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1、2022年高三數學總復習 等差數列的前n項和教案 理 教材分析 等差數列的前ｎ項和是數列的重要內容，也是數列研究的基本問題．在現實生活中，等差數列的求和是經常遇到的一類問題．等差數列的求和公式，為我們求等差數列的前ｎ項和提供了一種重要方法． 教材首先通過具體的事例，探索歸納出等差數列前ｎ項和的求法，接著推廣到一般情況，推導出等差數列的前ｎ項和公式．為深化對公式的理解，通過對具體例子的研究，弄清等差數列的前ｎ項和與等差數列的項、項數、公差之間的關系，并能熟練地運用等差數列的前ｎ項和公式解決問題．這節(jié)內容重點是探索掌握等差數列的前ｎ項和公式，并能應用公式解決一些實際問題，難點是前ｎ項和公式推

2、導思路的形成． 教學目標 1. 通過等差數列前ｎ項和公式的推導，讓學生體驗數學公式產生、形成的過程，培養(yǎng)學生抽象概括能力． 2. 理解和掌握等差數列的前ｎ項和公式，體會等差數列的前ｎ項和與二次函數之間的聯(lián)系，并能用公式解決一些實際問題，培養(yǎng)學生對數學的理解能力和邏輯推理能力． 3. 在研究公式的形成過程中，培養(yǎng)學生的探究能力、創(chuàng)新能力和科學的思維方法． 任務分析 這節(jié)內容主要涉及等差數列的前ｎ項公式及其應用． 對公式的推導，為便于學生理解，采取從特殊到一般的研究方法比較適宜，如從歷史上有名的求和例子1＋2＋3＋……＋100的高斯算法出發(fā)，一方面引發(fā)學生對等差數列求和問題的興趣，另

3、一方面引導學生發(fā)現等差數列中任意的第ｋ項與倒數第ｋ項的和等于首項與末項的和這個規(guī)律，進而發(fā)現求等差數列前ｎ項和的一般方法，這樣自然地過渡到一般等差數列的求和問題．對等差數列的求和公式，要引導學生認識公式本身的結構特征，弄清前ｎ項和與等差數列的項、項數、公差之間的關系．為加深對公式的理解和運用，要強化對實例的教學，并通過對具體實例的分析，引導學生學會解決問題的方法．特別是對實際問題，要引導學生從實際情境中發(fā)現等差數列的模型，恰當選擇公式．對于等差數列前ｎ項和公式和二次函數之間的聯(lián)系，可引導學生拓展延伸． 教學設計 一、問題情景 1. 在200多年前，有個10歲的名叫高斯的孩子，在老師提出問

4、題：“1＋2＋3＋…＋100＝？”時，很快地就算出了結果．他是怎么算出來的呢？他發(fā)現1＋100＝2＋99＝3＋97＝…＝50＋51＝101，于是1＋2＋…＋100＝101×50＝5050． 2. 受高斯算法啟發(fā)，你能否求出1＋2＋3＋…＋ｎ的和． 3. 高斯的方法妙在哪里呢？這種方法能否推廣到求一般等差數列的前ｎ項和？ 二、建立模型 1. 數列的前ｎ項和定義 對于數列｛ａn｝，我們稱ａ1＋ａ2＋…＋ａn為數列｛ａn｝的前ｎ項和，用Sn表示，即Sn＝ａ1＋ａ2＋…＋ａn． 2. 等差數列的求和公式 （1）如何用高斯算法來推導等差數列的前ｎ項和公式？ 對于公差為ｄ的等差數列｛ａn｝

5、： Sn＝ａ1＋（ａ1＋ｄ）＋（ａ1＋2ｄ）＋…＋［ａ1＋（ｎ—1）ｄ］，　　　　　　　　　　　　　　　　 ① 依據高斯算法，將Sn表示為Sn＝ａn＋（ａn—ｄ）＋（ａn—2ｄ）＋…＋［ａn—（ｎ—1）ｄ］．　　　　 ② 由此得到等差數列的前ｎ項和公式 小結：這種方法稱為反序相加法，是數列求和的一種常用方法． （2）結合通項公式ａn＝ａ1＋（ｎ—1）ｄ，又能得怎樣的公式？ （３）兩個公式有什么相同點和不同點，各反映了等差數列的什么性質？ 學生討論后，教師總結：相同點是利用二者求和都須知道首項ａ1和項數ｎ；不同點是前者還須要知道ａn，后者還須要知道ｄ．因此，在應用時要依

6、據已知條件合適地選取公式．公式本身也反映了等差數列的性質：前者反映了等差數列的任意的第ｋ項與倒數第ｋ項的和都等于首、末兩項之和，后者反映了等差數的前ｎ項和是關于ｎ的沒有常數項的“二次函數”． 三、解釋應用 ［例　題］ 1. 根據下列各題中的條件，求相應的等差數列｛ａn｝的前ｎ項和Sn． （1）ａ1＝ —4，ａ8＝ —18，ｎ＝8． （2）ａ1＝14．5，ｄ＝0.7，ａn＝32． 注：恰當選用公式進行計算． 2. 已知一個等差數列｛ａn｝前10項的和是310，前20項的和是1220．由這些條件能確定這個等差數列的前ｎ項和的公式嗎？ 分析：將已知條件代入等差數列前ｎ項和的公式后，可

