2022年高中物理競賽 第5部分《振動(dòng)和波》教案 新人教版
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1、2022年高中物理競賽 第5部分《振動(dòng)和波》教案 新人教版 《振動(dòng)和波》的競賽考綱和高考要求有很大的不同,必須做一些相對詳細(xì)的補(bǔ)充。 一、簡諧運(yùn)動(dòng) 1、簡諧運(yùn)動(dòng)定義:= -k ① 凡是所受合力和位移滿足①式的質(zhì)點(diǎn),均可稱之為諧振子,如彈簧振子、小角度單擺等。 諧振子的加速度:= - 2、簡諧運(yùn)動(dòng)的方程 回避高等數(shù)學(xué)工具,我們可以將簡諧運(yùn)動(dòng)看成勻速圓周運(yùn)動(dòng)在某一條直線上的投影運(yùn)動(dòng)(以下均看在x方向的投影),圓周運(yùn)動(dòng)的半徑即為簡諧運(yùn)動(dòng)的振幅A 。 依據(jù):x = -mω2Acosθ= -mω2 對于一個(gè)給定的勻速圓周運(yùn)動(dòng),m、ω是恒定不變的,可以令:
2、 mω2 = k 這樣,以上兩式就符合了簡諧運(yùn)動(dòng)的定義式①。所以,x方向的位移、速度、加速度就是簡諧運(yùn)動(dòng)的相關(guān)規(guī)律。從圖1不難得出—— 位移方程: = Acos(ωt + φ) ② 速度方程: = -ωAsin(ωt +φ) ③加速度方程:= -ω2A cos(ωt +φ) ④ 相關(guān)名詞:(ωt +φ)稱相位,φ稱初相。 運(yùn)動(dòng)學(xué)參量的相互關(guān)系:= -ω2 A =
3、 tgφ= - 3、簡諧運(yùn)動(dòng)的合成 a、同方向、同頻率振動(dòng)合成。兩個(gè)振動(dòng)x1 = A1cos(ωt +φ1)和x2 = A2cos(ωt +φ2) 合成,可令合振動(dòng)x = Acos(ωt +φ) ,由于x = x1 + x2 ,解得 A = ,φ= arctg 顯然,當(dāng)φ2-φ1 = 2kπ時(shí)(k = 0,±1,±2,…),合振幅A最大,當(dāng)φ2-φ1 = (2k + 1)π時(shí)(k = 0,±1,±2,…),合振幅最小。 b、方向垂直、同頻率振動(dòng)合成。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)垂直的振動(dòng)x = A1cos(ωt + φ1)和y = A2cos(ωt + φ2)時(shí),這兩個(gè)振動(dòng)方程事實(shí)上已經(jīng)
4、構(gòu)成了質(zhì)點(diǎn)在二維空間運(yùn)動(dòng)的軌跡參數(shù)方程,消去參數(shù)t后,得一般形式的軌跡方程為 +-2cos(φ2-φ1) = sin2(φ2-φ1) 顯然,當(dāng)φ2-φ1 = 2kπ時(shí)(k = 0,±1,±2,…),有y = x ,軌跡為直線,合運(yùn)動(dòng)仍為簡諧運(yùn)動(dòng); 當(dāng)φ2-φ1 = (2k + 1)π時(shí)(k = 0,±1,±2,…),有+= 1 ,軌跡為橢圓,合運(yùn)動(dòng)不再是簡諧運(yùn)動(dòng); 當(dāng)φ2-φ1取其它值,軌跡將更為復(fù)雜,稱“李薩如圖形”,不是簡諧運(yùn)動(dòng)。 c、同方向、同振幅、頻率相近的振動(dòng)合成。令x1 = Acos(ω1t + φ)和x2 = Acos(ω2t + φ) ,由于合運(yùn)動(dòng)x = x1 + x
