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1、2022年高考數(shù)學 專題七： 直線和圓教案 蘇教版 【考點分析】 本章是解析幾何的基礎(chǔ)，也是高考對解析幾何進行綜合考查的重要組成部分之一，因為直線和圓是最簡單基本的幾何圖形。研究直線和圓的思想與方法也是解析幾何研究的基本思想與方法，同時也是后繼學習的基礎(chǔ)，所以直線和圓成為高考的必考內(nèi)容。命題的特點：1.本章在高考中主要考查兩類問題：基本概念題和求在不同條件下的直線方程?；靖拍钪攸c考查（1）與直線方程特征值（主要指斜率、截距）有關(guān)的問題；（2）直線的平行和垂直的條件；（3）與距離有關(guān)的問題等。此類題大都屬于中、低檔題，以選擇題和填空題形式出現(xiàn)。2.直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系等綜合性試題，

2、此類題難度較大，一般以解答題形式出現(xiàn)。3.由于一次函數(shù)的圖象是一條直線，因此有關(guān)函數(shù)、數(shù)列、不等式等代數(shù)問題往往借助直線方程進行解決，考查學生的綜合能力及創(chuàng)新能力。4.本章的線性規(guī)劃內(nèi)容是新教材中增加的新內(nèi)容，在高考中極有可能涉及，但難度不會大。應(yīng)試策略：首先是注重基礎(chǔ)，基本知識、基本題型要掌握好，不必做那些難的有關(guān)直線的問題，高考中直線以解答題形式出現(xiàn)的可能性不大。解析幾何解答題大多是關(guān)于直線與圓錐曲線關(guān)系的綜合題，考查綜合運用知識、分析問題、解決問題的能力，尤其現(xiàn)在高考不要求兩圓錐曲線的交點來解決問題后，直線和圓錐曲線的關(guān)系問題更是重要，因此，在復(fù)習中要注意滲透本章知識在解答解析幾何綜合問

3、題時的運用。 【疑難點拔】 直線的斜率及直線方程的幾種形式是本章的重點，本章的難點是傾斜角及直線方程的概念，突破難點的方法之一是運用數(shù)形結(jié)合，要注意直線方程幾種形式的適用性和局限性，直線方程中的各個參數(shù)都具有明顯的幾何意義，它對直線的位置、點與直線、直線與直線、直線與圓的各種關(guān)系的研究十分重要，高考中重點考查運用上述知識解題的變通能力。在解答有關(guān)直線的問題時，要注意： （1）在確定直線的斜率、傾斜角時，首先要注意斜率存在的條件，其次是傾斜角的范圍； （2）在利用直線的截距式解題時，要注意防止由于“零截距”而造成丟解的情況； （3）在利用直線的點斜式、斜截式解題時，要注意檢驗不存在的情

4、況，防止丟解； （4）直線方程的三種形式各有適用范圍，要能根據(jù)題中所給已知條件選用最恰當?shù)谋硎拘问?，并能根?jù)問題的需要靈活準確地進行互化，在求直線方程時，要注意需二個獨立的條件才能確定。常用的方法是待定系數(shù)法； （5）兩直線的平行與垂直是現(xiàn)實生活中最常見到的兩種特殊位置關(guān)系，故掌握它們的判斷方法就顯得非常重要，特別要提醒的是應(yīng)把它們的判定和平面兩向量共線與垂直的判定有機地結(jié)合在一起； （6）在由兩直線的位置關(guān)系確定有關(guān)參數(shù)的值或其范圍時，要充分利用分類討論、數(shù)形結(jié)合、特殊值檢驗等基本的數(shù)學思想方法。 (7)直線方程問題是“解析幾何”的基礎(chǔ)，學習時應(yīng)注意積累下面兩方面的經(jīng)驗：①正確選擇各

