《2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明第四節(jié) 基本不等式及其應(yīng)用練習(xí)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明第四節(jié) 基本不等式及其應(yīng)用練習(xí)(5頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明第四節(jié) 基本不等式及其應(yīng)用練習(xí)
一、選擇題(6×5分=30分)
1.(xx·天津高考)設(shè)a>0,b>0,若是3a與3b的等比中項,則+的最小值為( )
A.8 B.4
C.1 D.
解析:由題意知3a·3b=3,即3a+b=3,所以a+b=1.
因為a>0,b>0,所以+=(a+b)=2++≥2+2 =4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.
答案:B
2.(xx·開封模擬)已知x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,則+的最小值是( )
A.2 B.2
C.4 D.2
解析:因為x>0,y>0
2、,且lg2x+lg8y=lg2,所以x+3y=1,于是有+=(x+3y)(+)=2+(+)≥4.
答案:C
3.函數(shù)f(x)=的最大值為( )
A. B.
C. D.1
解析:顯然x≥0.x=0時,f(x)=0;
當(dāng)x>0時,x+1≥2,∴f(x)≤,
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時,取等號,f(x)max=.
答案:B
4.(xx·重慶高考)已知a>0,b>0,則++2的最小值是( )
A.2 B.2
C.4 D.5
解析:++2≥+2≥2=4.
當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,即a=b=1,不等式取最小值4.
答案:C
5.已知不等式(x+y)(+)≥9對任意正實數(shù)x,
3、y恒成立,則正實數(shù)a的最小值為( )
A.8 B.6
C.4 D.2
解析:(x+y)(+)=1+a·++a
≥a+1+2 =a+2+1,
當(dāng)且僅當(dāng)a·=等號成立,
所以()2+2+1≥9,
即()2+2-8≥0,得≥2或≤-4(舍),
所以a≥4,即a的最小值為4.
答案:C
6.(xx·長春質(zhì)檢)某學(xué)生用一不準確的天平(兩臂不等長)稱10 g藥品,他先將5 g的砝碼放在左盤,將藥品放在右盤使之平衡;然后又將5 g的砝碼放在右盤,將藥品放在左盤使之平衡,則此學(xué)生實際所得藥品( )
A.小于10 g B.大于10 g
C.大于等于10 g D.小于等于10
4、g
解析:設(shè)左、右臂長分別為t1、t2,第一次稱的藥品為x1,第二次稱的藥品為x2,則有5t1=x1t2,x2t1=5t2,所以x1+x2=5(+)>5×2=10,即大于10 g.
答案:B
二、填空題(3×5分=15分)
7.(xx·濟寧模擬)函數(shù)y=(x>-1)的圖象的最低點坐標是________.
解析:y=(x+1)+≥2,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時,取等號.
答案:(0,2)
8.函數(shù)y=ax-1(a>0,且a≠1)的圖象恒過定點A,若點A在一次函數(shù)y=mx+n的圖象上,其中m,n>0,則+的最小值為________.
解析:由題知A(1,1),∴m+n=1,m,n>0.
∴
5、+=+=2++≥4.
答案:4
9.(xx·忻州模擬)設(shè)x,y,z為正實數(shù),滿足x-2y+3z=0,則的最小值是________.
解析:由x-2y+3z=0得y=,
代入得≥=3,
當(dāng)且僅當(dāng)x=3z時取“=”.
答案:3
三、解答題(共37分)
10.(12分)經(jīng)過長期觀測得到:在交通繁忙的時段內(nèi),某公路段汽車的車流量y(千輛/小時)與汽車的平均速度v(千米/小時)之間的函數(shù)關(guān)系式為y=(v>0).
(1)在該時段內(nèi),當(dāng)汽車的平均速度v為多少時,車流量最大?最大車流量為多少?(精確到0.1千輛/小時);
(2)若要求在該時段內(nèi)車流量超過10千輛/小時,則汽車的平均速度應(yīng)在
6、什么范圍內(nèi)?
解析:(1)依題意,
y=≤=,
當(dāng)且僅當(dāng)v=,即v=40時,上式等號成立.
所以ymax=≈11.1(千輛/小時).
所以當(dāng)v=40千米/小時時,車流量最大,最大車流量約為11.1千輛/小時.
(2)由條件得>10,
整理得v2-89v+1 600<0,即(v-25)(v-64)<0,
解得25
7、f(x)=+,x∈(0,)的最小值,指出取最小值時x的值.
(1)證明:∵a,b,x,y都是正數(shù),
∴(+)(x+y)=a2+b2++≥a2+b2+2ab=(a+b)2,當(dāng)且僅當(dāng)=,即bx=ay時取“=”.
∴+≥,當(dāng)且僅當(dāng)bx=ay時等號成立.
(2)∵0-1,求函數(shù)y=的最小值.
(2)求y=x(a-2x)(0-1,
∴y=
8、
=
=(x+1)++5
≥2 +5=9.
當(dāng)且僅當(dāng)x+1=,即x=1時取等號.
∴函數(shù)的最小值為9.
(2)∵00,
∴y=x(a-2x)=·2x(a-2x)
≤·()2=.
當(dāng)且僅當(dāng)2x=a-2x,即x=時取等號,
∴當(dāng)x=時,函數(shù)的最大值為.
12.(13分)(xx·南通模擬)某房地產(chǎn)開發(fā)公司計劃在一樓區(qū)內(nèi)建造一個長方形公園ABCD,公園由長方形的休閑區(qū)A1B1C1D1和環(huán)公園人行道(陰影部分)組成.已知休閑區(qū)A1B1C1D1的面積為4 000平方米,人行道的寬分別為4米和10米(如圖).
(1)若設(shè)休閑區(qū)的長和寬的比=x,求公園ABCD所占面積S關(guān)于x的函數(shù)S(x)的解析式;
(2)要使公園所占面積最小,休閑區(qū)A1B1C1D1的長和寬該如何設(shè)計?
解析:(1)設(shè)休閑區(qū)的寬B1C1為a米,
則其長A1B1為ax米,
∴a2x=4 000?a=,
∴S=(a+8)(ax+20)
=a2x+(8x+20)a+160
=4 000+(8x+20)·+160
=80(2+)+4 160(x>1).
(2)S≥1 600+4 160=5 760
(當(dāng)且僅當(dāng)2=?x=2.5),
即當(dāng)x=2.5時,公園所占面積最?。?
此時a=40,ax=100,即休閑區(qū)A1B1C1D1的長為100米,寬為40米.