5、2 ,得:x =(2Acost)cos(t +φ)。合運(yùn)動(dòng)是振動(dòng),但不是簡諧運(yùn)動(dòng),稱為角頻率為的“拍”現(xiàn)象。 4、簡諧運(yùn)動(dòng)的周期 由②式得:ω= ,而圓周運(yùn)動(dòng)的角速度和簡諧運(yùn)動(dòng)的角頻率是一致的,所以 T = 2π ⑤ 5、簡諧運(yùn)動(dòng)的能量 一個(gè)做簡諧運(yùn)動(dòng)的振子的能量由動(dòng)能和勢能構(gòu)成,即 = mv2 + kx2 = kA2 注意:振子的勢能是由(回復(fù)力系數(shù))k和(相對平衡位置位移)x決定的一個(gè)抽象的概念,而不是具體地指重力勢能或彈性勢能。當(dāng)我們計(jì)量了振子的抽象勢能后,其它的具體
6、勢能不能再做重復(fù)計(jì)量。 6、阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)和共振 和高考要求基本相同。 二、機(jī)械波 1、波的產(chǎn)生和傳播 產(chǎn)生的過程和條件;傳播的性質(zhì),相關(guān)參量(決定參量的物理因素) 2、機(jī)械波的描述 a、波動(dòng)圖象。和振動(dòng)圖象的聯(lián)系 b、波動(dòng)方程 如果一列簡諧波沿x方向傳播,振源的振動(dòng)方程為y = Acos(ωt + φ),波的傳播速度為v ,那么在離振源x處一個(gè)振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程便是 y = Acos〔ωt + φ - ·2π〕= Acos〔ω(t - )+ φ〕 這個(gè)方程展示的是一個(gè)復(fù)變函數(shù)。對任意一個(gè)時(shí)刻t ,都有一個(gè)y(x)的正弦函數(shù),在x-y坐標(biāo)下可以描繪出一個(gè)瞬時(shí)波形。
7、所以,稱y = Acos〔ω(t - )+ φ〕為波動(dòng)方程。 3、波的干涉 a、波的疊加。幾列波在同一介質(zhì)種傳播時(shí),能獨(dú)立的維持它們的各自形態(tài)傳播,在相遇的區(qū)域則遵從矢量疊加(包括位移、速度和加速度的疊加)。 b、波的干涉。兩列波頻率相同、相位差恒定時(shí),在同一介質(zhì)中的疊加將形成一種特殊形態(tài):振動(dòng)加強(qiáng)的區(qū)域和振動(dòng)削弱的區(qū)域穩(wěn)定分布且彼此隔開。 我們可以用波程差的方法來討論干涉的定量規(guī)律。如圖2所示,我們用S1和S2表示兩個(gè)波源,P表示空間任意一點(diǎn)。 當(dāng)振源的振動(dòng)方向相同時(shí),令振源S1的振動(dòng)方程為y1 = A1cosωt ,振源S1的振動(dòng)方程為y2 = A2cosωt ,則在空間P點(diǎn)(距
8、S1為r1 ,距S2為r2),兩振源引起的分振動(dòng)分別是 y1′= A1cos〔ω(t ? )〕 y2′= A2cos〔ω(t ? )〕 P點(diǎn)便出現(xiàn)兩個(gè)頻率相同、初相不同的振動(dòng)疊加問題(φ1 = ,φ2 = ),且初相差Δφ= (r2 – r1)。根據(jù)前面已經(jīng)做過的討論,有 r2 ? r1 = kλ時(shí)(k = 0,±1,±2,…),P點(diǎn)振動(dòng)加強(qiáng),振幅為A1 + A2 ; r2 ? r1 =(2k ? 1)時(shí)(k = 0,±1,±2,…),P點(diǎn)振動(dòng)削弱,振幅為│A1-A2│。 4、波的反射、折射和衍射 知識點(diǎn)和高考要求相同。 5、多普勒效應(yīng) 當(dāng)波源或者接受者相對與波的傳播介質(zhì)運(yùn)
