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2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一篇集合與常用邏輯用語(yǔ)第2講 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件教案 理

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一篇集合與常用邏輯用語(yǔ)第2講 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件教案 理 【xx年高考會(huì)這樣考】 1.考查四種命題的意義及相互關(guān)系. 2.考查對(duì)充分條件、必要條件、充要條件等概念的理解. 3.考查題型主要以選擇題、填空題形式出現(xiàn),常與集合、幾何等知識(shí)結(jié)合命題. 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 復(fù)習(xí)時(shí)一定要緊扣概念,聯(lián)系具體數(shù)學(xué)實(shí)例,理清命題之間的相互關(guān)系,重點(diǎn)解決:(1)命題的概念及命題構(gòu)成;(2)四種命題及四種命題間的相互關(guān)系;(3)充分條件、必要條件、充要條件的概念的理解及判定.   基礎(chǔ)梳理 1.命題的概念 在數(shù)學(xué)中用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的,可以判斷真假的陳述

2、句叫做命題.其中判斷為真的語(yǔ)句叫真命題,判斷為假的語(yǔ)句叫假命題. 2.四種命題及其關(guān)系 (1)四種命題 命 題 表述形式 原命題 若p,則q 逆命題 若q,則p 否命題 若綈p,則綈q 逆否命題 若綈q,則綈p (2)四種命題間的逆否關(guān)系 (3)四種命題的真假關(guān)系 ①兩個(gè)命題互為逆否命題,它們有相同的真假性; ②兩個(gè)命題互為逆命題或互為否命題,它們的真假性沒(méi)有關(guān)系. 3.充分條件、必要條件與充要條件 (1)如果p?q,則p是q的充分條件,q是p的必要條件; (2)如果p?q,q?p,則p是q的充要條件. 一個(gè)區(qū)別 否命題與命題的否定是兩

3、個(gè)不同的概念:①否命題是將原命題的條件否定作為條件,將原命題的結(jié)論否定作為結(jié)論構(gòu)造的一個(gè)新的命題;②命題的否定只是否定命題的結(jié)論,常用于反證法. 兩條規(guī)律 (1)逆命題與否命題互為逆否命題; (2)互為逆否命題的兩個(gè)命題同真假. 三種方法 充分條件、必要條件的判斷方法 (1)定義法:直接判斷“若p則q”、“若q則p”的真假.并注意和圖示相結(jié)合,例如“p?q”為真,則p是q的充分條件. (2)等價(jià)法:利用p?q與綈q?綈p,q?p與綈p?綈q,p?q與綈q?綈p的等價(jià)關(guān)系,對(duì)于條件或結(jié)論是否定式的命題,一般運(yùn)用等價(jià)法. (3)集合法:若A?B,則A是B的充分條件或B是A的必要條件

4、;若A=B,則A是B的充要條件. 雙基自測(cè) 1.(人教A版教材習(xí)題改編)以下三個(gè)命題:①“a>b”是“a2>b2”的充分條件;②“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要條件;③“a>b”是“a+c>b+c”的充要條件.其中真命題的序號(hào)是________. 解析 ①由2>-3?/ 22>(-3)2知,該命題為假; ②a2>b2?|a|2>|b|2?|a|>|b|,該命題為真; ③a>b?a+c>b+c,又a+c>b+c?a>b; ∴“a>b”是“a+c>b+c”的充要條件為真命題. 答案?、冖? 2.(xx·陜西)設(shè)a,b是向量,命題“若a=-b,則|a|=|b|”的逆命題是(  

5、). \A.若a≠-b,則|a|≠|(zhì)b| B.若a=-b,則|a|≠|(zhì)b| C.若|a|≠|(zhì)b|,則a≠-b D.若|a|=|b|,則a=-b 解析 “若a=-b,則|a|=|b|”的逆命題是“若|a|=|b|,則a=-b”. 答案 D 3.(xx·山東)對(duì)于函數(shù)y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱”是“y=f(x)是奇函數(shù)”的(  ). A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析 若y=f(x)是奇函數(shù),則f(-x)=-f(x), ∴|f(-x)|=|-f