5、種直線方程解決各種問題；②通過直線方程問題的解題，逐步認識“解析幾何”問題的解題思維策略，積累“方程”、“坐標”、“圖形”的解題經(jīng)驗。 線性規(guī)劃是直線方程在解決實際問題中的應(yīng)用，常通過二元一次不等式表示的平面區(qū)域來確定實際問題的解，應(yīng)用極為廣泛。加強思想方法訓練，培養(yǎng)綜合能力。平面解析幾何的核心是坐標法，它需要運用變化的觀點，運用代數(shù)的方法研究幾何問題，因此在處理解析幾何問題時，從知識到思想方法上都需要與函數(shù)、方程、不等式、三角及平面幾何內(nèi)容相聯(lián)系。 能夠判斷直線與圓、點與圓、圓與圓的位置關(guān)系，解決直線與圓的有關(guān)問題的基本方法是將直線和圓的方程組成的方程組通過消元，化成一元二次方程，然后靈

6、活使用判別式或違達定理解題；同時要善于利用直線和圓的幾何知識解題。 直線與圓的位置關(guān)系是直線的一種重要應(yīng)用，在高考中每年都有重點的考查，因此在復(fù)習時一定注意知識間的橫向聯(lián)系，以達到融匯貫通。 【知識網(wǎng)絡(luò)】 直 線 和 圓 求曲線的方程 曲線的交點 曲線與方程 圓 圓的標準方程 圓的一般方程 圓的參數(shù)方程 直線與圓的位置關(guān)系 直線 點與直線位置關(guān)系 點到直線的距離 傾斜角 五種形式 直線方程 二元一次不等式 表示平面區(qū)域 線性規(guī)劃 斜 率 直線與直線位置關(guān)系 相 交 平 行 重 合 交 點 夾 角 平行線間的距離

7、 專題七：直線與圓 【經(jīng)典題例】 例1：不等式 表示的平面區(qū)域是在直線（ ） 的點的集合。 （A）左上方 （B）右上方 （C）左下方 （D）右下方 [思路分析] 作出直線，又因為，所以原點在區(qū)域內(nèi)側(cè)表示直線的左下方，故選取C。 [小結(jié)] 用特殊值法解選擇題是常用的方法。 例2：若直線與曲線恰有一個公共點，則的取值范圍是 ( ) （A） （B） （C） （D）或(-1,1] [思路分析] 數(shù)形結(jié)合的思想， 表示一組斜率為1的平行直線， 表示y軸的右半圓。如圖可知，選（D）

8、 [小結(jié)] 數(shù)形結(jié)合思想的靈活運用，此題 可以進一步拓展，，等。 例3：如果實數(shù)x、y滿足，那么的最大值是 。 [思路分析] 解法一：設(shè)直線l：，則表示直線的斜率，直線與圓 O M C y x 相切時，斜率為最大或最小，所以只要求圓心到直線 距離為半徑即可。 解法二：設(shè)圓的參數(shù)方程： 則 據(jù)三角知識求解。 解法三：設(shè)=t ，則 只要解方程組，利用可得解。 解法四：如圖，聯(lián)結(jié)圓心C與切點M，則由OM⊥CM，又Rt△OMC中，OC=2，CM= 所以，OM=1，得 [小結(jié)] 小題小做，選方法四最為簡單，數(shù)形結(jié)合的

9、數(shù)學思想的靈活運用。 例4：已知兩點，，求直線的斜率與傾斜角。 [思路分析] 注意斜率存在的條件。當時，不存在。=，當時， ；當時,，當時, [小結(jié)] 此題涉及到分類討論的數(shù)學思想方法，分類討論在歷年的高考中，特別是綜合性題目中常常出現(xiàn)，是重點考查的數(shù)學思想方法之一。 例5：過點作兩條互相垂直的直線，分別交、的正半軸于、，若四邊形的面積被直線平分，求直線方程。 [思路分析] 命題有兩種設(shè)方程的方案：①設(shè)、的點斜式方程，然后求出；②設(shè)的截距式方程，經(jīng)過估算，應(yīng)選第②方案更好。設(shè)方程為（a>0,b>0） ∴、。 ∵⊥ ∴ ∵a>0 0

10、一般式為 ∴到的距離 ∴的面積 而的面積， ∵直線平分四邊形的面積，∴ ， 可得 故所求方程為和。 [小結(jié)] 若命題中的直線與兩坐標軸均有交點，應(yīng)首先考慮選用截距式方程是否有利。 例6：已知，定點A(1,0)，B、C是圓上兩個動點，保持A、B、C在圓上逆時針排列，且(O為坐標原點)，求△ABC重心G的軌跡方程。 [思路分析] 設(shè)，則；設(shè)G（x，y） 則 ① ② ①2+②2 得 即 [小結(jié)] 適當運用圓的參數(shù)方程，設(shè)B、C兩點坐標，有利于尋求函數(shù)關(guān)系。 P A x y C B M