9、動(dòng)時(shí),接收者會(huì)發(fā)現(xiàn)波的頻率發(fā)生變化。多普勒效應(yīng)的定量討論可以分為以下三種情況(在討論中注意:波源的發(fā)波頻率f和波相對介質(zhì)的傳播速度v是恒定不變的)—— a、只有接收者相對介質(zhì)運(yùn)動(dòng)(如圖3所示) 設(shè)接收者以速度v1正對靜止的波源運(yùn)動(dòng)。 如果接收者靜止在A點(diǎn),他單位時(shí)間接收的波的個(gè)數(shù)為f , 當(dāng)他迎著波源運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)其在單位時(shí)間到達(dá)B點(diǎn),則= v1 ,、 在從A運(yùn)動(dòng)到B的過程中,接收者事實(shí)上“提前”多接收到了n個(gè)波 n = = = 顯然,在單位時(shí)間內(nèi),接收者接收到的總的波的數(shù)目為:f + n = f ,這就是接收者發(fā)現(xiàn)的頻率f1 。即 f1 = f 顯然,如果v1背離波源運(yùn)動(dòng),
10、只要將上式中的v1代入負(fù)值即可。如果v1的方向不是正對S ,只要將v1出正對的分量即可。 b、只有波源相對介質(zhì)運(yùn)動(dòng)(如圖4所示) 設(shè)波源以速度v2正對靜止的接收者運(yùn)動(dòng)。 如果波源S不動(dòng),在單位時(shí)間內(nèi),接收者在A點(diǎn)應(yīng)接收f個(gè)波,故S到A的距離:= fλ 在單位時(shí)間內(nèi),S運(yùn)動(dòng)至S′,即= v2 。由于波源的運(yùn)動(dòng),事實(shí)造成了S到A的f個(gè)波被壓縮在了S′到A的空間里,波長將變短,新的波長 λ′= = = = 而每個(gè)波在介質(zhì)中的傳播速度仍為v ,故“被壓縮”的波(A接收到的波)的頻率變?yōu)? f2 = = f 當(dāng)v2背離接收者,或有一定夾角的討論,類似a情形。 c、當(dāng)接收者和波源均相
11、對傳播介質(zhì)運(yùn)動(dòng) 當(dāng)接收者正對波源以速度v1(相對介質(zhì)速度)運(yùn)動(dòng),波源也正對接收者以速度v2(相對介質(zhì)速度)運(yùn)動(dòng),我們的討論可以在b情形的過程上延續(xù)… f3 = f2 = f 關(guān)于速度方向改變的問題,討論類似a情形。 6、聲波 a、樂音和噪音 b、聲音的三要素:音調(diào)、響度和音品 c、聲音的共鳴 第二講 重要模型與專題 一、簡諧運(yùn)動(dòng)的證明與周期計(jì)算 物理情形:如圖5所示,將一粗細(xì)均勻、兩邊開口的U型管固定,其中裝有一定量的水銀,汞柱總長為L 。當(dāng)水銀受到一個(gè)初始的擾動(dòng)后,開始在管中振動(dòng)。忽略管壁對汞的阻力,試證明汞柱做簡諧運(yùn)動(dòng),并求其周期。 模型分析:對簡諧運(yùn)動(dòng)的
12、證明,只要以汞柱為對象,看它的回復(fù)力與位移關(guān)系是否滿足定義式①,值得注意的是,回復(fù)力系指振動(dòng)方向上的合力(而非整體合力)。當(dāng)簡諧運(yùn)動(dòng)被證明后,回復(fù)力系數(shù)k就有了,求周期就是順理成章的事。 本題中,可設(shè)汞柱兩端偏離平衡位置的瞬時(shí)位移為x 、水銀密度為ρ、U型管橫截面積為S ,則次瞬時(shí)的回復(fù)力 ΣF = ρg2xS = x 由于L、m為固定值,可令: = k ,而且ΣF與x的方向相反,故汞柱做簡諧運(yùn)動(dòng)。 周期T = 2π= 2π 答:汞柱的周期為2π 。 學(xué)生活動(dòng):如圖6所示,兩個(gè)相同的柱形滾輪平行、登高、水平放置,繞各自的軸線等角速、反方向地轉(zhuǎn)動(dòng),在滾輪上覆蓋一塊均質(zhì)的木板。已知兩滾
