設(shè)正方形的邊長為s0。
小球豎直方向做豎直上拋運動，v0＝gt1,2s0＝t1
水平方向
32、做勻加速直線運動，3s0＝t1
解得v1＝6 m/s。
(2)由豎直方向運動的對稱性可知，小球再經(jīng)過t1到x軸，水平方向做初速度為零的勻加速直線運動，所以回到x軸時落到x＝12處，位置N的坐標(biāo)為(12,0)，運動軌跡及N如圖。
(3)到N點時豎直分速度大小為v0＝4 m/s，
水平分速度vx＝a水平tN＝2v1＝12 m/s，
故v2＝＝4 m/s。
答案：(1)6 m/s (2)見解析圖 (3)4 m/s
對點訓(xùn)練：小船渡河問題
7．[多選](2018·遂寧模擬)一快艇要從岸邊某一不確定位置A處到達(dá)河中離岸邊25 m遠(yuǎn)的一浮標(biāo)B處，已知快艇在靜水中的速度vx圖像和向右水流
33、的速度vy圖像如圖甲、乙所示，則下列說法中正確的是( )
A．快艇的運動軌跡為直線
B．快艇的運動軌跡為曲線
C．快艇最快到達(dá)浮標(biāo)處的時間為10 s
D．快艇最快到達(dá)浮標(biāo)處經(jīng)過的位移大小為30 m
解析：選BC 兩分運動一個做勻加速直線運動，一個做勻速直線運動，知合加速度的方向與合速度的方向不在同一條直線上，合運動為曲線運動，故A錯誤、B正確；快艇在河中的靜水速度垂直于河岸時，時間最短，在垂直于河岸方向上的加速度a＝0.5 m/s2，由d＝at2得，t＝10 s，故C正確；在沿河岸方向上的位移x＝v2t＝3×10 m＝30 m，所以最終位移s＝＝5 m，故D錯誤。
8.(20
34、18·淮安月考)如圖所示，小船過河時，船頭偏向上游與水流方向成α角，船相對于靜水的速度為v，其航線恰好垂直于河岸?，F(xiàn)水流速度稍有增大，為保持航線不變，且準(zhǔn)時到達(dá)對岸，下列措施中可行的是( )
A．減小α角，增大船速v B．增大α角，增大船速v
C．減小α角，保持船速v不變 D．增大α角，保持船速v不變
解析：選B 因為合速度方向指向河岸且大小不變，由運動的合成知識可得：vcos β＝v水，α＋β＝180°，而vsin β不變，則當(dāng)水流速度稍有增大時，可減小β角(即增大α角)，同時增大船速v，選項B正確；減小α角，增大船速v，合速度方向?qū)⒆兓?，A錯誤；保持船速v不變，減小或增大α
35、角，合速度都將變化，C、D錯誤。
9．(2018·合肥檢測)有一條兩岸平直、河水均勻流動，流速恒為v的大河，一條小船渡河，去程時船頭指向始終與河岸垂直，回程時行駛路線與河岸垂直，小船在靜水中的速度大小為，回程與去程所用時間之比為( )
A．3∶2 B．2∶1
C．3∶1 D．2∶1
解析：選B 設(shè)河寬為d，則去程所用的時間t1＝＝；返程時的合速度：v′＝ ＝，回程的時間為：t2＝＝；故回程與去程所用時間之比為t2∶t1＝2∶1，選項B正確。
對點訓(xùn)練：繩(桿)端速度分解問題
10.[多選](2018·昆山月考)如圖所示，一輛貨車?yán)每邕^光滑定滑輪的輕質(zhì)纜繩提
36、升一箱貨物，已知貨箱的質(zhì)量為M，貨物的質(zhì)量為m，貨車以速度v向左做勻速直線運動，重力加速度為g，則下列說法正確的是( )
A．到達(dá)圖示位置時，貨箱向上運動的速度大于
B．到達(dá)圖示位置時，貨箱向上運動的速度等于vcos θ
C．運動過程中，M受到繩的拉力等于Mg
D．運動過程中，M受到繩的拉力大于Mg
解析：選BD 將貨車的速度進(jìn)行正交分解，如圖所示。
