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1、2022年高二數(shù)學(xué) 1、2-2-2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)同步練習(xí) 新人教A版選修1-1 一、選擇題 1．已知雙曲線與橢圓＋＝1共焦點(diǎn)，它們的離心率之和為，雙曲線的方程應(yīng)是 (　　) A.－＝1　　　　　　 B.－＝1 C．－＋＝1 D．－＋＝1 [答案]　C [解析]　∵橢圓＋＝1的焦點(diǎn)為(0，±4)，離心率e＝， ∴雙曲線的焦點(diǎn)為(0，±4)，離心率為－＝＝2， ∴雙曲線方程為：－＝1. 2．焦點(diǎn)為(0，±6)且與雙曲線－y2＝1有相同漸近線的雙曲線方程是(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 [答案]　B [解析]

2、　與雙曲線－y2＝1有共同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為－y2＝λ(λ≠0)， 又因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在y軸上， ∴方程可寫為－＝1. 又∵雙曲線方程的焦點(diǎn)為(0，±6)， ∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12. ∴雙曲線方程為－＝1. 3．若00. ∴c2＝(a2－k2)＋(b2＋k2)＝a2＋b2. 4．中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為的雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，則它的漸近線方程為(　　) A．y＝±x

3、 B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x [答案]　D [解析]　∵＝，∴＝＝，∴＝， ∴＝，∴＝. 又∵雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上， ∴雙曲線的漸近線方程為y＝±x， ∴所求雙曲線的漸近線方程為y＝±x. 5．(xx·四川文，8)已知雙曲線－＝1(b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，其一條漸近線方程為y＝x，點(diǎn)P(，y0)在該雙曲線上，則·＝(　　) A．－12 B．－2 C．0 D．4 [答案]　C [解析]　本小題主要考查雙曲線的方程及雙曲線的性質(zhì)． 由題意得b2＝2，∴F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)， 又點(diǎn)P(，y0)

4、在雙曲線上，∴y＝1， ∴·＝(－2－，－y0)·(2－，－y0)＝－1＋y＝0，故選C. 6．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的焦點(diǎn)到漸近線的距離是其頂點(diǎn)到漸近線距離的3倍，則雙曲線的漸近線方程為(　　) A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±3x [答案]　B [解析]　如圖， 分別過雙曲線的右頂點(diǎn)A，右焦點(diǎn)F作它的漸近線的垂線，B、C分別為垂足，則△OBA∽△OCF， ∴＝＝， ∴＝，∴＝2， 故漸近線方程為：y＝±2x. 7．雙曲線－＝1的兩條漸近線互相垂直，那么該雙曲線的離心率為(　　) A．2 B.

5、C. D. [答案]　C [解析]　雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則漸近線方程為：y＝±x， ∴＝1，∴＝＝1， ∴c2＝2a2，e＝＝. 8．雙曲線－＝1的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于(　　) A. B．3 C．4 D．2 [答案]　C [解析]　∵焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±5,0)，漸近線方程為y＝±x，∴一個(gè)焦點(diǎn)(5,0)到漸近線y＝x的距離為4. 9．過雙曲線－＝1(a>0，b>0)上任意一點(diǎn)P引與實(shí)軸平行的直線，交兩漸近線于M、N兩點(diǎn)，則·的值為(　　) A．a(chǎn)2 B．b2 C．2ab D．a(chǎn)2＋b2

6、[答案]　A [解析]　特值法：當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，·＝a2. 10．(xx·浙江理，8)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)．若在雙曲線右支上存在點(diǎn)P，滿足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實(shí)軸長，則該雙曲線的漸近方程為(　　) A．3x±4y＝0 B．3x±5y＝0 C．4x±3y＝0 D．5x±4y＝0 [答案]　C [解析]　如圖：由條件|F2A|＝2a，|F1F2|＝2c 又知|PF2|＝|F1F2|，知A為PF1中點(diǎn)，由a2＋b2＝c2，有|PF1|＝4b由雙曲線定義： |PF1|－