13、輪軸線的距離為L 、滾輪與木板之間的動(dòng)摩擦因素為μ、木板的質(zhì)量為m ,且木板放置時(shí),重心不在兩滾輪的正中央。試證明木板做簡諧運(yùn)動(dòng),并求木板運(yùn)動(dòng)的周期。 思路提示:找平衡位置(木板重心在兩滾輪中央處)→力矩平衡和ΣF6= 0結(jié)合求兩處彈力→求摩擦力合力… 答案:木板運(yùn)動(dòng)周期為2π 。 鞏固應(yīng)用:如圖7所示,三根長度均為L = 2.00m地質(zhì)量均勻直桿,構(gòu)成一正三角形框架ABC,C點(diǎn)懸掛在一光滑水平軸上,整個(gè)框架可繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)。桿AB是一導(dǎo)軌,一電動(dòng)松鼠可在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)?,F(xiàn)觀察到松鼠正在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng),而框架卻靜止不動(dòng),試討論松鼠的運(yùn)動(dòng)是一種什么樣的運(yùn)動(dòng)。 解說:由于框架靜止不動(dòng),松鼠在豎直方向必
14、平衡,即:松鼠所受框架支持力等于松鼠重力。設(shè)松鼠的質(zhì)量為m ,即: N = mg ① 再回到框架,其靜止平衡必滿足框架所受合力矩為零。以C點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸,形成力矩的只有松鼠的壓力N、和松鼠可能加速的靜摩擦力f ,它們合力矩為零,即: MN = Mf 現(xiàn)考查松鼠在框架上的某個(gè)一般位置(如圖7,設(shè)它在導(dǎo)軌方向上距C點(diǎn)為x),上式即成: N·x = f·Lsin60° ② 解①②兩式可得:f = x ,且f的方向水平向左。 根據(jù)牛頓第三定律,這個(gè)力就是松鼠在導(dǎo)軌方向上的合力。如果我們以C在導(dǎo)軌上的投影點(diǎn)為參
15、考點(diǎn),x就是松鼠的瞬時(shí)位移。再考慮到合力與位移的方向因素,松鼠的合力與位移滿足關(guān)系—— = -k 其中k = ,對于這個(gè)系統(tǒng)而言,k是固定不變的。 顯然這就是簡諧運(yùn)動(dòng)的定義式。 答案:松鼠做簡諧運(yùn)動(dòng)。 評說:這是第十三屆物理奧賽預(yù)賽試題,問法比較模糊。如果理解為定性求解,以上答案已經(jīng)足夠。但考慮到原題中還是有定量的條件,所以做進(jìn)一步的定量運(yùn)算也是有必要的。譬如,我們可以求出松鼠的運(yùn)動(dòng)周期為:T = 2π = 2π = 2.64s 。 二、典型的簡諧運(yùn)動(dòng) 1、彈簧振子 物理情形:如圖8所示,用彈性系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧連著一個(gè)質(zhì)量為m的小球,置于傾角為θ的光滑斜面上。證明:小球在彈
16、簧方向的振動(dòng)為簡諧運(yùn)動(dòng),并求其周期T 。 學(xué)生自己證明…。周期T = 2π 模型分析:這個(gè)結(jié)論表明,彈簧振子完全可以突破放置的方向而伸展為一個(gè)廣義的概念,且伸展后不會(huì)改變運(yùn)動(dòng)的實(shí)質(zhì)。其次,我們還可以這樣拓展:把上面的下滑力換程任何一個(gè)恒力(如電場力),它的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)仍然不會(huì)改變。 當(dāng)然,這里的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)不變并不是所有運(yùn)動(dòng)參量均不改變。譬如,振子的平衡位置、振動(dòng)方程還是會(huì)改變的。下面我們看另一類型的拓展—— 物理情形:如圖9所示,兩根相同的彈性系數(shù)分別為k1和k2的輕質(zhì)彈簧,連接一個(gè)質(zhì)量為m的滑塊,可以在光滑的水平面上滑動(dòng)。試求這個(gè)系統(tǒng)的振動(dòng)周期T 。 解說:這里涉及的是彈簧的串、并聯(lián)知識