由于繩子不可伸長，貨箱和貨物整體向上運動的速度和貨車速度沿著繩子方向的分量相等，故：v1＝vcos θ
由于θ不斷減小，故貨箱和貨物整體向上做加速運動，加速度向上，故A錯誤，B正確；貨箱和貨物整體向上做加速運動，故拉力大于(M＋m
37、)g，自然大于Mg，故C錯誤，D正確。
11.如圖所示，水平光滑長桿上套有一物塊Q，跨過懸掛于O點的輕小光滑圓環(huán)的細(xì)線一端連接Q，另一端懸掛一物塊P。設(shè)細(xì)線的左邊部分與水平方向的夾角為θ，初始時θ很小?，F(xiàn)將P、Q由靜止同時釋放，關(guān)于P、Q以后的運動下列說法正確的是( )
A．當(dāng)θ＝60°時，P、Q的速度之比是∶2
B．當(dāng)θ＝90°時，Q的速度最大
C．當(dāng)θ＝90°時，Q的速度為零
D．當(dāng)θ向90°增大的過程中Q的合力一直增大
解析：選B P、Q用同一根繩連接，則Q沿繩子方向的速度與P的速度相等，則當(dāng)θ＝60°時，Q的速度vQcos 60°＝vP，解得：＝，故A錯誤；P的機械能最小
38、時，即為Q到達(dá)O點正下方時，此時Q的速度最大，即當(dāng)θ＝90°時，Q的速度最大，故B正確，C錯誤；當(dāng)θ向90°增大的過程中Q的合力逐漸減小，當(dāng)θ＝90°時，Q的速度最大，加速度最小，合力最小，故D錯誤。
考點綜合訓(xùn)練
12.(2018·雨花臺模擬)如圖所示，物體A、B經(jīng)無摩擦的定滑輪用細(xì)線連在一起，A物體受水平向右的力F的作用，此時B勻速下降，A水平向左運動，可知( )
A．物體A做勻速運動
B．物體A做加速運動
C．物體A所受摩擦力逐漸增大
D．物體A所受摩擦力不變
解析：選B 設(shè)系在A上的細(xì)線與水平方向夾角為θ，物體B的速度為vB，大小不變，細(xì)線的拉力為FT，則物體A的速度v
39、A＝，F(xiàn)fA＝μ(mg－FTsin θ), 因物體B下降，θ增大，故vA增大，物體A做加速運動，A錯誤，B正確；物體B勻速下降，F(xiàn)T不變，故隨θ增大，F(xiàn)fA減小，C、D均錯誤。
13.[多選]如圖所示，用一根長桿和兩個定滑輪的組合裝置來提升重物M，長桿的一端放在地上通過鉸鏈連接形成轉(zhuǎn)軸，其端點恰好處于左側(cè)滑輪正下方O點處，在桿的中點C處拴一細(xì)繩，通過兩個滑輪后掛上重物M。C點與O點距離為L，現(xiàn)在桿的另一端用力使其逆時針勻速轉(zhuǎn)動，由豎直位置以角速度ω緩慢轉(zhuǎn)至水平(轉(zhuǎn)過了90°角)，此過程中下列說法正確的是( )
A．重物M做勻速直線運動
B．重物M做勻變速直線運動
C．重物M的最大速度
40、是ωL
D．重物M的速度先增大后減小
解析：選CD 與桿垂直的速度v是C點的實際速度，vT是細(xì)繩的速度，即重物M的速度。設(shè)vT與v的夾角是θ，則vT＝vcos θ，開始時θ減小，則vT增大；當(dāng)桿與細(xì)繩垂直(θ＝0)時，重物M的速度最大，為vmax＝ωL，然后再減小，C、D正確。
14.(2018·贛州期末)如圖所示，河寬d＝120 m，設(shè)船在靜水中的速度為v1，河水的流速為v2，小船從A點出發(fā)，在渡河時，船身保持平行移動，若出發(fā)時船頭指向河對岸的上游B點處，經(jīng)過10 min，小船恰好到達(dá)河正對岸的C點，若出發(fā)時船頭指向河正對岸的C點，經(jīng)過8 min小船到達(dá)C點下游的D點處，求：
(1)
41、小船在靜水中的速度v1的大??；
