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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 導(dǎo)數(shù)概念知識(shí)梳理1 蘇教版 知識(shí)點(diǎn)反思梳理： 【只要都有則函數(shù)就在區(qū)間上單調(diào)遞增】 Ⅱ.觀察下列函數(shù)圖象不難發(fā)現(xiàn)：雖然函數(shù)都是遞增（遞減）函數(shù)，可是增減的快慢（陡峭程度）卻各不相同。究竟怎樣刻畫、區(qū)別函數(shù)的陡峭程度呢？比如“越陡值就越大…….’ 那么又是為了研究什么發(fā)明的“平均變化率”、“瞬時(shí)變化率“、”導(dǎo)數(shù)”呢？？ Ⅲ.發(fā)明一個(gè)什么樣的“數(shù)學(xué)工具模型”才能“刻畫變量變化的快與慢？” 數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微。 如何量化曲線的陡峭程度？ Ⅳ.平均變化率 ：一般地,函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1，x2

2、]上的平均變化率。簡記為 Ⅴ. 平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”，曲線陡峭程度是平均變化率“視覺化”． Ⅵ. 平均變化率量化一段曲線的“陡峭程度、快慢程度”是“粗糙不精確的”， Ⅶ.但應(yīng)注意當(dāng)很小時(shí)，這種量化便由“粗糙”逼近“精確”。 Ⅷ.【導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的背景：】 1. 如圖，設(shè)曲線c是函數(shù)的圖象，點(diǎn)是曲線 c 上一點(diǎn)作割線PQ當(dāng)點(diǎn)Q 沿著曲線c無限地趨近于點(diǎn)P，割線PQ無限地趨近于某一位置PT我們就把該位置上的直線PT，叫做曲線c在點(diǎn)P 處的切線割線斜率切線斜率也叫是函數(shù)在點(diǎn)的瞬時(shí)變化率. 2..函數(shù)在該點(diǎn)處的這個(gè)具有預(yù)測(cè)、導(dǎo)性的數(shù)，數(shù)學(xué)上也常把它叫做“導(dǎo)數(shù)’ 3.分別說出

3、下列符號(hào)語言的含義：①； ②； ③； .④. 4.導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)都稱為導(dǎo)數(shù)，這要加以區(qū)分：求一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，就是求導(dǎo)函數(shù)；求一個(gè)函數(shù)在給定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，就是求導(dǎo)函數(shù)值它們之間的關(guān)系是函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)的函數(shù)值 5．與的區(qū)別： 在對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念進(jìn)行理解時(shí)，特別要注意與是不一樣的，代表函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值，不一定為0；而是函數(shù)值的導(dǎo)數(shù)，而函數(shù)值是一個(gè)常量，其導(dǎo)數(shù)一定為0，即=0。 例1.已知曲線在處的切線的傾斜角為，則 ， . 變式1：已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且有則？ 例2：.如圖，水以常速（單位時(shí)間內(nèi)注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中，請(qǐng)分別找出

4、與各容器對(duì)應(yīng)的水的高度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系圖像． 2.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：就是函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率.請(qǐng)分別觀察上述圖象隨著的增大值增加的快慢與切線斜率的大小關(guān)系？ 練習(xí)：（xx江西）如圖，一個(gè)正五角星薄片（其對(duì)稱軸與水面垂直）勻速地升出水面，記t時(shí)刻五角星露出水面部分的圖形面積為，則導(dǎo)函數(shù)的圖像大致為 練習(xí)：單位圓中弧AB長為x，f（x）表示弧AB與弦AB所圍成弓形面積的2倍。則函數(shù)f（x）的圖像是（ ） A B C D 解析一：

5、定量分析?？闪谐鰂（x）=x－sinx，知0x，f（x）圖像在y=x上方。選D 解二：定性分析。當(dāng)x從增至2π時(shí)，f（x）變化經(jīng)歷了從慢到快，從快到慢的過程，選D 命題意圖與思路點(diǎn)撥：此題考查學(xué)生作圖、識(shí)圖、用圖的能力。解析二與解析三直接避開求f（x）解析式，把圖像與性質(zhì)對(duì)應(yīng)，通過性質(zhì)，作出判斷，本題對(duì)學(xué)生分析思考能力，要求較高。 例3.若直線為函數(shù)圖象的切線,求b的值和切點(diǎn)坐標(biāo). 變式1.求曲線y=x2在點(diǎn)(1,1)處的切線方程. 變式2:求曲線y=x2過點(diǎn)(0,-1)的切線方程 變式3:求曲線y=x3

