《2022年高中數(shù)學(xué) 2-2-1雙曲線及其標準方程同步練習(xí) 新人教B版選修1-1》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022年高中數(shù)學(xué) 2-2-1雙曲線及其標準方程同步練習(xí) 新人教B版選修1-1(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022年高中數(shù)學(xué) 2-2-1雙曲線及其標準方程同步練習(xí) 新人教B版選修1-1
一、選擇題
1.已知點F1(0,-13),F(xiàn)2(0,13),動點P到F1與F2的距離之差的絕對值為26,則動點P的軌跡方程為( )
A.y=0 B.y=0(|x|≥13)
C.x=0(|y|≥13) D.以上都不對
[答案] C
[解析] ∵||PF1|-|PF2||=|F1F2|,
∴點P的軌跡是分別以F1,F(xiàn)2為端點的兩條射線.
2.已知定點A,B,且|AB|=4,動點P滿足|PA|-|PB|=3,則|PA|的最小值為( )
A. B.
C.
2、 D.5
[答案] C
[解析] 點P的軌跡是以A,B為焦點的雙曲線的右支,如右圖所示,當(dāng)P與雙曲線右支頂點M重合時,|PA|最小,最小值為a+c=+2=,故選C.
3.已知方程-=1表示雙曲線,則k的取值范圍是( )
A.-10
C.k≥0 D.k>1或k<-1
[答案] A
[解析] 由題意得(1+k)(1-k)>0,
∴(k-1)(k+1)<0,∴-1
3、m2,c2=a2+b2=16,
∴c=4,∴焦距2c=8.
5.已知雙曲線方程為-=1,那么它的焦距為( )
A.10 B.5
C. D.2
[答案] A
[解析] ∵a2=20,b2=5,c2=25,c=5,
∴焦距2c=10.
6.雙曲線8kx2-ky2=8的一個焦點為(0,3),那么k的值為( )
A.1 B.-1
C. D.-
[答案] B
[解析] 方程8kx2-ky2=8可化為:-=1,
又它的一個焦點為(0,3),
∴a2=-,b2=-,c2=-=9,∴k=-1.
7.已知雙曲線的左、右焦點
4、分別為F1、F2,在左支上過F1的弦AB的長為5,若2a=8,那么△ABF2的周長是( )
A.16 B.18
C.21 D.26
[答案] D
[解析] ∵|AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a=8,
∴|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16,
∴|AF2|+|BF2|=16+5=21,
∴△ABF2的周長為|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26.
8.已知雙曲線-=1上一點P到焦點F1的距離為8,則P到焦點F2的距離為( )
A.2 B.2或14
C.14 D
5、.16
[答案] B
[解析] 如圖,
設(shè)F1、F2分別是雙曲線的左、右焦點,
由已知得a=3,b=4,c=5,
∵雙曲線右頂點到左焦點F1的距離為a+c=8,
∴點P在雙曲線右頂點時,|PF2|=c-a=5-3=2,
當(dāng)點P在雙曲線左支上時,|PF2|-|PF1|=2a=6,
∴|PF2|=|PF1|+6=8+6=14.
9.動圓與圓x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都相外切,則動圓圓心的軌跡為( )
A.雙曲線的一支 B.圓
C.拋物線 D.雙曲線
[答案] A
[解析] 設(shè)動圓半徑為r,圓心為O,x2+y2=1的圓心為O1,圓x2+
6、y2-8x+12=0的圓心為O2,
由題意得|OO1|=r+1,|OO2|=r+2,
∴|OO2|-|OO1|=r+2-r-1=1<|O1O2|=4,由雙曲線的定義知,動圓圓心O的軌跡是雙曲線的一支.
10.已知雙曲線的兩個焦點為F1(-,0)、F2(,0),P是此雙曲線上的一點,且PF1⊥PF2,|PF1|·|PF2|=2,則該雙曲線的方程是( )
A.-=1 B.-=1
C.-y2=1 D.x2-=1
[答案] C
[解析] ∵c=,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,∴(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|=4c2,
7、
∴4a2=4c2-4=16,∴a2=4,b2=1.