6、(x)|=|f(x)|, ∴y=|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,但若y=|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,如y=f(x)=x2,而它不是奇函數(shù),故選B. 答案 B 4.(xx·安徽)命題“所有能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)”的否定是(  ). A.所有不能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù) B.所有能被2整除的整數(shù)都不是偶數(shù) C.存在一個(gè)不能被2整除的整數(shù)是偶數(shù) D.存在一個(gè)能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù) 解析 原命題是全稱命題,則其否定是特稱命題,故選D. 答案 D 5.命題“若a>b,則2a>2b-1”的否命題為 . 答案 若a≤b,則有2a≤2

7、b-1 考向一 命題正誤的判斷 【例1】?(xx·海南三亞)設(shè)集合A、B,有下列四個(gè)命題: ①A?B?對(duì)任意x∈A都有x?B; ②A?B?A∩B=?; ③A?B?B?A; ④A?B?存在x∈A,使得x?B. 其中真命題的序號(hào)是______(把符合要求的命題序號(hào)都填上). [審題視點(diǎn)] 對(duì)于假命題,舉出恰當(dāng)?shù)姆蠢且浑y點(diǎn). 解析?、俨徽_,如A={1,2,3},B={2,3,4},有A?B但2∈A且2∈B. ②不正確,如A={1,2},B={2,3},有A?B而A∩B={2}. ③不正確,如A={1,2},B={2},有A?B但B?A. ④正確. 答案?、? 正確

8、的命題要有充分的依據(jù),不一定正確的命題要舉出反例,這是最基本的數(shù)學(xué)思維方式,也是兩種不同的解題方向,有時(shí)舉出反例可能比進(jìn)行推理論證更困難,二者同樣重要. 【訓(xùn)練1】 給出如下三個(gè)命題: ①四個(gè)非零實(shí)數(shù)a,b,c,d依次成等比數(shù)列的充要條件是ad=bc; ②設(shè)a,b∈R,且ab≠0,若<1,則>1; ③若f(x)=log2x,則f(|x|)是偶函數(shù). 其中不正確命題的序號(hào)是(  ). A.①②③ B.①② C.②③ D.①③ 解析 對(duì)于①,可舉反例:如a,b,c,d依次取值為1,4,2,8,故①錯(cuò);對(duì)于②,可舉反例:如a、b異號(hào),雖然<1,但<0,故②錯(cuò);對(duì)于③,y=f(

9、|x|)=log2|x|,顯然為偶函數(shù),故選B. 答案 B 考向二 四種命題的真假判斷 【例2】?已知命題“若函數(shù)f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函數(shù),則m≤1”,則下列結(jié)論正確的是(  ). A.否命題是“若函數(shù)f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是減函數(shù),則m>1”,是真命題 B.逆命題是“若m≤1,則函數(shù)f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函數(shù)”,是假命題 C.逆否命題是“若m>1,則函數(shù)f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是減函數(shù)”,是真命題 D.逆否命題是“若m>1,則函數(shù)f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函數(shù)”,是真命題 [審題視點(diǎn)] 分清命題的

10、條件和結(jié)論,理解四種命題間的關(guān)系是解題關(guān)鍵. 解析 f′(x)=ex-m≥0在(0,+∞)上恒成立,即m≤ex在(0,+∞)上恒成立,故m≤1,這說(shuō)明原命題正確,反之若m≤1,則f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,故逆命題正確,但對(duì)增函數(shù)的否定不是減函數(shù),而是“不是增函數(shù)”,故選D. 答案 D 判斷四種形式的命題真假的基本方法是先判斷原命題的真假,再判斷逆命題的真假,然后根據(jù)等價(jià)關(guān)系確定否命題和逆否命題的真假.如果原命題的真假不好判斷,那就首先判斷其逆否命題的真假. 【訓(xùn)練2】 已知命題“函數(shù)f(x)、g(x)定義在R上,h(x)=f(x)·g(x),如果f(x)、g(x)均為奇函