11、 例7：過點P（-8，0），引圓C： 的割線，求被此圓截得的弦的中點的軌跡方程。 [思路分析] 方法一， ∵CM⊥PM，∴弦AB的中點M的軌跡是以 P（-8，0）、C（1，-5）中點為圓心，|PC| 長為直徑的圓。 （圓C的內(nèi)部） 方法二，設(shè)M（x，y）為中點，過點P（-8，0）的直線 ，又設(shè)A（，y1），B（x2，y2）， 由方程組 可以得到 據(jù)韋達定理可以得解。

12、 方法三， 化簡得 （圓C的內(nèi)部） [小結(jié)] 方法一是據(jù)圓的定義得解的較為簡單；方法二容易想到，但計算量太大；方法三是利用平面兩向量垂直的性質(zhì)與平面兩向量的數(shù)量積，使解題過程簡單化。 x B B1 y O(A) 例8：已知氣象臺A處向西300km處，有個臺風中心，已知臺風以每小時40km的速度向東北方向移動，距臺風中心250km以內(nèi)的地方都處在臺風圈內(nèi)，問：從現(xiàn)在起，大約多長時間后，氣象臺A處進入臺風圈？氣象臺A處在臺風圈內(nèi)的時間大約多長？ [思路分析] 如圖建立直角坐標系，B為臺風中心， 處在臺風圈內(nèi)的界線為以B為圓心，半徑為2

13、50的 圈內(nèi)，若t小時后，臺風中心到達B1點，則 B1(-300+40tCOS450,40tsin450)，則以B1為圓心， 250為半徑的圓的方程為 那么臺風圈內(nèi)的點就應(yīng)滿足 。若氣象臺A處進入臺風圈，那么A點的坐標就應(yīng)滿足上述關(guān)系式，把A點的坐標(0，0)代入上面不等式，得，解得，即為；所以氣象臺A處約在2小時后進入臺風圈，處在臺風圈內(nèi)的時間大約6小時37分。 [小結(jié)] 學生怕做應(yīng)用題，幫助學生分析題意尤其重要。關(guān)鍵是尋求有效信息，建立函數(shù)關(guān)系式，運算到位。 【熱身沖刺】 一、選擇題： 1． △ABC中，三個頂點坐標A（2，4）、B（-1，2）、C（1，0），

14、點P（x，y）在內(nèi)部及其邊界運動，則z=x-y的最大值及最小值是 （ ） （A）3，1 （B）-1，-3 （C）1，-3 （D）3，-1 2．已知點A（3，1）和B（-4，6）在直線的兩側(cè)，則a的取值范圍（ ） （A）-7＜a＜24 （B）-24＜a＜7 （C）a＜7或a＞24 （D）a=7或a=24 3．如果直線的斜率分別是方程的兩根，則的夾角是 （） （A）π/3 （B）π/4 （C）π/6 （D）π/8 4． 平行

15、直線與的距離是 （ ） （A）2/13 （B）1/13 （C）1/26 （D）5/26 5．等腰三角形ABC，若一腰的兩個端點坐標分別是A（4，2）、B（-2，0），A為頂點，則點C的軌跡方程是 （ ） （A） （B） （C） （D） 6．圓到直線的距離等于的點有（ ） （A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個 7．曲線曲線方程式是 （ ）

16、（A）（B）（C）（D） 8．已知A（3，1），B（-1，2）若∠ACB的平分線方程為，則AC所在的直線方程為 （ ） （A） （B） （C） （D） 9．一條光線從點M（5，3）射出，與軸正向成α角，遇軸后反射，若tanα=3，則反射光線所在直線方程為 （ ） （A） （B） （C） （D） 10．將直線沿軸正方向平移兩個單位，再沿軸負方向平移3個單位，又回到了原來的位置，則的斜率為 （ ） （A） （B） （C）

