《2022年高中數(shù)學 第2章 推理與證明單元測試 新人教A版選修1-2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2022年高中數(shù)學 第2章 推理與證明單元測試 新人教A版選修1-2（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2022年高中數(shù)學 第2章 推理與證明單元測試 新人教A版選修1-2 一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．有如下一段演繹推理：“有些有理數(shù)是真分數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分數(shù)”，這個推理的結論顯然是錯誤的，是因為(　　) A．大前提錯誤　　　　　 B．小前提錯誤 C．推理形式錯誤 D．非以上錯誤 [答案]　C [解析]　推理形式不完全符合三段論推理的要求，故推出的結論是錯誤的． 2．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通過計算a2、a3、a4，猜想an＝(　　

2、) A. B. C. D. [答案]　B [解析]　考查歸納推理． a2＝S2－S1＝22a2－1∴a2＝ a3＝S3－S2＝32·a3－22·a2＝9a3－4× ∴a3＝ a4＝S4－S3＝42·a4－32a3＝16a4－9× ∴a4＝ 由此猜想an＝ 3．觀察數(shù)列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特點，問第100項為(　　) A．10 B．14 C．13 D．100 [答案]　B [解析]　設n∈N*，則數(shù)字n共有n個 所以≤100即n(n＋1)≤200， 又因為n∈N*，所以n＝13，到第13

3、個13時共有＝91項，從第92項開始為14，故第100項為14. 4．如果x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0與x軸相切于原點，那么(　　) A．F＝0，D≠0，E≠0 B．E＝0，F(xiàn)＝0，D≠0 C．D＝0，F(xiàn)＝0，E≠0 D．D＝0，E＝0，F(xiàn)≠0 [答案]　C [解析]　∵圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0與x軸相切于原點， ∴圓過原點，F(xiàn)＝0，又圓心在y軸上，∴D＝0，E≠0. 5．已知a0,4－b>4

4、，∴a<4－b. 6．已知f1(x)＝cosx，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，f4(x)＝f3′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)，則fxx(x)等于(　　) A．sinx B．－sinx C．cosx D．－cosx [答案]　D [解析]　由已知，有f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，…，可以歸納出： f4n(x)＝sinx，f4n＋1(x)＝cosx，f4n＋2(x)＝－sinx，f4n＋3(x)＝－cosx(n∈N*)．所以fxx(x)＝f3(x

5、)＝－cosx. 7．已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，則a20等于(　　) A．0 B．－ C. D. [答案]　B [解析]　a2＝＝－，a3＝＝，a4＝0，所以此數(shù)列具有周期性，0，－，依次重復出現(xiàn)． 因為20＝3×6＋2，所以a20＝－. 8．已知1＋2×3＋3×32＋4×32＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c對一切n∈N*都成立，那么a，b，c的值為(　　) A．a(chǎn)＝，b＝c＝ B．a(chǎn)＝b＝c＝ C．a(chǎn)＝0，b＝c＝ D．不存在這樣的a，b，c [答案]　A [解析]　令n＝1,2,3，得 所以a＝，b

6、＝c＝. 9．已知f(x)＝x3＋x，a，b，c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，則f(a)＋f(b)＋f(c)的值(　　) A．一定大于零 B．一定等于零 C．一定小于零 D．正負都有可能 [答案]　A [解析]　f(x)＝x3＋x是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)， 由a＋b>0得a>－b， 所以f(a)>f(－b)，即f(a)＋f(b)>0， 同理f(a)＋f(c)>0，f(b)＋f(c)>0，所以f(a)＋f(b)＋f(c)>0. 10．用反證法證明命題“若整數(shù)系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a、b、c中至少有一個是偶

7、數(shù)”，下列各假設中正確的是(　　) A．假設a，b，c都是偶數(shù) B．假設a，b，c都不是偶數(shù) C．假設a，b，c中至多有一個是偶數(shù) D．假設a，b，c中至多有兩個偶數(shù) [答案]　B [解析]　對命題的結論“a，b，c中至少有一個是偶數(shù)”進行否定假設應是“假設a，b，c都不是偶數(shù)”．因為“至少有一個”即有一個、兩個或三個，因此它的否定應是“都不是”． 11．已知數(shù)列{an}的通項公式an＝(n∈N*)，記f(n)＝(1－a1)(1－a2)(1－a3)…(1－an)，通過計算f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的值，由此猜想f(n)＝(　　) A. B. C.