(2)河水的流速v2的大??；
(3)在第二次渡河中小船被沖向下游的距離sCD。
解析：(1、2)當(dāng)船頭指向B時，合速度v＝，
則有：＝＝＝12 m/min，
當(dāng)船頭指向C點時，有：v1＝＝＝15 m/min＝0.25 m/s，
解得v2＝9 m/min＝0.15 m/s。
(3)在第二次渡河中小船被沖向下游的距離sCD＝v2t2＝0.15×480 m＝72 m。
答案：(1)0.25 m/s (2)0.15 m/s (3)72 m
第2節(jié)拋體運動
(1)以一定的初速度水平拋出的物體的運動是平拋運動。(×)
(2)做平拋運
42、動的物體的速度方向時刻在變化，加速度方向也時刻在變化。(×)
(3)做平拋運動的物體初速度越大，水平位移越大。(×)
(4)做平拋運動的物體，初速度越大，在空中飛行時間越長。(×)
(5)從同一高度平拋的物體，不計空氣阻力時，在空中飛行的時間是相同的。( √)
(6)無論平拋運動還是斜拋運動，都是勻變速曲線運動。(√)
(7)做平拋運動的物體，在任意相等的時間內(nèi)速度的變化量是相同的。(√)
突破點(一) 平拋運動的規(guī)律
1．基本規(guī)律
(1)速度關(guān)系
(2)位移關(guān)系
2．實用結(jié)論
(1)速度改變量：物體在任意相等時間內(nèi)的速度改變量Δv＝gΔt相同，方向恒為豎
43、直向下，如圖甲所示。
(2)水平位移中點：因tan α＝2tan β，所以O(shè)C＝2BC，即速度的反向延長線通過此時水平位移的中點，如圖乙所示。
[題點全練]
1.(2018·南京調(diào)研)如圖所示，將小球從空中的A點以速度v0水平向右拋出，不計空氣阻力，小球剛好擦過豎直擋板落在地面上的B點。若使小球仍剛好擦過豎直擋板且落在地面上的B點右側(cè)，下列方法可行的是( )
A．在A點正上方某位置將小球以小于v0的速度水平拋出
B．在A點正下方某位置將小球以大于v0的速度水平拋出
C．在A點將小球以大于v0的速度水平拋出
D．在A點將小球以小于v0的速度水平拋出
解析：選B 根據(jù)平拋運動
44、的規(guī)律h＝gt2，水平位移x＝v0t可知選項B正確。
2.(2018·南通模擬)體育課進(jìn)行定點投籃訓(xùn)練，某次訓(xùn)練中，籃球運動軌跡如圖中虛線所示。下列所做的調(diào)整肯定不能使球落入籃筐的是( )
A．保持球拋出方向不變，增加球出手時的速度
B．保持球拋出方向不變，減小球出手時的速度
C．增加球出手時的速度，減小球速度方向與水平方向的夾角
D．增加球出手時的速度，增加球速度方向與水平方向的夾角
解析：選B 由題圖可知，籃球沒進(jìn)筐的原因是水平射程較?。槐３智驋伋龇较虿蛔?，增加球出手時的速度可增加水平射程，可使籃球進(jìn)筐，選項A不符合題意；保持球拋出方向不變，減小球出手時的速度，這樣可減小水平
45、射程，則不能使籃球進(jìn)筐，選項B符合題意；增加球出手時的速度，減小球速度方向與水平方向的夾角，這樣可能使水平速度增加，豎直速度不變，導(dǎo)致水平位移增加，豎直高度不變，也可能使籃球進(jìn)筐，選項C不符合要求； 增加球出手時的速度，增加球速度方向與水平方向的夾角，可能使水平位移增加，也可能使籃球進(jìn)筐，選項D不符合要求；故選B。
突破點(二) 多體平拋問題
[題點全練]
1.(2017·江蘇高考)如圖所示，A、B兩小球從相同高度同時水平拋出，經(jīng)過時間t在空中相遇。若兩球的拋出速度都變?yōu)樵瓉淼?倍，則兩球從拋出到相遇經(jīng)過的時間為( )
