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1、2022年高三數(shù)學第一輪復習單元講座 第26講 平面向量的數(shù)量積及應用教案 新人教版 一．課標要求： 1．平面向量的數(shù)量積 ①通過物理中"功"等實例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義； ②體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系； ③掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算； ④能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系。 2．向量的應用 經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學問題與其他一些實際問題的過程，體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，發(fā)展運算能力和解決實際問題的能力。 二．命題走向 本講以選擇題、填空題考察本章的

2、基本概念和性質(zhì)，重點考察平面向量的數(shù)量積的概念及應用。重點體會向量為代數(shù)幾何的結(jié)合體，此類題難度不大，分值5~9分。 平面向量的綜合問題是“新熱點”題型，其形式為與直線、圓錐曲線、三角函數(shù)等聯(lián)系，解決角度、垂直、共線等問題，以解答題為主。 預測07年高考： （1）一道選擇題和填空題，重點考察平行、垂直關(guān)系的判定或夾角、長度問題；屬于中檔題目。 （2）一道解答題，可能以三角、數(shù)列、解析幾何為載體，考察向量的運算和性質(zhì)； 三．要點精講 1．向量的數(shù)量積 （1）兩個非零向量的夾角 已知非零向量a與a，作＝，＝，則∠AＯA＝θ（０≤θ≤π）叫與的夾角； 說明：（1）當θ＝０時，與同向

3、； （2）當θ＝π時，與反向； （3）當θ＝時，與垂直，記⊥； （4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的，范圍0°≤q≤180°。 C （2）數(shù)量積的概念 已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則·=︱︱·︱︱cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積）。規(guī)定； 向量的投影：︱︱cos=∈R，稱為向量在方向上的投影。投影的絕對值稱為射影； （3）數(shù)量積的幾何意義： ·等于的長度與在方向上的投影的乘積。 （4）向量數(shù)量積的性質(zhì) ①向量的模與平方的關(guān)系：。 ②乘法公式成立 ； ； ③平面向量數(shù)量積的運算律 交換律成立：； 對實數(shù)的結(jié)合律成立：； 分配律成立：。 ④向

4、量的夾角：cos==。 當且僅當兩個非零向量與同方向時，θ=00，當且僅當與反方向時θ=1800，同時與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題。 （5）兩個向量的數(shù)量積的坐標運算 已知兩個向量，則·=。 （6）垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作⊥。 兩個非零向量垂直的充要條件：⊥·＝O，平面向量數(shù)量積的性質(zhì)。 （7）平面內(nèi)兩點間的距離公式 設，則或。 如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標分別為、，那么(平面內(nèi)兩點間的距離公式)。 2．向量的應用 （1）向量在幾何中的應用； （2）向量在物理中的應用。 四．典例解析 題型1：數(shù)量積的概念 例1．判斷下列各命題

5、正確與否： （1）； （2）； （3）若，則； （4）若，則當且僅當時成立； （5）對任意向量都成立； （6）對任意向量，有。 解析：（1）錯；（2）對；（3）錯；（4）錯；（5）錯；（6）對。 點評：通過該題我們清楚了向量的數(shù)乘與數(shù)量積之間的區(qū)別于聯(lián)系，重點清楚為零向量，而為零。 例2．（1）（xx上海春，13）若、、為任意向量，m∈R，則下列等式不一定成立的是（ ） A． B． C．m（）=m+m D． （2）(xx江西、山西、天津理，4)設、、是任意的非零平面向量,且相互不共線,則 ①（·）－（·）= ②||－||<|－| ③（

6、·）－（·）不與垂直 ④（3+2）（3－2）=9||2－4||2中，是真命題的有（ ） A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 解析：（1）答案：D；因為，而；而方向與方向不一定同向。 （2）答案：D①平面向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律。故①假；②由向量的減法運算可知||、||、|－|恰為一個三角形的三條邊長，由“兩邊之差小于第三邊”，故②真；③因為［（·）－（·）］·=（·）·－（·）·=0，所以垂直.故③假；④（3+2）（3－2）=9··－4·=9||2－4||2成立。故④真。 點評：本題考查平面向量的數(shù)量積及運算律，向量的數(shù)量積運算不滿足結(jié)合律。