雙曲線方程為-y2=1.
二、填空題
11.過雙曲線-=1的左焦點F1的直線交雙曲線的左支于M,N兩點,F(xiàn)2為其右焦點,則|MF2|+|NF2|-|MN|的值為________.
[答案] 8
[解析] |MF2|+|NF2|-|MN|=(MF2-MF1)+(|NF2|-|NF1|)=2a+2a=4a=8.
12.設(shè)一圓過雙曲線-=1的一個頂點和一個焦點,圓心在此雙曲線上,則圓心到雙曲線中心的距離是________.
[答案]
[解析] 設(shè)圓心為P(x0,y0),則|x0|==4,代入-=1,得y=,所以|OP|==.
8、13.過雙曲線-=1的焦點且與x軸垂直的弦的長度為________.
[答案]
[解析] ∵a2=3,b2=4,∴c2=7,
∴c=,弦所在直線方程為x=,
由得y2=,∴|y|=,弦長為.
14.如果橢圓+=1與雙曲線-=1的焦點相同,那么a=________.
[答案] 1
[解析] 由題意得a>0,且4-a2=a+2,∴a=1.
三、解答題
15.討論+=1表示何種圓錐曲線,它們有何共同特征.
[解析] (1)當(dāng)k<9時,25-k>0,9-k>0,所給方程表示橢圓,此時a2=25-k,b2=9-k,c2=a2-b2=16,這些橢圓有共同的焦點(-4,0),(4,0)
9、.
(2)當(dāng)90,9-k<0,所給方程表示雙曲線,此時,a2=25-k,b2=k-9,c2=a2+b2=16,這些雙曲線也有共同的焦點(-4,0),(4,0).
(3)當(dāng)k>25時,所給方程沒有軌跡.
16.設(shè)雙曲線-=1,F(xiàn)1,F(xiàn)2是其兩個焦點,點M在雙曲線上.
(1)若∠F1MF2=90°,求△F1MF2的面積;
(2)若∠F1MF2=60°時,△F1MF2的面積是多少?若∠F1MF2=120°時,△F1MF2的面積又是多少?
[解析] 結(jié)合雙曲線的定義,注意三角形面積公式的應(yīng)用.
(1)由雙曲線的方程知a=2,b=3,c=,
設(shè)|MF1|=r1,|
10、MF2|=r2(r1>r2)
如圖所示.
由雙曲線定義,有r1-r2=2a=4.
兩邊平方得r+r-2r1r2=16,
因為∠F1MF2=90°,所以r+r=|F1F2|2=(2c)2=52,
17.設(shè)雙曲線與橢圓+=1有共同的焦點,且與橢圓相交,在第一象限的交點A的縱坐標為4,求此雙曲線的方程.
[解析] 橢圓+=1的焦點為(0,±3),
由題意,設(shè)雙曲線方程為:-=1(a>0,b>0),
又點A(x0,4)在橢圓+=1上,∴x=15,
又點A在雙曲線-=1上,∴-=1,
又a2+b2=c2=9,∴a2=4,b2=5,
所求的雙曲線方程為:-=1.
18.已知△A
11、BC的底邊BC長為12,且底邊固定,頂點A是動點,使sinB-sinC=sinA.求點A的軌跡.
[解析] 以BC所在直線為x軸,線段BC的中垂線為y軸建立直角坐標系,則B(-6,0)、C(6,0),設(shè)A(x,y)是所求軌跡上任一點,則y≠0.
因為sinB-sinC=sinA,利用正弦定理,我們有|AC|-|AB|=|BC|,結(jié)合雙曲線定義,動點到兩個定點C、B的距離之差為6,動點A位于以B、C為焦點的雙曲線上.又注意到,此時A點只能在左支上,并且不能與左頂點重合.
雙曲線中,實軸長為6,焦距為12,則a=3,c=6,b2=c2-a2=27,中心在原點,兩焦點在x軸上,方程為-=1.
所以A點軌跡是雙曲線-=1的左支,并且除去點(-3,0).