A．t B.t
C. D.
解析：
46、選C 設(shè)兩球間的水平距離為L，第一次拋出的速度分別為v1、v2，由于小球拋出后在水平方向上做勻速直線運動，則從拋出到相遇經(jīng)過的時間t＝，若兩球的拋出速度都變?yōu)樵瓉淼?倍，則從拋出到相遇經(jīng)過的時間為t′＝＝，C項正確。
2.(2018·徐州模擬)電視綜藝節(jié)目《加油向未來》中有一個橄欖球空中擊劍游戲：寶劍從空中B點自由下落，同時橄欖球從A點以速度v0沿AB方向拋出，恰好在空中C點擊中劍尖，不計空氣阻力。關(guān)于橄欖球，下列說法正確的是( )
A．在空中運動的加速度大于寶劍下落的加速度
B．若以大于v0的速度沿原方向拋出，一定能在C點上方擊中劍尖
C．若以小于v0的速度沿原方向拋出，一定能在C
47、點下方擊中劍尖
D．無論以多大速度沿原方向拋出，都能擊中劍尖
解析：選B 由于橄欖球和劍在空中只受重力作用，故加速度均為g，選項A錯誤；若要擊中劍尖，需滿足水平方向：x＝v0cos θ·t，豎直方向：H＝gt2＋v0sin θ·t－gt2＝v0sin θ·t，若以大于v0的速度沿原方向拋出，此時t變小，相遇時劍下落的高度減小，則一定能在C點上方擊中劍尖，選項B正確；若以小于v0的速度沿原方向拋出，若速度過小，則橄欖球可能不能運動到球的正下方就落地了，故不一定能在C點下方擊中劍尖，選項C、D錯誤。
[題后悟通]
對多體平拋問題的四點提醒
(1)若兩物體同時從同一高度(或同一點)拋出，則
48、兩物體始終在同一高度，二者間距只取決于兩物體的水平分運動。
(2)若兩物體同時從不同高度拋出，則兩物體高度差始終與拋出點高度差相同，二者間距由兩物體的水平分運動和豎直高度差決定。
(3)若兩物體從同一點先后拋出，兩物體豎直高度差隨時間均勻增大，二者間距取決于兩物體的水平分運動和豎直分運動。
(4)兩條平拋運動軌跡的相交處是兩物體的可能相遇處，兩物體要在此處相遇，必須同時到達(dá)此處。
突破點(三) 平拋運動問題的5種解法
平拋運動是較為復(fù)雜的勻變速曲線運動，求解此類問題的基本方法是，將平拋運動分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動。高考對平拋運動的考查往往將平拋運動置于實際
49、情景或物理模型中，而在這些情景中求解平拋運動問題時只會運動分解的基本方法往往找不到解題突破口，這時根據(jù)平拋運動特點，結(jié)合試題情景和所求解的問題，再佐以假設(shè)法、對稱法、等效法等，能使問題迎刃而解。
對于一個做平拋運動的物體來說，若知道了某時刻的速度方向，可以從分解速度的角度來研究：tan θ＝＝(θ為t時刻速度與水平方向間夾角)，從而得出初速度v0、時間t、夾角θ之間的關(guān)系，進(jìn)而求解具體問題。
[例1] (2016·上海高考)如圖，圓弧形凹槽固定在水平地面上，其中ABC是位于豎直平面內(nèi)以O(shè)為圓心的一段圓弧，OA與豎直方向的夾角為α。一小球以速度v0從桌面邊緣P水平拋出，恰好從A
50、點沿圓弧的切線方向進(jìn)入凹槽。小球從P到A的運動時間為________；直線PA與豎直方向的夾角β＝________。
[解析] 根據(jù)題意，小球從P點拋出后做平拋運動，小球運動到A點時將速度分解，有tan α＝＝，則小球運動到A點的時間為：t＝；從P點到A點的位移關(guān)系有：tan β＝＝＝＝2cot α，所以PA與豎直方向的夾角為：β＝arctan(2cot α)。
[答案] arctan(2cot α)
對于一個做平拋運動的物體來講，若知道某一時刻物體的位移方向，則可將位移分解到水平方向和豎直方向，然后利用tan α＝(α為t時刻位移與水平方向間夾角)，確定初速度v0、運動時間
51、t和夾角α間的大小關(guān)系?！?
