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2022年高三數(shù)學一輪總復習 專題十一 直線和圓的方程(含解析)

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1、2022年高三數(shù)學一輪總復習 專題十一 直線和圓的方程(含解析) 抓住4個高考重點 重點1 直線的方程 1.求直線的斜率及傾斜角的范圍 2.求直線的方程 [高考??冀嵌萞 角度1 設為曲線上的點,且曲線在點處切線傾斜角的取值范圍為,則點橫坐標的取值范圍為( ) A. B. C. D. 解析:,本題考查直線的傾斜角與斜率以及導數(shù)幾何意義的應用. 切線的斜率,設切點為,于是,故選A 角度2 若過點的直線與曲線:有公共點,則直線的斜率的取值范圍為( ) A.

2、 B. C. D. 解析: 本題考查直線與曲線的位置關系,直線的斜率. 方法一:設過的直線的方程為,即(注:當不存在時,不滿足題意). 直線與圓有公共點,則,故選. 方法二:如圖, 因此 故選 角度3 直線過點且與直線垂直,則的方程是( ) A. B. C. D. 解析:本題主要考查直線的方程的求解和兩直線垂直時斜率的關系. 方法一:由直線與直線垂直,可知直線的斜率是,由點斜式可得直線的方程為,即,故選A 方法二:

3、由直線與直線垂直,可設直線的方程為, 又直線過點,所以,故直線的方程為,選A 重點2 兩條直線的位置關系 1.兩直線平行與垂直問題的解決策略 2.兩條直線的交點 3.點到直線的距離、兩條平行線的距離 [高考??冀嵌萞 角度1 已知,若平面內三點共線,則_______ 解析:由已知,三點共線,所以 角度2 經(jīng)過圓的圓心,且與直線垂直的直線方程是__________________ 解析:由圓方程,圓心為 所求直線的斜率為,方程為,即 角度3已知圓過點,且圓心在軸的正半軸上,直線被圓所截得的弦長為,則過圓心且與直線垂直的

4、直線的方程為 . 解析:由題意,設所求的直線方程為,設圓心坐標為,則由題意知: ,又因為圓心在x軸的正半軸上,所以, 故圓心坐標為,因為圓心在所求的直線上,所以有, 故所求的直線方程為 點評:本題考查了直線的方程、點到直線的距離、直線與圓的關系,考查了學生解決直線與圓問題的能力。 重點3 圓的方程 1.圓的標準方程、一般方程 2.利用幾何性質求解圓的方程 [高考??冀嵌萞 角度1以拋物線的焦點為圓心,且過坐標原點的圓的方程為( D ) A. B. C. D. 解析:因為已知拋物線的焦點坐標為,即所求

5、圓的圓心,又圓過原點,所以圓的半徑為, 故所求圓的方程為,即,故選D。 點評:本題考查拋物線的幾何性質以及圓的方程的求法,屬基礎題。 角度2過點的圓與直線相切于點,則圓的方程為_____________ 解析:設圓的方程為,則 解得,故所求圓的方程為. 點評:本題主要考查利用題意條件求解圓的方程,通常借助待定系數(shù)法求解. 重點4 直線與圓、圓與圓的位置關系 1.直線與圓的位置關系:(1)相交~,(2)相切~,(3)相離~, 2.圓與圓的位置關系:兩圓的圓心距為,半徑分別為(1)相離~,(2)外切~, (3)相交~,(4)內切~,(5)內含~,(6)同心~,

6、 [高考??冀嵌萞 角度1 (xx.廣東)已知集合且且則的元素個數(shù)為( ) A. B. C. D. 解析:集合表示圓心在原點的單位圓,集合表示過原點的直線,所以直線與圓有兩個交點,故選C 角度2在平面直角坐標系中,圓的方程為,若直線上至少存在一點,使得以該點為圓心,1為半徑的圓與圓有公共點,則的最大值是 . 點評:主要考查圓與圓的位置關系,點到直線的距離 解析:∵圓C的方程可化為:,∴圓C的圓心為,半徑為1. ∵由題意,直線上至少存在一點,以該點為圓心,1為半徑的圓與圓有公共點;

7、 ∴存在,使得成立,即 ∵即為點到直線的距離,∴,解得. ∴的最大值是 角度3設圓與圓外切,與直線相切,則的圓心軌跡為( A ) A.拋物線 B.雙曲線 C.橢圓 D.圓 解析:由已知,作圖分析可知,圓的圓心到點的距離與它到直線的距離相等, 則的圓心軌跡為拋物線,故選A 角度4 若曲線與曲線有三個不同的交點,則實數(shù)m的值是_________ 解析:本題綜合考查直線與圓的方程、圓的幾何性質、直線與圓的位置關系,以及分類討論、化歸與轉化的數(shù)學思想. 由曲線,所以曲線是以點,為半徑的圓; 曲線則