7、 題型2：向量的夾角 例3．（1）（06全國1文，1）已知向量、滿足、，且，則與的夾角為（ ） A． B． C． D． （2）（06北京文，12）已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，那么與的夾角的大小是 。 （3）已知兩單位向量與的夾角為，若，試求與的夾角。 （4）（xx北京3）| |=1，| |=2，= + ，且⊥，則向量與的夾角為 （ ） A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：（1）C；（2）； （3）由題意

8、，，且與的夾角為， 所以，， ， ， 同理可得。 而， 設為與的夾角， 則。 （4）C；設所求兩向量的夾角為 　　　 　　即： 所以 點評：解決向量的夾角問題時要借助于公式，要掌握向量坐標形式的運算。向量的模的求法和向量間的乘法計算可見一斑。對于這個公式的變形應用應該做到熟練，另外向量垂直（平行）的充要條件必需掌握。 例4．（1）（06全國1理，9）設平面向量、、的和。如果向量、、，滿足，且順時針旋轉(zhuǎn)后與同向，其中，則（ ） A．－++= B．-+= C．+-= D．++=

9、 （2）（06湖南理，5）已知 且關(guān)于的方程有實根, 則與的夾角的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 解析：（1）D；（2）B； 點評：對于平面向量的數(shù)量積要學會技巧性應用，解決好實際問題。 題型3：向量的模 例5．（1）（06福建文，9）已知向量與的夾角為，則等于（ ） A．5　　　　B．4　　　　C．3　　　　D．1 （2）（06浙江文，5）設向量滿足,,則（ ） A．1 B．2 C．4 D．5 解析：（1

10、）B；（2）D； 點評：掌握向量數(shù)量積的逆運算，以及。 例6．已知＝（3，4），＝（4，3），求x,y的值使(x+y)⊥，且｜x+y｜=1。 解析：由＝（3，4），＝（4，3），有x+y=(3x+4y,4x+3y)； 又（x+y）⊥(x+y)·＝０3(3x+4y)+4(4x+3y)=0； 即25x+24y＝０ ①； 又｜x+y｜=1｜x+y｜２＝１； （３x+4y）２＋（４x+3y）２＝１； 整理得25x２＋48xy+25y２＝１即x(25x+24y)+24xy+25y２＝１ ②； 由①②有24xy+25y２＝１

11、 ③； 將①變形代入③可得：y=±； 再代回①得：。 點評：這里兩個條件互相制約，注意體現(xiàn)方程組思想。 題型4：向量垂直、平行的判定 例7．(xx廣東12)已知向量，，且，則 。 解析：∵，∴，∴，∴。 例8．已知，，，按下列條件求實數(shù)的值。（1）；（2）；。 解析： （1）； （2）； 。 點評：此例展示了向量在坐標形式下的平行、垂直、模的基本運算。 題型5：平面向量在代數(shù)中的應用 例9．已知。 分析：，可以看作向量的模的平方，而則是、的數(shù)量積，從而運用數(shù)量積的性質(zhì)證出該不等式。 證明：設 則。 點

12、評：在向量這部分內(nèi)容的學習過程中，我們接觸了不少含不等式結(jié)構(gòu)的式子，如等。 例10．已知，其中。 （1）求證：與互相垂直； （2）若與（）的長度相等，求。 解析：（1）因為 所以與互相垂直。 （2）， ， 所以， ， 因為， 所以， 有， 因為，故， 又因為， 所以。 點評：平面向量與三角函數(shù)在“角”之間存在著密切的聯(lián)系。如果在平面向量與三角函數(shù)的交匯處設計考題，其形式多樣，解法靈活，極富思維性和挑戰(zhàn)性。若根據(jù)所給的三角式的結(jié)構(gòu)及向量間的相互關(guān)系進

13、行處理?？墒菇忸}過程得到簡化，從而提高解題的速度。 題型6：平面向量在幾何圖形中的應用 例11．（xx年高考題）已知兩點，且點P（x，y）使得，成公差小于零的等差數(shù)列。 （1）求證； （2）若點P的坐標為，記與的夾角為，求。 解析：（1）略解：，由直接法得 （2）當P不在x軸上時， 而 所以，當P在x軸上時，，上式仍成立。 圖1 點評：由正弦面積公式得到了三角形面積與數(shù)量積之間的關(guān)系，由面積相等法建立等量關(guān)系。 例12．用向量法證明：直徑所對的圓周角是直角。 已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點P是⊙O上任一點（不與A、B重合），求證：∠APB＝90°。 證明