[例2] (2018·青島月考)如圖所示，在豎直面內(nèi)有一個以AB為水平直徑的半圓，O為圓心，D為最低點。圓上有一點C，且∠COD＝60°?，F(xiàn)在A點以速率v1沿AB方向拋出一小球，小球能擊中D點；若在C點以某速率v2沿BA方向拋出小球時也能擊中D點。重力加速度為g，不計空氣阻力。下列說法正確的是( )
A．圓的半徑為R＝ B．圓的半徑為R＝
C．速率v2＝v1 D．速率v2＝v1
[解析] 從A點拋出的小球做平拋運動，它運動到D點時R＝gt12，R＝v1t1，故R＝，選項A正確，選項B錯誤；從C點拋出的小球Rsin 60°＝v2t2，R(1－c
52、os 60°)＝gt22，解得v2＝v1，選項C、D錯誤。
[答案] A
對于平拋運動，運動時間由下落高度決定，水平位移由下落高度和初速度決定，所以當(dāng)下落高度相同時，水平位移與初速度成正比。但有時下落高度不同，水平位移就很難比較，這時可以采用假設(shè)法，例如移動水平地面使其下落高度相同，從而作出判斷。
[例3] 斜面上有a、b、c、d四個點，如圖所示，ab＝bc＝cd，從a點正上方的O點以速度v水平拋出一個小球，它落在斜面上b點，若小球從O點以速度2v水平拋出，不計空氣阻力，則它落在斜面上的( )
A．b與c之間某一點 B．c點
C．c與d之間某一點 D．d點
[解析
53、] 假設(shè)斜面是一層很薄的紙，小球落上就可穿透且不損失能量，過b點作水平線交Oa于a′，由于小球從O點以速度v水平拋出時，落在斜面上b點，則小球從O點以速度2v水平拋出，穿透斜面后應(yīng)落在水平線a′b延長線上的c′點，如圖所示，因ab＝bc，則a′b＝bc′，即c′點在c點的正下方，顯然，小球軌跡交于斜面上b與c之間。所以，本題答案應(yīng)選A。
[答案] A
推論Ⅰ：做平拋運動的物體在任一時刻或任一位置時，設(shè)其速度方向與水平方向的夾角為θ，位移與水平方向的夾角為φ，則tan θ＝2tan φ。
推論Ⅱ：做平拋運動的物體，任意時刻速度方向的反向延長線一定通過此時水平位移的中點。
推論Ⅲ：物
54、體落回斜面的平拋運動中，物體在不同落點的速度方向與斜面的夾角相等。
[例4] 如圖所示，墻壁上落有兩只飛鏢，它們是從同一位置水平射出的，飛鏢甲與豎直墻壁成α＝53°角，飛鏢乙與豎直墻壁成β＝37°角，兩者相距為d。假設(shè)飛鏢的運動是平拋運動，求射出點離墻壁的水平距離。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
[解析] 設(shè)射出點P離墻壁的水平距離為L，飛鏢甲下降的高度為h1，飛鏢乙下降的高度為h2，
根據(jù)平拋運動的重要推論可知，兩飛鏢速度的反向延長線一定通過水平位移的中點Q，如圖所示，由此得
cot β－cot α＝d，
代入數(shù)值得：
L＝。
[答案]
當(dāng)物
55、體受到與初速度垂直的恒定的合外力時，其運動規(guī)律與平拋運動類似，簡稱類平拋運動。類平拋運動的求解方法是，將運動分解為初速度方向的勻速直線運動和垂直于初速度方向(即合外力方向)的勻加速直線運動，求出等效加速度，再利用求解平拋運動的方法求解相關(guān)問題。
[例5] (2018·河北正定中學(xué)月考)風(fēng)洞實驗室能產(chǎn)生大小和方向均可改變的風(fēng)力。如圖所示，在風(fēng)洞實驗室中有足夠大的光滑水平面，在水平面上建立xOy直角坐標(biāo)系。質(zhì)量m＝0.5 kg的小球以初速度v0＝0.40 m/s從O點沿x軸正方向運動，在0～2.0 s內(nèi)受到一個沿y軸正方向、大小F1＝0.20 N的風(fēng)力作用；小球運動2.0 s后風(fēng)力方向變?yōu)?/p>
56、沿y軸負(fù)方向、大小變?yōu)镕2＝0.10 N(圖中未畫出)。試求：
(1)2.0 s末小球在y軸方向的速度大小和2.0 s內(nèi)運動的位移大小；