8、表示兩條直線,即軸與直線,顯然軸與圓有兩個交點,則直線與圓相切, 故圓心到直線的距離 突破4個高考難點 難點1 對稱問題的探究 1.中心對稱:(1)點與點關于點對稱 (2)直線與直線關于點對稱 2.軸對稱: (1)點與點關于直線對稱 (2)直線與直線關于直線對稱 典例 一條光線經(jīng)過點射向軸上一點又從反射到直線上的一點又從點反射回到點,則直線的方程為 解析:點關于軸的對稱點為,關于直線的對稱點為, 在直線上, 所以直線的方程為 難點2 過定點的直線系問題 典例1 已知直線的方程為,則該直線對于任意實數(shù)恒經(jīng)過的定點是_________

9、__ 解析:將方程整理為,這個方程對于任意實數(shù)恒成立, 必須滿足 解得且,故直線過定點 典例2 已知直線和直線與兩坐標軸圍成一個四邊形,則使得這個四邊形面積最小的值為__________ 解析:直線的方程可化為,該直線系過定點, 與兩坐標軸的交點坐標是 直線的方程可化為,該直線系過定點, 與兩坐標軸的交點坐標是 如圖,所求四邊形是OBMC, 所以當時,四邊形面積最?。? 難點3 與圓有關的最值問題 典例1 已知實數(shù)滿足方程 (1)求的最大值和最小值 (2)求的最大值和最小值 (3)求的最大值和最小值 解析:由為圓,其中圓心

10、為 (1)可視為圓上一點與原點連線的斜率,設,其兩切線的斜率分別為最小值和最大值 由圖可知,切線斜率為 (2)可視為直線的縱截距,如圖,當直線與圓相切時,縱截距最大或者最小 此時,所以最小值為,最大值為 (3)表示圓上一點與原點的距離的平方,如圖可知, 在原點和圓心的連線與圓的兩個交點處取得最小值和最大值. 可得圓心到原點的距離為, 因此 難點4 有關圓的弦長、中點弦問題的求解 典例1 已知點及圓. (1)若直線過點且被圓截得的線段長為,求直線的方程; (2)求過點的圓的弦的中點的軌跡方程. 解析:(1)方法一:如圖所示,是的中點, 圓方程可化為,圓心

11、為,故,在中,可得 當直線的斜率存在時,設所求直線的斜率為,則直線的方程為,即 點到直線的距離為: 此時直線的方程為. 當直線的斜率不存在時,方程為,則,解得, 滿足題意 故所求直線的方程為或. 方法二:當直線的斜率存在時,設所求直線的斜率為,則直線的方程為, 由 ①, 設方程①的兩根為,則有 由弦長公式得 此時直線的方程為. 當直線的斜率不存在時,方程為,也滿足題意 故所求直線的方程為或. (2)設過點的圓的弦的中點為,則, 即 故所求軌跡方程為. 規(guī)避3個易失分點 易失分點1 忽視斜率不存在的情況 典例

12、 已知求使的的值. 易失分提示:本題易出現(xiàn)的問題是忽視直線斜率不存在的特殊情況. 解析:方法一 當直線斜率不存在,即時,有滿足 當直線斜率存在時, 故使使的的值的值為或. 方法二 由或,故使使的的值的值為或. 易失分點2 忽視零截距 典例 已知直線過點,且在兩坐標軸上的截距相等,則此直線的方程為_________________ 易失分提示:本題易出現(xiàn)的錯誤是忽視直線在兩坐標軸上的截距為零的情況,若直線在兩坐標軸上的截距為零, 則直線經(jīng)過坐標原點. 答案:或 解析:設直線在兩坐標軸上的截距為. 當時,直線過原點,因為直線過點,所以此時直線的方程為. 當時,設直線的方程為,則,則此時直線的方程為. 綜上知,所求直線的方程為或. 易失分點3 忽視圓存在的條件 典例 已知圓的方程為,過定點可作該圓的兩條切線,求的取值范圍. 易失分提示:解答此題時,易忽略作為圓的充要條件,從而致誤. 解析:圓的方程可變形為:,其中,即 ① 因為過定點可作該圓的兩條切線,所以點在圓外 ,即. ② 由①②可得:,故的取值范圍

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