11、數(shù),則h(x)為偶函數(shù)”的原命題、逆命題、否命題、逆否命題中正確命題的個(gè)數(shù)是(  ). A.0 B.1 C.2 D.3 解析 由f(x)、g(x)均為奇函數(shù),可得h(x)=f(x)·g(x)為偶函數(shù),反之則不成立,如h(x)=x2是偶函數(shù),但函數(shù)f(x)=,g(x)=ex都不是奇函數(shù),故逆命題不正確,故其否命題也不正確,即只有原命題和逆否命題正確. 答案 C 考向三 充要條件的判斷 【例3】?指出下列命題中,p是q的什么條件(在“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”中選出一種作答). (1)在△A

12、BC中,p:∠A=∠B,q:sin A=sin B; (2)對(duì)于實(shí)數(shù)x、y,p:x+y≠8,q:x≠2或y≠6; (3)非空集合A、B中,p:x∈A∪B,q:x∈B; (4)已知x、y∈R,p:(x-1)2+(y-2)2=0, q:(x-1)(y-2)=0. [審題視點(diǎn)] 結(jié)合充分條件,必要條件的定義判斷所給命題間的關(guān)系. 解 (1)在△ABC中,∠A=∠B?sin A=sin B,反之,若sin A=sin B,因?yàn)锳與B不可能互補(bǔ)(因?yàn)槿切稳齻€(gè)內(nèi)角和為180°),所以只有A=B.故p是q的充要條件. (2)易知,綈p:x+y=8,綈q:x=2且y=6,顯然綈q?綈p,但綈p

13、?/ 綈q,即綈q是綈p的充分不必要條件,根據(jù)原命題和逆否命題的等價(jià)性知,p是q的充分不必要條件. (3)顯然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有x∈A∪B,所以p是q的必要不充分條件. (4)條件p:x=1且y=2,條件q:x=1或y=2, 所以p?q但q?/ p,故p是q的充分不必要條件. 判斷p是q的什么條件,需要從兩方面分析:一是由條件p能否推得條件q,二是由條件q能否推得條件p.對(duì)于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題,除借助集合思想把抽象、復(fù)雜問(wèn)題形象化、直觀化外,還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價(jià)性,轉(zhuǎn)化為判斷它的等價(jià)命題. 【訓(xùn)練3】 (xx·山東)設(shè)

14、{an}是首項(xiàng)大于零的等比數(shù)列,則“a1<a2”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的(  ). A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 解析 a1<a2且a1>0,則a1(1-q)<0,a1>0且q>1,則數(shù)列{an}遞增;反之亦然. 答案:C 難點(diǎn)突破2——高考中充要條件的求解 從近幾年課改區(qū)高考試題可以看出,高考主要以選擇題或填空題的形式對(duì)充分條件、必要條件內(nèi)容進(jìn)行考查,一般難度不大,屬中檔題,常與不等式、數(shù)列、向量、三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、立體幾何等內(nèi)容結(jié)合考查.考查形式主要有兩種:一是判斷指定的條件與結(jié)論之間的關(guān)系;二是探求某結(jié)

15、論成立的充要條件、充分不必要條件或必要不充分條件. 判斷充分、必要條件要從兩方面考慮:一是必須明確哪個(gè)是條件,哪個(gè)是結(jié)論;二是看由條件推出結(jié)論和由結(jié)論推出條件哪個(gè)成立,該類問(wèn)題雖然屬于容易題,但有時(shí)會(huì)因顛倒條件與結(jié)論或因忽視某些隱含條件等細(xì)節(jié)而失分. 一、充要條件與不等式的解題策略 【示例】?(xx·天津)設(shè)x,y∈R,則“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的(  ). A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 二、充要條件與方程結(jié)合的解題策略 【示例】? (xx·陜西)設(shè)n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整數(shù)根

16、的充要條件是n=________. 三、充要條件與數(shù)列結(jié)合的解題策略 【示例】? (xx·山東)設(shè){an}是等比數(shù)列,則“a1<a2<a3”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的(  ). A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 四、充要條件與向量結(jié)合的解題策略 【示例】?(xx·福建)若向量a=(x,3)(x∈R),則“x=4”是“|a|=5”的(  ). A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件 五、充要條件與三角函數(shù)結(jié)合的解題策略 【示例】? (xx·上海)“x=2kπ+(k∈Z)”是“tan x=1”成立的(  ). A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

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