17、綜合。根據(jù)彈性系數(shù)的定義,不難推導(dǎo)出幾個(gè)彈性系數(shù)分別為k1、k2、…、kn的彈簧串、并聯(lián)后的彈性系數(shù)定式(設(shè)新彈簧系統(tǒng)的彈性系數(shù)為k)——串聯(lián): = 并聯(lián):k = 在圖9所示的情形中,同學(xué)們不難得出:T = 2π 當(dāng)情形變成圖10時(shí),會(huì)不會(huì)和圖9一樣呢?詳細(xì)分析形變量和受力的關(guān)系,我們會(huì)發(fā)現(xiàn),事實(shí)上,這時(shí)已經(jīng)變成了彈簧的并聯(lián)。 答案:T = 2π 。 思考:如果兩個(gè)彈簧通過一個(gè)動(dòng)滑輪(不計(jì)質(zhì)量)再與質(zhì)量為m的鉤碼相連,如圖11所示,鉤碼在豎直方向上的振動(dòng)周期又是多少? 解:這是一個(gè)極容易出錯(cuò)的變換——因?yàn)閳D形的外表形狀很象“并聯(lián)”。但經(jīng)過仔細(xì)分析后,會(huì)發(fā)現(xiàn),動(dòng)滑輪在這個(gè)物理情形
18、中起到了重要的作用——致使這個(gè)變換的結(jié)果既不是串聯(lián)、也不是并聯(lián)。 ★而且,我們前面已經(jīng)證明過,重力的存在并不會(huì)改變彈簧振子的振動(dòng)方程,所以為了方便起見,這里(包括后面一個(gè)“在思考”題)的受力分析沒有考慮重力。 具體分析如下: 設(shè)右邊彈簧的形變量為x2 、滑輪(相對彈簧自由長度時(shí))的位移為x 、鉤子上的拉力為F ,則 k1x1 = k2x2 x = F = 2 k2x2 解以上三式,得到:F = x ,也就是說,彈簧系統(tǒng)新的彈性系數(shù)k = 。 答:T = π 。 再思考:如果兩彈簧和鉤碼通過輕桿和轉(zhuǎn)軸,連成了圖12所示的系統(tǒng),已知k1 、k2 、m 、a 、b ,再求鉤碼的
19、振動(dòng)周期T 。 思路提示:探討鉤碼位移和回復(fù)力關(guān)系,和“思考”題類似。 (過程備考:設(shè)右彈簧伸長x2 ,則中間彈簧伸長x1 = x2 鉤碼的位移量x = x1 + x2 而鉤碼的回復(fù)力F = k1x1 結(jié)合以上三式解回復(fù)力系數(shù)k = = ,所以…) 答:T = 2π 。 2、單擺 單擺分析的基本點(diǎn),在于探討其回復(fù)力隨位移的變化規(guī)律。相對原始模型的伸展,一是關(guān)于擺長的變化,二是關(guān)于“視重加速度”的變化,以及在具體情形中的處理。至于復(fù)雜的擺動(dòng)情形研究,往往會(huì)超出這種基本的變形,而僅僅是在分析方法上做適當(dāng)借鑒。 物理情形1:如圖13所示,在一輛靜止的小車內(nèi)用長為L的輕繩靜止
20、懸掛著一個(gè)小鋼球,當(dāng)小車突然獲得水平方向的大小為a的加速度后(a<g),試描述小球相對小車的運(yùn)動(dòng)。 模型分析:小鋼球相對車向a的反方向擺起,擺至繩與豎直方向夾角θ= arctg時(shí),達(dá)到最大速度,此位置即是小球相對車“單擺”的平衡位置。以車為參照,小球受到的場力除了重力G外,還有一慣性力F 。所以,此時(shí)小球在車中相當(dāng)于處在一個(gè)方向傾斜θ、大小變?yōu)榈男隆爸亓Α钡淖饔?,屬超重情況。這是一種“視重加速度”增加的情形。 解說:由于擺長L未變,而g視 = ,如果a很小,致使最大擺角不超過5°的話,小角度單擺可以視為簡諧運(yùn)動(dòng),周期也可以求出來。 答案:小球以繩偏離豎直方向θ= arctg的角度為平衡位
21、置做最大擺角為θ的單擺運(yùn)動(dòng),如果θ≤5°,則小球的擺動(dòng)周期為T = 2π 物理情形2:某秋千兩邊繩子不等長,且懸點(diǎn)不等高,相關(guān)數(shù)據(jù)如圖14所示,且有a2 + b2 = + ,試求它的周期(認(rèn)為人的體積足夠?。?。 模型分析:用C球替代人,它實(shí)際上是在繞AB軸擺動(dòng),類似將單擺放置在光滑斜面上的情形。故視重加速度g視 = gcosθ= g ,等效擺長l = ,如圖15所示。 由于a2 + b2 = + 可知,AC⊥CB ,因此不難求出 = ,最后應(yīng)用單擺周期公式即可。 答案:T = 2π 。 相關(guān)變換1:如圖16所示,質(zhì)量為M的車廂中用長為L的細(xì)繩懸掛著一個(gè)質(zhì)量為m的小球,車輪與水