(2)風(fēng)力F2作用多長時間，小球的速度變?yōu)榕c初速度相同。
[解析] (1)設(shè)在0～2.0 s內(nèi)小球運動的加速度為a1，
則F1＝ma1
2．0 s末小球在y軸方向的速度v1＝a1t1
代入數(shù)據(jù)解得v1＝0.8 m/s
沿x軸方向運動的位移x1＝v0t1
沿y軸方向運動的位移y1＝a1t12
2．0 s內(nèi)運動的位移s1＝
代入數(shù)據(jù)解得s1＝0.8 m≈1.1 m。
(2)設(shè)2.0 s后小球運動的加速度為a2，F(xiàn)2的作用時間為t2時
57、小球的速度變?yōu)榕c初速度相同。則F2＝ma2
0＝v1－a2t2
代入數(shù)據(jù)解得t2＝4.0 s。
[答案] (1)0.8 m/s 1.1 m (2)4.0 s
體育運動中的平拋運動問題
(一)乒乓球的平拋運動問題
1．[多選](2018·蘇北重點中學(xué)聯(lián)考)在某次乒乓球比賽中，乒乓球先后兩次落臺后恰好在等高處水平越過球網(wǎng)，過網(wǎng)時的速度方向均垂直于球網(wǎng)，把兩次落臺的乒乓球看成完全相同的兩個球，球1和球2，如圖所示，不計乒乓球的旋轉(zhuǎn)和空氣阻力，乒乓球自起跳到最高點的過程中，下列說法正確的是( )
A．起跳時，球1的重力功率等于球2的重力功率
B．球1的速度變化率小于球
58、2的速度變化率
C．球1的飛行時間大于球2的飛行時間
D．過網(wǎng)時球1的速度大于球2的速度
解析：選AD 乒乓球起跳后到最高點的過程，其逆過程可看成平拋運動。重力的瞬時功率等于重力乘以豎直方向的速度，兩球起跳后能到達(dá)的最大高度相同，由v2＝2gh得，起跳時豎直方向分速度大小相等，所以兩球起跳時重力功率大小相等，A正確；速度變化率即加速度，兩球在空中的加速度都等于重力加速度，所以兩球的速度變化率相同，B錯誤；由h＝gt2可得兩球飛行時間相同，C錯誤；由x＝vt可知，球1的水平位移較大，運動時間相同，則球1的水平速度較大，D正確。
(二)足球的平拋運動問題
2.(2015·浙江高考)如圖所
59、示為足球球門，球門寬為L。一個球員在球門中心正前方距離球門s處高高躍起，將足球頂入球門的左下方死角(圖中P點)。球員頂球點的高度為h。足球做平拋運動(足球可看成質(zhì)點，忽略空氣阻力)，則( )
A．足球位移的大小x＝
B．足球初速度的大小v0＝
C．足球末速度的大小v＝
D．足球初速度的方向與球門線夾角的正切值tan θ＝
解析：選B 根據(jù)幾何關(guān)系可知，足球做平拋運動的豎直高度為h，水平位移為x水平＝ ，則足球位移的大小為：x＝ ＝ ，選項A錯誤；由h＝gt2，x水平＝v0t，可得足球的初速度為v0＝ ，選項B正確；對足球應(yīng)用動能定理：mgh＝－，可得足球末速度v＝ ＝ ，選項
60、C錯誤；初速度方向與球門線夾角的正切值為tan θ＝，選項D錯誤。
(三)網(wǎng)球的平拋運動問題
3．一位網(wǎng)球運動員以拍擊球，使網(wǎng)球沿水平方向飛出。第一只球飛出時的初速度為v1，落在自己一方場地上后，彈跳起來，剛好擦網(wǎng)而過，落在對方場地的A點處。如圖所示，第二只球飛出時的初速度為v2，直接擦網(wǎng)而過，也落在A點處。設(shè)球與地面碰撞時沒有能量損失，且不計空氣阻力，求：
(1)網(wǎng)球兩次飛出時的初速度之比v1∶v2；
(2)運動員擊球點的高度H與網(wǎng)高h(yuǎn)之比H∶h。
解析：(1)第一、二兩只球被擊出后都做平拋運動，由平拋運動的規(guī)律可知，兩球分別被擊出至各自第一次落地的時間是相等的。
由題意知
61、水平射程之比為：x1∶x2＝1∶3，故平拋運動的初速度之比為v1∶v2＝1∶3。
(2)第一只球落地后反彈做斜拋運動，根據(jù)運動對稱性可知DB段和OB段是相同的平拋運動，則兩球下落相同高度(H－h(huán))后水平距離x1′＋x2′＝2x1，
