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1、2022年高中數(shù)學 雙曲線的幾何性質(zhì)教案 新人教A版選修2 【本節(jié)地位】 雙曲線在圓錐曲線中的重要地位是不言而喻的！作為一個重要的開放型的曲線的代表，雙曲線相對于封閉型的曲線如圓和橢圓而言更抽象，她是歷年高考試題命題的熱點和難點，其漸近線也是題中的經(jīng)常涉及的內(nèi)容，一定程度上兩者甚至可以相互指代。 【學習目標】 一、 知識與技能 1.掌握雙曲線的漸近線的特征及對雙曲線的形狀的影響. 2.掌握如何由雙曲線的標準方程推得其漸近線方程； 3.理解由漸近線的知識簡單應用. 二、 過程與方法 1.教師引導，學生層層探究。 2.在雙曲線的漸近線知識的探究過程中，提高觀察

2、能力和總結(jié)概括能力； 3在雙曲線的漸近線方程的求解過程中，體會化歸的數(shù)學思想和分類討論的思想. 三 、情感、態(tài)度和價值觀 在探究雙曲線的漸近線知識發(fā)生的過程中，同學們可以體會事物的認知規(guī)律：從特殊到一般； 【學習重點】 1.雙曲線的漸近線與雙曲線的位置關系； 2.雙曲線的漸近線方程的求法和簡單應用. 3.學會借助于特殊的直線，畫出雙曲線的簡圖 【學習難點】 1.雙曲線的漸近線與雙曲線的位置關系； 2.雙曲線的漸近線對雙曲線的形狀的影響. 【溫故指南】 1.橢圓的簡圖的畫法 2.雙曲線的標準方程和上一節(jié)課學習的雙曲線的簡單幾何性質(zhì)：范圍、頂點、對稱性和離心率. 【預習

3、指南】 1.自己動手畫一個焦點在x軸上的雙曲線的簡圖，要求保留材料； 2.預習并動手演算教材62頁的“探究與發(fā)現(xiàn)”部分的相關內(nèi)容，要求保留材料； 【課堂教與學】 一 溫故以知新 雙曲線已學的基本性質(zhì) 標準方程 x y o 圖像 x y o 范圍 頂點 參數(shù)關系 焦點 離心率范圍 對稱性 關于x軸、y軸對稱和關于原點中心對稱 二 新知探究 y x o a b 1.探究 與之間相對位置關系； 溫馨提示：利用對稱性只需研究第一象

4、限部分的雙曲線曲線，可謂真正的“舉一反三”啊. 思路提示： 觀察 猜想 驗證 總結(jié) 回歸： 學過的哪些常見函數(shù)曲線有這樣的直線？ 特別地 ：的漸近線方程為 ，也就是特征矩形的 2.探究 的漸近線對雙曲線形狀的影響 3.雙曲線的漸近線方程求解及性質(zhì) 求法一：漸近線也是雙曲線的特征矩形的對角線，可用幾何法直接求解. 求法二： 的漸近線為，即： 也可表示為 或 可以認為： 雙曲線的漸進線 只需將

5、“” “” 探究： ① 雙曲線 的漸近線. ② 標準方程中 時，即實軸和虛軸相等時，漸近線方程是 等軸雙曲線有何特征？ ⅰ> 兩條漸近線相互 ⅱ> 所圍成的特征矩形為 ⅲ> ③ 如何畫出雙曲線的簡圖，有哪些特殊的直線可以“幫忙”； 4.學以致用 【例1】求雙曲線漸近線方程，并畫出簡圖. 【變式】在同一直角坐標系中作出 與 的簡圖 【例2】求與雙曲線共漸近線且焦距為4的雙曲線的標準方程 【變式1】已知中心在原點，對

6、稱軸為坐標軸的雙曲線，一條漸近線方程為，且經(jīng)過點，求雙曲線的標準方程 【變式2】已知中心在原點，對稱軸為坐標軸的雙曲線，過定點且離心率為，求該雙曲線的標準方程 【變式3】已知中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的特征矩形的面積為12，且離心率為 ，求雙曲線的漸近線方程 【作業(yè)布置】 1.求雙曲線與的焦點和漸近線方程，并在同一個坐標系中作出它們的簡圖. 2.與橢圓有相同焦點，且其漸近線方程為，求該雙曲線的方程 3.已知雙曲線 ⑴ 求漸近線方程 ⑵ 求焦距為4時的雙曲線方程 ⑶ 求過點的雙

7、曲線方程和過點的雙曲線方程 【本課小結(jié)】視頻再現(xiàn)，自我總結(jié) 【拓展延伸和自主學習】 1.與雙曲線有共同漸近線的雙曲線是什么？ 探究思路： 的漸近線將“” “”為 . 的漸近線方程是： 的漸近線方程是： 的漸近線方程是： 我們稱為的共漸近線的雙曲線系方程. 深入探究 ： 觀察 和 兩者的聯(lián)系： ⅰ 就漸近線而言，

8、 ⅱ 就實軸和虛軸的關系而言， ⅲ 就焦距而言， ⅳ 就離心率關系而言， 稱這樣的兩個雙曲線為共軛雙曲線： 一般的，雙曲線的共軛雙曲線是 y x B· A· C· 2.如圖所示的雙曲線，標有三點，請根據(jù)本節(jié)的雙曲線的漸近線和已學的直線和曲線的位置關系等相關知識，探究：

9、 ⑴ 過的直線隨方向的變化與雙曲線的交點情況； o a b ⑵ 過的直線隨方向的變化與雙曲線的交點情況； ⑶ 過的直線隨方向的變化與雙曲線的交點情況； 【教學后記】: 1. 本節(jié)作為研究雙曲線性質(zhì)最重要的一節(jié)課，全篇要圍繞什么是雙曲線的漸近線以及為什么要研究雙曲線的漸近線，或者說研究雙曲線的漸近線有何必要性，以加大同學們的學習興趣和探究新知的欲望，引導學生層層深入去探究，使得教學的有效性得到增強。 2. 雙曲線的漸近線是一個比較抽象的一個概念，一來沒有嚴格的漸近線定義，二來沒有極限知識的輔助，使得漸近線的教學“理性”不足“感性”有余。為了使得漸近線在本節(jié)的教學過程中收到預期的效果以及讓學生在以后函數(shù)圖像的分析中初步利用漸近線這一工具，我們充分利用幾何畫板的動態(tài)演示功能，給學生一個直觀的漸近線印象，這一印象適當可引導學生從具體的雙曲線漸近線向一般的曲線的漸近線（如果有的話）推廣。最后的MTV動漫視屏能再一次的加深學生對漸近線的感性認識。