22、平地面間的摩擦不計(jì),試求這個(gè)系統(tǒng)做微小振動(dòng)的周期。 分析:我們知道,證明小角度單擺作簡諧運(yùn)動(dòng)用到了近似處理。在本題,也必須充分理解“小角度”的含義,大膽地應(yīng)用近似處理方法。 解法一:以車為參照,小球?qū)⑾鄬σ粋€(gè)非慣性系作單擺運(yùn)動(dòng),在一般方位角θ的受力如圖17所示,其中慣性力F = ma ,且a為車子的加速度。由于球在垂直T方向振動(dòng),故回復(fù)力 F回 = Gsinθ+ Fcosθ= mgsinθ+ macosθ ① *由于球作“微小”擺動(dòng),其圓周運(yùn)動(dòng)效應(yīng)可以忽略,故有 T + Fsinθ≈ mgcosθ ② 再隔離車
23、,有 Tsinθ= Ma ③ 解①②③式得 F回 = *再由于球作“微小”擺動(dòng),sin2θ→0 ,所以 F回 = ④ 令擺球的振動(dòng)位移為x ,常規(guī)處理 sinθ≈ ⑤ 解④⑤即得 F回 = x 顯然, = k是恒定的,所以小球作簡諧運(yùn)動(dòng)。最后求周期用公式即可。 解法二:由于車和球的系統(tǒng)不受合外力,故系統(tǒng)質(zhì)心無加速度。小球可以看成是繞此質(zhì)心作單擺運(yùn)動(dòng),而新擺長L′會(huì)小于L 。由于質(zhì)心是慣性參照系,故小球的受力、回復(fù)力的合成就很常規(guī)了。 若繩子在車內(nèi)的懸掛點(diǎn)在正中央,則質(zhì)心在水平方向
24、上應(yīng)與小球相距x = Lsinθ,不難理解,“新擺長”L′= L 。(從嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊饬x上來講,這個(gè)“擺長”并不固定:隨著車往“平衡位置”靠近,它會(huì)加長。所以,這里的等效擺長得出和解法一的忽略圓周運(yùn)動(dòng)效應(yīng)事實(shí)上都是一種相對“模糊”的處理。如果非要做精準(zhǔn)的運(yùn)算,不啟用高等數(shù)學(xué)工具恐怕不行。) 答:T = 2π 。 相關(guān)變換2:如圖18所示,有一個(gè)均質(zhì)的細(xì)圓環(huán),借助一些質(zhì)量不計(jì)的輻條,將一個(gè)與環(huán)等質(zhì)量的小球固定于環(huán)心處,然后用三根豎直的、長度均為L且不可伸長的輕繩將這個(gè)物體懸掛在天花板上,環(huán)上三個(gè)結(jié)點(diǎn)之間的距離相等。試求這個(gè)物體在水平方向做微小扭動(dòng)的周期。 分析:此題的分析角度大變。象分析其它物理
25、問題一樣,分析振動(dòng)也有動(dòng)力學(xué)途徑和能量兩種途徑,此處若援用動(dòng)力學(xué)途徑尋求回復(fù)力系數(shù)k有相當(dāng)?shù)碾y度,因此啟用能量分析。 本題的任務(wù)不在簡諧運(yùn)動(dòng)的證明,而是可以直接應(yīng)用簡諧運(yùn)動(dòng)的相關(guān)結(jié)論。根據(jù)前面的介紹,任何簡諧運(yùn)動(dòng)的總能都可以表達(dá)為 E = kA2 ①而我們對過程進(jìn)行具體分析時(shí),令最大擺角為θ(為了便于尋求參量,這里把擺角夸大了)、環(huán)和球的質(zhì)量均為m ,發(fā)現(xiàn)最大的勢能(即總能)可以表達(dá)為(參見圖19) E = 2m·gL(1 ? cosθ) ② 且振幅A可以表達(dá)為 A = 2Lsin