7、|PF2|＝2a，則4b－2c＝2a ∴2b＝c＋a，又有c2＝a2＋b2，(2b－a)2＝a2＋b2， ∴4b2－4ab＋a2＝a2＋b2 3b2＝4ab，∴＝， ∴漸近線方程：y＝±x.故選C. 二、填空題 11．雙曲線＋＝1的離心率e∈(1,2)，則b的取值范圍是________． [答案]?。?2

8、是橢圓離心率的2倍，求該雙曲線的方程為________． [答案]?。? [解析]　橢圓＋＝1中，a＝5，b＝3，c2＝16， 焦點(diǎn)為(0，±4)，離心率e＝＝， ∴雙曲線的離心率e1＝2e＝， ∴＝＝，∴a1＝， ∴b＝c－a＝16－＝， ∴雙曲線的方程為－＝1. 14．(xx·全國Ⅱ文，8改編)雙曲線－＝1的漸近線與圓(x－3)2＋y2＝r2(r>0)相切，則r＝________. [答案]　 [解析]　本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系以及點(diǎn)到直線的距離公式． 雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝±x＝±x， ∴x±2y＝0，由題意，得r＝＝. 三、解答題

9、 15．已知?jiǎng)訄A與⊙C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，且與⊙C2：(x－3)2＋y2＝1內(nèi)切，求動圓圓心M的軌跡方程． [解析]　設(shè)動圓圓心M的坐標(biāo)為(x，y)，半徑為r， 則|MC1|＝r＋3，|MC2|＝r－1， ∴|MC1|－|MC2|＝r＋3－r＋1＝4<|C1C2|＝6， 由雙曲線的定義知，點(diǎn)M的軌跡是以C1、C2為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且2a＝4，a＝2， 雙曲線的方程為：－＝1(x≥2)． 16．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)過點(diǎn)A(，)，且點(diǎn)A到雙曲線的兩條漸近線的距離的積為.求此雙曲線方程． [解析]　雙曲線－＝1的兩漸近線的方程為bx±ay＝0. 點(diǎn)A到

10、兩漸近線的距離分別為 d1＝，d2＝ 已知d1d2＝，故＝(ⅰ) 又A在雙曲線上，則 14b2－5a2＝a2b2(ⅱ) (ⅱ)代入(ⅰ)，得3a2b2＝4a2＋4b2(ⅲ) 聯(lián)立(ⅱ)、(ⅲ)解得b2＝2，a2＝4. 故所求雙曲線方程為－＝1. 17．如下圖，已知F1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩焦點(diǎn)，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點(diǎn)在雙曲線上，求雙曲線的離心率． [解析]　設(shè)MF1的中點(diǎn)為P，在Rt△PMF2中，|PF2|＝|MF2|·sin60°＝2c·＝c.又由雙曲線的定義得|PF2|－|PF1|＝2a，所以a＝c，e＝＝＝＋1.

11、 18．是否存在同時(shí)滿足下列條件的雙曲線，若存在，求出其方程；若不存在，說明理由． (1)漸近線方程為x＋2y＝0及x－2y＝0； (2)點(diǎn)A(5,0)到雙曲線上動點(diǎn)P的距離的最小值為. [解析]　假設(shè)存在同時(shí)滿足題中的兩條件的雙曲線． (1)若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，因?yàn)闈u近線方程為 y＝±x，所以由條件(1)，設(shè)雙曲線方程為－＝1， 設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則|AP|＝＝，由條件(2)，若2b≤4，即b≤2，則當(dāng)x＝4時(shí)，|AP|最?。剑?，b2＝－1，這不可能，無解；若2b>4，則當(dāng)x＝2b時(shí)，|AP|最?。絴2b－5|＝，解得b＝，此時(shí)存在雙曲線方程為－＝1. (2)若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，則可設(shè)雙曲線方程為－＝1(x∈R)， 所以|AP|＝， 因?yàn)閤∈R， 所以當(dāng)x＝4時(shí)，|AP|最?。剑? 所以a2＝1，此時(shí)存在雙曲線方程為y2－＝1.