14、：聯(lián)結(jié)OP，設向量，則且， ，即∠APB＝90°。 點評：平面向量是一個解決數(shù)學問題的很好工具，它具有良好的運算和清晰的幾何意義。在數(shù)學的各個分支和相關(guān)學科中有著廣泛的應用。 題型7：平面向量在物理中的應用 例13．如圖所示，正六邊形PABCDE的邊長為b，有五個力、作用于同一點P，求五個力的合力。 解析：所求五個力的合力為，如圖3所示，以PA、PE為邊作平行四邊形PAOE，則，由正六邊形的性質(zhì)可知，且O點在PC上，以PB、PD為邊作平行四邊形PBFD，則，由正六邊形的性質(zhì)可知，且F點在PC的延長線上。 由正六邊形的性質(zhì)還可求得 故由向量的加法可知所求五個力的合力的大小為

15、，方向與的方向相同。 五．思維總結(jié) 1．兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)別 （1）兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由cosq的符號所決定； （2）兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成·；今后要學到兩個向量的外積×，而×是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴格區(qū)分.符號“· ”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替； （3）在實數(shù)中，若a10，且a×b=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若10，且×=0，不能推出=。因為其中cosq有可能為0； （4）已知實數(shù)a、b、c(b10)，則ab=bc T a=c。但是×= ×； 如右圖：×= |||cosb = |||OA|

16、，×c = ||c|cosa = |||OA|T× =×，但 1； (5)在實數(shù)中，有(×) = (×)，但是(×)1 (×)，顯然，這是因為左端是與c共線的向量，而右端是與共線的向量，而一般與c不共線。 2．平面向量數(shù)量積的運算律 特別注意： （1）結(jié)合律不成立：； （2）消去律不成立不能得到； （3）=0不能得到=或=。 3．向量知識，向量觀點在數(shù)學.物理等學科的很多分支有著廣泛的應用，而它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”能融數(shù)形于一體，能與中學數(shù)學教學內(nèi)容的許多主干知識綜合，形成知識交匯點，所以高考中應引起足夠的重視. 數(shù)量積的主要應用：①求模長；②求夾角；③判垂

17、直； 4．注重數(shù)學思想方法的教學 ①．數(shù)形結(jié)合的思想方法。 由于向量本身具有代數(shù)形式和幾何形式雙重身份，所以在向量知識的整個學習過程中，都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法，在解決問題過程中要形成見數(shù)思形、以形助數(shù)的思維習慣，以加深理解知識要點，增強應用意識。 ②．化歸轉(zhuǎn)化的思想方法。 向量的夾角、平行、垂直等關(guān)系的研究均可化歸為對應向量或向量坐標的運算問題；三角形形狀的判定可化歸為相應向量的數(shù)量積問題；向量的數(shù)量積公式，溝通了向量與實數(shù)間的轉(zhuǎn)化關(guān)系；一些實際問題也可以運用向量知識去解決。 ③．分類討論的思想方法。 如向量可分為共線向量與不共線向量；平行向量（共線向量）可分為同向向量和反向

18、向量；向量在方向上的投影隨著它們之間的夾角的不同，有正數(shù)、負數(shù)和零三種情形；定比分點公式中的隨分點P的位置不同，可以大于零，也可以小于零。 5．突出向量與其它數(shù)學知識的交匯 “新課程增加了新的現(xiàn)代數(shù)學內(nèi)容，其意義不僅在于數(shù)學內(nèi)容的更新，更重要的是引入新的思維方法，可以更有效地處理和解決數(shù)學問題和實際應用問題”。因此，新課程卷中有些問題屬于新教材與舊教材的結(jié)合部，凡涉及此類問題，高考命題都采用了新舊結(jié)合，以新帶舊或以新方法解決的方法進行處理，從中啟示我們在高考學習中，應突出向量的工具性，注重向量與其它知識的交匯與融合，但不宜“深挖洞”。我們可以預測近兩年向量高考題的難度不會也不應該上升到壓軸題的水平。