26、 ③ 解①②③式易得:k = 最后求周期時(shí)應(yīng)注意,中間的球體未參與振動(dòng),故不能納入振子質(zhì)量(振子質(zhì)量只有m)。 答:T = π 。 三、振動(dòng)的合成 物理情形:如圖20所示,一個(gè)手電筒和一個(gè)屏幕的質(zhì)量均為m ,都被彈性系數(shù)為k的彈簧懸掛著。平衡時(shí)手電筒的光斑恰好照在屏幕的正中央O點(diǎn)?,F(xiàn)在令手電筒和屏幕都在豎直方向上振動(dòng)(無水平晃動(dòng)或扭動(dòng)),振動(dòng)方程分別為y1 = Acos(ωt + φ1),y2 = Acos(ωt + φ2) 。試問:兩者初位相滿足什么條件時(shí),可以形成這樣的效果:(1)光斑相對屏幕靜止不動(dòng):(2)光斑相對屏
27、幕作振幅為2A的振動(dòng)。 模型分析:振動(dòng)的疊加包括振動(dòng)的相加和相減。這里考查光斑相對屏幕的運(yùn)動(dòng)事實(shí)上是尋求手電筒相對屏幕的振動(dòng),服從振動(dòng)的減法。設(shè)相對振動(dòng)為y ,有 y = y1 ? y2 = Acos(ωt + φ1) ? Acos(ωt + φ2) = ?2Asinsin() 解說:(1)光斑相對屏幕靜止不動(dòng),即y = 0 ,得 φ1 = φ2 (2)要振幅為2A ,必須 = 1 ,得φ1 ? φ2 = ±π 答案:初位相相同;初位相相反。 相關(guān)變換:一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)垂直的簡諧運(yùn)動(dòng),其表達(dá)式分別為x = 2cos(2ωt +2φ) ,y = sinωt 。(1)
28、設(shè)φ = ,求質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程,并在xOy平面繪出其曲線;(2)設(shè)φ = π ,軌跡曲線又怎樣? 解:兩個(gè)振動(dòng)方程事實(shí)已經(jīng)構(gòu)成了質(zhì)點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程,我們所要做的,只不過是消掉參數(shù),并尋求在兩個(gè)具體φ值下的特解。在實(shí)際操作時(shí),將這兩項(xiàng)工作的次序顛倒會(huì)方便一些。 (1)當(dāng)φ = 時(shí),x = ?2(1 ? 2sin2ωt) ,即 x = 4y2 ? 2 描圖時(shí)應(yīng)注意,振動(dòng)的物理意義體現(xiàn)在:函數(shù)的定義域 ?1 ≤ y ≤ 1 (這事實(shí)上已經(jīng)決定了值域 ?2 ≤ x ≤ 2 ) (2)當(dāng)φ =π時(shí),同理 x = 2(1 ? 2sin2ωt)= 2 ? 4y2 答:軌跡方程分別為x = 4y2
29、 ? 2和x = 2 ? 4y2 ,曲線分別如圖21的(a)(b)所示—— 四、簡諧波的基本計(jì)算 物理情形:一平面簡諧波向?x方向傳播,振幅A = 6cm ,圓頻率ω= 6πrad/s ,當(dāng)t = 2.0s時(shí),距原點(diǎn)O為12cm處的P點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)為yP = 3cm ,且vP > 0 ,而距原點(diǎn)22cm處的Q點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)為yQ = 0 ,且vQ < 0 。設(shè)波長λ>10cm ,求振動(dòng)方程,并畫出t = 0時(shí)的波形圖。 解說:這是一個(gè)對波動(dòng)方程進(jìn)行了解的基本訓(xùn)練題。簡諧波方程的一般形式已經(jīng)總結(jié)得出,在知道A、ω的前提下,加上本題給出的兩個(gè)特解,應(yīng)該足以解出v和φ值。 由一般的波動(dòng)方程y