7、得到兩個關于ａ1與ｄ的關系式，它們都是關于ａ1與ｄ的二元一次方程，由此可以求得ａ1與ｄ，從而得到所求前ｎ項和的公式． 解：由題意知 注：（1）教師引導學生認識到等差數列前ｎ項和公式，就是一個關于ａn，ａ1，ｎ或者ａ1，ｎ，ｄ的方程，使學生能把方程思想和前ｎ項和公式相結合，再結合通項公式，對ａ1，ｄ，ｎ，ａn及Sn這五個量知其三便可求其二． （2）本題的解法還有很多，教學時可鼓勵學生探索其他的解法．例如， 3. 2000年11月14日教育部下發(fā)了《關于在中小學實施“校校通”工程的通知》．某市據此提出了實施“校校通”工程的總目標：從xx年起用10年的時間，在全市中小學建成不同標準的

8、校園網．據測算，xx年該市用于“校校通”工程的經費500萬元．為了保證工程的順利實施，計劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元．那么從xx年起的未來10年內，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？ 教師引學生分析：每年“校校通”工程的經費數構成公差為５０的等差數列．問題實質是求該數列的前10項的和． 解：根據題意，從xx～xx年，該市每年投入“校校通”工程的經費都比上一年增加50萬元．所以，可以建立一個等差數列｛ａn｝，表示從xx年起各年投入的資金，其中，ａ1＝500，ｄ＝50． 那么，到xx年（ｎ＝10），投入的資金總額為 答：從xx～xx年，該市在“校校通”工程中的總投入是72

9、50萬元． 注：教師引導學生規(guī)范應用題的解題步驟． 4. 已知數列｛ａn｝的前ｎ項和Sn＝ｎ2＋ｎ，求這個數列的通項公式．這個數列是等差數列嗎？如果是，它的首項與公差分別是什么？ 解：根據 由此可知，數列｛ａn｝是一個首項為，公差為2的等差數列． 思考：一般地，數列｛ａn｝前ｎ項和Sn＝Aｎ2＋Bｎ（A≠０），這時｛ａn｝是等差數列嗎？為什么？ ［練　習］ 1. 一名技術人員計劃用下面的辦法測試一種賽車：從時速10ｋｍ／ｈ開始，每隔2ｓ速度提高20ｋｍ／ｈ．如果測試時間是30ｓ，測試距離是多長？ 2. 已知數列｛ａn｝的前ｎ項的和為Sn＝ｎ2＋ｎ＋4，求這個數列的通項公式．

10、 3. 求集合M＝｛ｍ｜ｍ＝2ｎ—1，ｎ∈N*，且ｍ＜60｝的元素個數，并求這些元素的和． 四、拓展延伸 1. 數列｛ａn｝前ｎ項和Sn為Sn＝pn2＋qn＋ｒ（ｐ，ｑ，ｒ為常數且ｐ≠０），則｛ａn｝成等差數列的條件是什么？ 2. 已知等差數列5，4，3，…的前ｎ項和為Sn，求使Sn最大的序號ｎ的值． 分析1：等差數列的前ｎ項和公式可以寫成Sn＝ｎ2＋ （ａ1－）ｎ，所以Sn可以看成函數ｙ＝x2＋（ａ1－ ）ｘ（ｘ∈N*）．當ｘ＝ｎ時的函數值．另一方面，容易知道Sn關于ｎ的圖像是一條拋物線上的一些點．因此，我們可以利用二次函數來求ｎ的值． 解：由題意知，等差數列5，4，3，…的公差

11、為－，所以 于是，當ｎ取與最接近的整數即7或8時，Sn取最大值． 分析2：因為公差ｄ＝ －＜０，所以此數列為遞減數列，如果知道從哪一項開始它后邊的項全為負的，而它之前的項是正的或者是零，那么就知道前多少項的和最大了．即使然后從中求出ｎ． 點　評 這篇案例從具體的實例出發(fā)，引出等差數列的求和問題，在設計上，設計者注意激發(fā)學生的學習興趣和探究欲望，通過等差數列求和公式的探索過程，培養(yǎng)學生觀察、探索、發(fā)現規(guī)律、解決問題的能力． 對例題、練習的安排，這篇案例注意由淺入深，完整，全面．拓展延伸的設計有新意，有深度，符合學生的認識規(guī)律，有利于學生理解、掌握這節(jié)內容． 就總體而言，這篇案例體現了新課程的基本理念，尤其關注培養(yǎng)學生的數學思維能力和創(chuàng)新能力．另外，這篇案例對于繼承傳統(tǒng)教學設計注重“雙基”、關注學生的落實，同時注意著眼于學生的全面發(fā)展，有比較好的體現。