17、 （D） 二、填空題： 11．不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點坐標是 。 12．直線恒過定點，則定點的坐標是 。 13．若實數(shù)，滿足關(guān)系：，則+的最大值是 。 14．若圓，（）關(guān)于-=0對稱，則系數(shù)D、E、F滿足關(guān)系 。 三、解答題： 15．直線：相交于第四象限，求m的取值范圍。 16．設(shè)實數(shù)a，考慮方程組（1）若此方程組有實數(shù)解，求a的范圍； （2）此方程組有幾組不同的實數(shù)解？ 17．有一種大型的商品，A、B兩地均有出售且價格相同，某地居民從兩地之一購得商品后運回來每公里的

18、運費A地是B地兩倍。若A、B兩地相距10公里，顧客選擇A地或B地購買這件商品的標準是：包括運費和價格的總費用較低，那么，不同地點的居民應(yīng)如何選擇購買此商品的地點？ 18．已知點A（-1，-4），試在y軸和直線y=x上各取一點B、C，使△ABC的周長最小。 19．已知圓x2+y2-6mx-2（m-1）y+10m2-2m-24=0。（1）求證：不論m取何值，圓心在同一直線上；（2）與平行的直線中，哪些與圓相交、相切、相離；（3）求證：不論m取何值，任何一條平行于且與圓相交的直線被圓截得的弦長相等。 20．已知△ABC的三邊長分別為3、4、5，點P是它的內(nèi)切圓上一點，求分別以PA、PB、PC為

19、直徑的三個圓面積之和的最大值和最小值。 【熱身沖刺】參考答案 1—10.CAACB CCCDB，11．（1，1），12．（-2，3），13．5，14．D=E，15．m＞-1/2 16．因為ｘ2－ｙ2＝0表示過原點的兩條互相垂直的直線：y=x，y=-x，（x-a）2+y2=1表示圓心為C（a，0），半徑為1的動圓，本題討論方程組有實數(shù)解的問題即討論圓與直線有公共點的問題。（1）-≤a≤；（2）當-＜a＜-1或-1＜a＜1或1＜a＜時有四組實數(shù)解，當a=±1時，有三組實數(shù)解，當a=±時，有兩組實數(shù)解，當a＜-或a＞時無實數(shù)解。 17．以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建

20、立直角坐標系。設(shè)A（-5，0），則B（5，0），在平面內(nèi)任取一點P（x，y），設(shè)從A運貨物到P的運費為2a元/km，則從B運到P的費用是a元/km，若P地居民選擇在A地購買此商品，則 即P點在圓C 的內(nèi)部.換言之,圓C內(nèi)部的居民應(yīng)在A地購買,同理可推得圓C外部的應(yīng)在B地購物，圓C上的居民可隨意選擇A、B兩地之一購物。 A A1 x y O C A2 B 18．嘗試使用對稱法，如圖作A點關(guān)于y軸 的對稱點A1，再作A點關(guān)于y=x的對稱點A2， 在y軸和y=x上公別取點B、 C，則|BA|=|BA1|， |AC|=|A2C|，于是△ABC的周長 |AB|+|BC|+|

21、CA|=|A1B|+|BC|+|CA2|， 從而將問題轉(zhuǎn)化為在y軸，y=x上各取一點，使 折線A1BCA2的長度最小。B（0，-17/5）和C（-17/8，-17/8） 19．（1）配方得圓心，將心坐標消去m可得直線a：x-3y-3=0 （2）設(shè)與直線a平行的直線c：x-3y+b=0（b≠-3），則圓心到直線a的距離為 ，∵圓的半徑r=5，∴當d＜r時，直線與圓相交，當d=r時，直線與圓相切，當d＞r時直線與圓相離。（3）對于任一條平行于a且與圓相交的直線的直線c，由于圓心到直線c的距離都與m無關(guān)，所以弦長與m無關(guān)。 20．△ABC為直角三角形，如國圖建立直角坐標系， 則A（0，0）、B（4，0）、C（0，3），設(shè)內(nèi)切圓半徑 為r，則r=1/2（|OC|+|OB|-|BC|）=1，故內(nèi)切圓方程為 （x-1）2+（y-1）2=1，可設(shè)P點坐標（1+Cosα，1+Sinα） 則以PA、PB、PC為直徑的三個圓面積之和S=（10-Cｏｓα） 當Cosα=-1時，Smax=5.5π, 當Cosα=1時, Smin=4.5π.