30、 = Acos〔ω(t - )+ φ〕 (★說明:如果我們狹義地理解為波源就在坐標(biāo)原點(diǎn)的話,題目給出特解是不存在的——因?yàn)椴ㄏ?x方向傳播——所以,此處的波源不在原點(diǎn)。同學(xué)們自己理解:由于初相φ的任意性,上面的波動(dòng)方程對波源不在原點(diǎn)的情形也是適用的。) 參照簡諧運(yùn)動(dòng)的位移方程和速度方程的關(guān)系,可以得出上面波動(dòng)方程所對應(yīng)質(zhì)點(diǎn)的速度(復(fù)變函數(shù)) v = ?ωAsin〔ω(t - )+ φ〕 代t = 2.0s時(shí)P的特解,有—— yP = 6cos〔6π(2 - )+ φ〕= 3 ,vP = ?36πsin〔6π(2 - )+ φ〕> 0 即 6π(2 - )+ φ = 2k1π -
31、 ① 代t = 2.0s時(shí)Q的特解,有—— yQ = 6cos〔6π(2 - )+ φ〕= 0 ,vQ = ?36πsin〔6π(2 - )+ φ〕< 0 即 6π(2 - )+ φ = 2k2π + ② 又由于 = 22 ? 12 = 10 <λ ,故k1 = k2 。解①②兩式易得 v = ?72cm/s , φ= (或?) 所以波動(dòng)方程為:y = 6cos〔6π(t + )+ 〕,且波長λ= v = 24cm 。 當(dāng)t = 0時(shí), y = 6cos(x + ),可以
32、描出y-x圖象為—— 答案:波動(dòng)方程為y = 6cos〔6π(t + )+ 〕,t = 0時(shí)的波形圖如圖22所示。 相關(guān)變換:同一媒質(zhì)中有甲、乙兩列平面簡諧波,波源作同頻率、同方向、同振幅的振動(dòng)。兩波相向傳播,波長為8m ,波傳播方向上A、B兩點(diǎn)相距20m ,甲波在A處為波峰時(shí),乙波在B處位相為? ,求AB連線上因干涉而靜止的各點(diǎn)的位置。 解:因?yàn)椴恢兰住⒁覂刹ㄔ吹奈恢?,設(shè)它們分別在S1和S2兩點(diǎn),距A、B分別為a和b ,如圖23所示。 它們在A、B之間P點(diǎn)(坐標(biāo)為x)形成的振動(dòng)分別為—— y甲 = Acosω(t - )= Acos〔ωt ? (a + x)〕 y乙 = Aco
33、sω(t ? )= Acos〔ωt ? (20 + b ? x)〕 這也就是兩波的波動(dòng)方程(注意:由于兩式中a、b、x均是純數(shù),故乙波的速度矢量性也沒有表達(dá)) 當(dāng)甲波在A處(x = 0)為波峰時(shí),有 ωt = ①此時(shí),乙波在B處(x = 20)的位相為? ,有 ωt ? = ? ② 結(jié)合①②兩式,得到 b ? a = 2 所以,甲波在任意坐標(biāo)x處的位相 θ甲 = ωt ? (a + x) 乙波則為θ乙 = ωt ? (22 + a ? x) 兩列波因干涉而靜止點(diǎn),必然滿足θ甲 ?θ乙 =(2k -
34、1)π所以有 x = 13 ? 4k ,其中 k = 0,±1,±2,… 在0~20的范圍內(nèi),x = 1、5、9、13、17m 答:距A點(diǎn)1m、5m、9m、13m、17m的五個(gè)點(diǎn)因干涉始終處于靜止?fàn)顟B(tài)。 思考:此題如果不設(shè)波源的位置也是可以解的,請同學(xué)們自己嘗試一下… (后記:此題直接應(yīng)用波的干涉的結(jié)論——位相差的規(guī)律,如若不然,直接求y甲和y乙的疊加,解方程將會(huì)困難得多。此外如果波源不是“同方向”振動(dòng),位相差的規(guī)律會(huì)不同。) 第三講 典型例題解析 教材范本:龔霞玲主編《奧林匹克物理思維訓(xùn)練教材》,知識出版社,xx年8月第一版。 例題選講針對“教材”第九、第十章的部分例題和習(xí)題。關(guān)于波的知識,現(xiàn)在的很多奧賽教材都基本只涉及高考范疇的內(nèi)容,《奧林匹克物理思維訓(xùn)練教材》的第十章也是如此。這是不是意味著奧賽的考綱有所更新——要求降低了?
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