6、過點(diǎn)(1,1)的切線方程 變式4:已知直線,點(diǎn)P為y=x2上任意一點(diǎn),求P在什么位置時(shí)到直線距離最短. 變式5:求函數(shù) 圖象上的點(diǎn)到直線的距離的最小值及相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo). 解：首先由得 知，兩曲線無交點(diǎn). ，要與已知直線平行，須， 故切點(diǎn)：（0 , －2）. . 例4：【xx海南寧夏文21/22】設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為. （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）證明：曲線上任一點(diǎn)處的切線與直線和直線所圍成的三角形面積為定值，并求此定值. 解：（Ⅰ）方程可化為，當(dāng)時(shí)，； 又，于是，解得， 故 （Ⅱ）設(shè)為曲線上任一點(diǎn)，由知曲線在點(diǎn)處的切線方程為 ，即 令，得，從而得切線與直

7、線的交點(diǎn)坐標(biāo)為； 令，得，從而得切線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為； 所以點(diǎn)處的切線與直線所圍成的三角形面積為； 故曲線上任一點(diǎn)處的切線與直線所圍成的三角形面積為定值6. 練習(xí)：曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為 。 練習(xí)：（10全國2）（10）若曲線在點(diǎn)處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)圍成的三角形的面積為18，則 . . 【命題意圖】本試題主要考查求導(dǎo)法則、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的求法和三角形的面積公式，考查考生的計(jì)算能力.. 【解析】，切線方程是，令，，令，，∴三角形的面

8、積是，解得. 練習(xí)：【致遠(yuǎn)中學(xué)等xx屆高三第一次調(diào)研y x O P M Q N 】14．圖為函數(shù) 軸和直線分別 交于點(diǎn)P、Q，點(diǎn)N（0，1），若△PQN的面積為b 時(shí)的點(diǎn)M恰好有兩個(gè)，則b的取值范圍為 ▲ . 【江蘇·鹽城】8.設(shè)為曲線上一點(diǎn),曲線在點(diǎn)處的切線的斜率的范圍是,則點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍是____▲____. 例5: 【啟東中學(xué)xx高三備課組】★你能正確使用切點(diǎn)與交點(diǎn)嗎？ 15．（本小題滿分16分）如圖，在函數(shù)的圖像上取4個(gè)點(diǎn)，過點(diǎn) 作切線（，如果∥，且圍成的圖形是矩形記為M． （1）證明四邊形是平行四邊形； A1 A2 A3

9、A4 x y 0 （2）問矩形M的短邊與長邊的比是否有最大值，若有，求與的斜率，若沒有， 請(qǐng)證明． （1）設(shè)直線的斜率為（， 由，得 ------------------------------2分 由題意，，又點(diǎn)不重合，故，， 從而，，---------------------------------------------5分 因此，都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 故四邊形是平行四邊形；------------------------------------7分 （2）有最大值； --------

10、-------------------------------------------9分 設(shè)， ，即，且 設(shè)與的距離為，與的距離為 （k＞1）-------11分 令（x＞1） ， 當(dāng)時(shí)為增函數(shù)， 當(dāng)時(shí)為減函數(shù)， 故當(dāng)，---------------14分 因?yàn)?，因此矩形M的短邊與長邊的比有最大值， 與的斜率分別為和，-----------------------------16分 練習(xí)：已知曲線與。直線l與、都相切，求直線l的方程。解：設(shè)l與相切于點(diǎn)，與相切于。對(duì)，則與相切于點(diǎn)P的切線方程為，即。 ① 　　對(duì)，則與相切于點(diǎn)Q的切線

11、方程為 ，即。 ② 　　∴直線方程為y=0或y=4x-4。 課外作業(yè)： 1.已知函數(shù)（）的圖象為曲線． （1）求過曲線上任意一點(diǎn)的切線斜率的取值范圍； （2）若在曲線上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線的切點(diǎn)的橫 坐標(biāo)的取值范圍； （3）試問：是否存在一條直線與曲線C同時(shí)切于兩個(gè)不同點(diǎn)？如果存在，求出符合 條件的所有直線方程；若不存在，說明理由． 解：（1），則， 即過曲線上任意一點(diǎn)的切線斜率的取值范圍是；------------4分 （2）由（1）可知，----------------------------------------------

12、-----------6分 解得或，由或 得：；-------------------------------9分 （3）設(shè)存在過點(diǎn)A的切線曲線C同時(shí)切于兩點(diǎn)，另一切點(diǎn)為B， ， 則切線方程是：， 化簡得：，--------------------------11分 而過B的切線方程是， 由于兩切線是同一直線， 則有：，得，----------------------13分 又由， 即 ，即 即， 得，但當(dāng)時(shí)，由得，這與矛盾。 所以不存在一條直線與曲線C同時(shí)切于兩點(diǎn)。----------------------------------16分