根據(jù)公式H＝gt12，H－h(huán)＝gt22，
而x1＝v1t1，x1′＝v1t2，x2′＝v2t2，
綜合可得v1t2＋v2t2＝2v1t1，故t1＝2t2，
即H＝4(H－h(huán))，
解得H∶h＝4∶3。
答案：(1)1∶3 (2)4∶3
(四)排球的平拋運動問題
4．如圖所示，排球場總長為18 m，設(shè)球網(wǎng)高度為2 m，運動員站在網(wǎng)前3 m處正對球網(wǎng)跳起
62、將球水平擊出，不計空氣阻力，取重力加速度g＝10 m/s2。
(1)若擊球高度為2.5 m，為使球既不觸網(wǎng)又不出界，求水平擊球的速度范圍；
(2)當(dāng)擊球點的高度低于何值時，無論水平擊球的速度多大，球不是觸網(wǎng)就是越界？
解析：(1)排球被水平擊出后，做平拋運動，如圖所示，
若正好壓在底線上，則球在空中的飛行時間：
t1＝ ＝ s＝ s
由此得排球不越界的臨界速度
v1＝＝ m/s＝12 m/s。
若球恰好觸網(wǎng)，則球在網(wǎng)上方運動的時間：
t2＝ ＝ s＝ s。
得排球觸網(wǎng)的臨界擊球速度值
v2＝＝ m/s＝3 m/s。
要使排球既不觸網(wǎng)又不越界，水平擊球速度v的取
63、值范圍為：3 m/s
64、8·杭州模擬)農(nóng)歷12月11日是千祥鎮(zhèn)的交流會，程老師和他七歲的兒子在逛街的過程中，發(fā)現(xiàn)了一個游戲“套圈游戲”，套中啥，就可以拿走那樣?xùn)|西，兩元一次，程老師試了一次，套中了一個距離起點水平距離為2 m的“熊大”雕像，他兒子看了，也心癢癢，想把距離起點相等水平距離的“光頭強”雕像也套中。假設(shè)他們套圈的時候圈的運動是平拋運動，程老師拋圈的速度為2 m/s，試問他兒子要將像套中，應(yīng)怎么辦( )
A．大于2 m/s的速度拋出 B．等于2 m/s的速度拋出
C．小于2 m/s的速度拋出 D．無法判斷
解析：選A 根據(jù)平拋運動的規(guī)律可知，豎直方向h＝gt2，水平方向的位移x＝vt＝v；由于
65、程老師拋圈的速度為2 m/s能夠套住，他兒子的身高要低于他，要想套住必須增加水平速度；所以A正確，B、C、D錯誤。
2.(2018·佛山模擬)2016 年起，我國空軍出動“戰(zhàn)神”轟-6K 等戰(zhàn)機赴南海戰(zhàn)斗巡航。某次戰(zhàn)備投彈訓(xùn)練，飛機在水平方向做加速直線運動的過程中投下一顆模擬彈。飛機飛行高度為h，重力加速度為g，不計空氣阻力，則以下說法正確的是( )
A．在飛行員看來模擬彈做平拋運動
B．模擬彈下落到海平面的時間為
C．在飛行員看來模擬彈做自由落體運動
D．若戰(zhàn)斗機做加速向下的俯沖運動，此時飛行員一定處于失重狀態(tài)
解析：選B 模擬彈相對于地面做平拋運動，水平方向做勻速直線運動，
66、而且水平速度與剛被投下時飛機的速度相同。由于飛機做加速直線運動，速度不斷增大，所以在飛行員看來模擬彈做的不是平拋運動，也不是自由落體運動，故A、C錯誤。模擬彈豎直方向做自由落體運動，由h＝gt2得t＝，故B正確。若戰(zhàn)斗機做加速向下的俯沖運動，若飛機斜向下做加速運動時，具有豎直向下的分加速度，此時飛行員處于失重狀態(tài)；若飛機斜向下做加速曲線運動時，有斜向上的向心加速度，具有豎直向上的分加速度，此時飛行員處于超重狀態(tài)，故D錯誤。
3.(2018·呼倫貝爾一模)如圖所示，在同一平臺上的O點水平拋出的三個物體，分別落到a、b、c三點，則三個物體運動的初速度va、vb、vc和運動的時間ta、tb、tc的關(guān)系分別是( )
A．va>vb>vc ta>tb>tc B．vatb>tc D．va>vb>vc tahb>hc，根據(jù)h＝gt2，知ta>tb>tc，根據(jù)xa
（江蘇專版）2019高考物理一輪復(fù)習(xí) 第四章 曲線運動 萬有引力與航天學(xué)案