8、 D. [答案]　A 12．若＝＝，則△ABC是(　　) A．等邊三角形 B．有一個內(nèi)角是30°的直角三角形 C．等腰直角三角形 D．有一個內(nèi)角是30°的等腰三角形 [答案]　C [解析]　∵＝＝，由正弦定理得， ＝＝，∴＝＝＝， ∴sinB＝cosB，sinC＝cosC，∴∠B＝∠C＝45°， ∴△ABC是等腰直角三角形． 二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，將正確答案填在題中橫線上) 13．對于“求證函數(shù)f(x)＝－x3在R上是減函數(shù)”，用“三段論”可表示為：大前提是“對于定義域為D的函數(shù)f(x)，若對任意x1，x2∈D且x2－x1>0，有f

9、(x2)－f(x1)<0，則函數(shù)f(x)在D上是減函數(shù)”，小前提是“ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________”，結論是“f(x)＝－x3在 R上是減函數(shù)”． [答案]　對于任意x1，x2∈R且x

10、2－x1>0，有f(x2)－f(x1)＝－x＋x＝－(x2－x1)(x＋x1x2＋x)＝－(x2－x1)·<0 14．在△ABC中，D為邊BC的中點，則＝(＋)．將上述命題類比到四面體中去，得到一個類比命題： ________________________________________________________________________. [答案]　在四面體A－BCD中，G為△BCD的重心，則＝(＋＋) 15．已知數(shù)列{an}，a1＝，an＋1＝，則a2、a3、a4、a5分別為________，猜想an＝________. [答案]　，，，，. 16．已知函數(shù)f(x

11、)＝x2－cosx，對于上的任意x1，x2，有如下條件： ①x1>x2；②x>x；③|x1|>x2. 其中能使f(x1)>f(x2)恒成立的條件序號是______． [答案]　② [解析]　易知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，故能使f(x1)>f(x2)恒成立的條件只有②x>x. 三、解答題(本大題共6個小題，共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本題滿分12分)已知：a、b、c∈R，且a＋b＋c＝1. 求證：a2＋b2＋c2≥. [解析]　證明：由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca. 三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc

12、＋ca. ∴3(a2＋b2＋c2)≥(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b＋c)2. 由a＋b＋c＝1，得3(a2＋b2＋c2)≥1， 即a2＋b2＋c2≥. 18．(本題滿分12分)設{an}，{bn}是公比不相等的兩個等比數(shù)列，若cn＝an＋bn，請證明數(shù)列{cn}不是等比數(shù)列． [證明]　假設數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，則 (an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1)．① 因為{an}，{bn}是等比數(shù)列，設公比分別為p，q，則有 a＝an－1·an＋1，b＝bn－1·bn＋1.② 整理①式，并將②代入得 2anbn＝an＋1bn－1＋a

13、n－1bn＋1. 所以2anbn＝anp·＋·bnq，即2＝＋. 因為p≠q，所以＋≠2，得出矛盾，所以假設不成立． 故數(shù)列{cn}不是等比數(shù)列． 19．(本題滿分12分)若x>0，y>0，用分析法證明：(x2＋y2)>(x3＋y3). [證明]　要證(x2＋y2)>(x3＋y3)， 只需證(x2＋y2)3>(x3＋y3)2， 即證x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6>x6＋2x3y3＋y6， 即證3x4y2＋3y4x2>2x3y3. 又因為x>0，y>0，所以x2y2>0， 故只需證3x2＋3y2>2xy. 而3x2＋3y2>x2＋y2≥2xy成立， 所以(x2＋y2)

14、>(x3＋y3)成立． 20．(本題滿分12分)證明下列等式，并從中歸納出一個一般性的結論． 2cos＝， 2cos＝， 2cos＝， …… [證明]　2cos＝2·＝ 2cos＝2 ＝2·＝ 2cos＝2 ＝2 ＝ … 2cos＝ 21．(本題滿分12分)已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，an·an－1＝2·an－1－1. (1)求a2，a3，a4； (2)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出數(shù)列{an}的通項公式． [解析]　(1)由an·an－1＝2·an－1－1得 an＝2－， 代入a1＝3，n依次取值2,3,4，得 a2＝2－＝，a3＝2－＝，a4＝2－

15、＝. (2)證明：由an·an－1＝2·an－1－1變形，得 (an－1)·(an－1－1)＝－(an－1)＋(an－1－1)， 即－＝1， 所以{}是等差數(shù)列． 由＝，所以＝＋n－1，變形得an－1＝， 所以an＝為數(shù)列{an}的通項公式． 22．(本題滿分14分)已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)a、b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且當x>0時，f(x)>1. (1)求證：f(x)是R上的增函數(shù)． (2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3. [解析]　(1)證明：設任意x1，x2∈R，且x2>x1， 則有x2－x1>0，利用已知條件“當x>0時，f(x)>1”得f(x2－x1)>1， 而f(x2)－f(x1) ＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1) ＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1) ＝f(x2－x1)－1>0， 即f(x2)>f(x1)， 所以f(x)是R上的增函數(shù)． (2)由于f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，所以f(2)＝3. 由f(3m2－m－2)<3得f(3m2－m－2)