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1、2022年高考數(shù)學一輪復習 第六章 數(shù)列 第1講 數(shù)列的概念及簡單表示法習題 理 新人教A版(I)
一、填空題
1.數(shù)列-1,3,-5,7,-9,11,…的一個通項公式an=________.
解析 觀察可知an=(-1)n(2n-1).
答案 (-1)n(2n-1)
2.(xx·大連雙基測試)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+2n+1(n∈N*),則an=________.
解析 當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n+1,當n=1時,a1=S1=4≠2×1+1,因此an=
答案
3.設an=-3n2+15n-18,則數(shù)列{an}中的最大項的值是________.
解
2、析 ∵an=-3+,由二次函數(shù)性質,得當n=2或3時,an最大,最大為0.
答案 0
4.(xx·蘇北四市模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1an=2n(n∈N*),則a10等于________.
解析 因為an+1an=2n,所以an+1an+2=2n+1,
兩式相除得=2.又a1a2=2,a1=1,所以a2=2,
則···=24,即a10=25=32.
答案 32
5.(xx·南京、鹽城調研)在數(shù)列{an}中,已知a1=2,a2=7,an+2等于anan+1(n∈N*)的個位數(shù),則a2 015=________.
解析 由題意得a3=4,a4=8,a5=2,a6=6
3、,a7=2,a8=2,a9=4,a10=8.所以數(shù)列中的項從第3項開始呈周期性出現(xiàn),周期為6,故a2 015=a335×6+5=a5=2.
答案 2
6.若數(shù)列{an}滿足關系an+1=1+,a8=,則a5=________.
解析 借助遞推關系,則a8遞推依次得到a7=,a6=,a5=.
答案
7.在數(shù)列{an}中,a1=1,對于所有的n≥2,n∈N*,都有a1·a2·a3·…·an=n2,則a3+a5=________.
解析 由題意知a1·a2·a3·…·an-1=(n-1)2,
∴an=(n≥2),
∴a3+a5=+=.
答案
8.(xx·蘇、錫、常、鎮(zhèn)調研)已
4、知數(shù)列{an}的前n項和Sn=an+,則{an}的通項公式an=________.
解析 當n=1時,a1=S1=a1+,
∴a1=1.
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=an-an-1,
∴=-.
∴數(shù)列{an}為首項a1=1,公比q=-的等比數(shù)列,故an=.
答案
二、解答題
9.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n+1-2.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設bn=an+an+1,求數(shù)列{bn}的通項公式.
解 (1)當n=1時,a1=S1=22-2=2;
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n+1-2-(2n-2)=2n+1-2n=2n;
因為a1也
5、適合此等式,
所以an=2n(n∈N*).
(2)因為bn=an+an+1,
且an=2n,an+1=2n+1,
所以bn=2n+2n+1=3·2n.
10.數(shù)列{an}的通項公式是an=n2-7n+6.
(1)這個數(shù)列的第4項是多少?
(2)150是不是這個數(shù)列的項?若是這個數(shù)列的項,它是第幾項?
(3)該數(shù)列從第幾項開始各項都是正數(shù)?
解 (1)當n=4時,a4=42-4×7+6=-6.
(2)令an=150,即n2-7n+6=150,
解得n=16或n=-9(舍去),
即150是這個數(shù)列的第16項.
(3)令an=n2-7n+6>0,
解得n>6或n<1(舍)
6、.
∴從第7項起各項都是正數(shù).
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11.已知an=n2+λn,且對于任意的n∈N*,數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,則實數(shù)λ的取值范圍是________.
解析 因為{an}是遞增數(shù)列,所以對任意的n∈N*,都有an+1>an,即(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn,整理,
得2n+1+λ>0,即λ>-(2n+1).(*)
因為n≥1,所以-(2n+1)≤-3,要使不等式(*)恒成立,只需λ>-3.
答案 (-3,+∞)
12.已知an=(n∈N*),則在數(shù)列{an}中的前30項中,最大項和最小項分別是第________項.
解析 an==
=1+
當1≤
7、n≤9時,<0,an為遞減函數(shù).
當n≥10時,>0,an為遞減函數(shù).
∴最大項為a10,最小項為a9.
答案 10和9
13.(xx·大慶質量檢測)已知數(shù)列{an}滿足an+1=an-an-1(n≥2),a1=1,a2=3,記Sn=a1+a2+…+an,則axx=________,Sxx=________.
解析 由an+1=an-an-1(n≥2),知an+2=an+1-an,則an+2=-an-1(n≥2),an+3=-an,…,an+6=an,又a1=1,a2=3,a3=2,a4=-1,a5=-3,a6=
-2,所以當k∈N時,ak+1+ak+2+ak+3+ak+4+ak+
8、5+ak+6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=0,所以a2 014=a4=-1,S2 014=a1+a2+a3+a4=1+3+2+(-1)=5.
答案 -1 5
14.設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,數(shù)列{Sn}的前n項和為Tn,滿足Tn=2Sn-n2,
n∈N*.
(1)求a1的值;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式.
解 (1)令n=1時,T1=2S1-1,
∵T1=S1=a1,
∴a1=2a1-1,∴a1=1.
(2)n≥2時,Tn-1=2Sn-1-(n-1)2,
則Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-[2Sn-1-(n-1)2]
=2(Sn-Sn-1)-2n+1=2an-2n+1.
因為當n=1時,a1=S1=1也滿足上式,
所以Sn=2an-2n+1(n≥1),
當n≥2時,Sn-1=2an-1-2(n-1)+1,
兩式相減得an=2an-2an-1-2,
所以an=2an-1+2(n≥2),
所以an+2=2(an-1+2),
因為a1+2=3≠0,
所以數(shù)列{an+2}是以3為首項,公比為2的等比數(shù)列.
所以an+2=3×2n-1,
∴an=3×2n-1-2,
當n=1時也成立,
所以an=3×2n-1-2.