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1、2022年高考數(shù)學(xué) 專題四 立體幾何題型分析 理 題型分析 考點一 三視圖、直觀圖與表面積、體積 1.直觀圖 (1)畫法：常用斜二測畫法． (2)規(guī)則： ①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直． ②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄? 按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積有以下關(guān)系 S直觀圖＝S原圖形，S原圖形＝2S直觀圖． 2.三視圖 (1)幾何體的三視

2、圖包括正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線． (2)三視圖的畫法 ①基本要求：長對正，高平齊，寬相等． ②畫法規(guī)則：正側(cè)一樣高，正俯一樣長，側(cè)俯一樣寬；看不到的線畫虛線 1．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式 圓柱 圓錐 圓臺 側(cè)面 展開圖 側(cè)面 積公式 S圓柱側(cè)＝2πrl S圓錐側(cè)＝πrl S圓臺側(cè)＝ π(r＋r′)l 2．空間幾何體的表面積與體積公式 　　　名稱 幾何體　　 表面積 體積 柱體 (棱柱和圓柱) S表面積＝S側(cè)＋2S底 V＝Sh 錐體 (棱錐和

3、圓錐) S表面積＝S側(cè)＋S底 V＝Sh 臺體 (棱臺和圓臺) S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 例1.等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直線為x軸，則由斜二測畫法畫出的直觀圖A′B′C′D′的面積為________． 例2．(xx·重慶高考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　) A．180　　　　　　　　　 B．200 C．220 D．240 例3.(1)如圖所示，已知三棱柱ABC -A1B1C1的所有棱長均為1，且AA1⊥底面ABC

4、，則三棱錐B1 -ABC1的體積為(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. (2)(xx·新課標(biāo)Ⅰ)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A．16＋8π B．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π 考點二 球與空間幾何體的“切”“接”問題 方法主要是“補體”和“找球心” 方法一：直接法 例1、一個長方體的各頂點均在同一球面上，且一個頂點上的三條棱長分別為1,2,3 ，則此球的表面積為 . 練習(xí)：已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的表面積為（ ） A.

5、B. C. D. 方法二：構(gòu)造法（構(gòu)造正方體或長方體） 例2（xx年福建高考題）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的表面積是 練習(xí) （xx年全國卷）一個四面體的所有棱長都為，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為（ ） A. B. C. D. 三、確定球心位置法 　　例3、在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，AC沿將矩形ABCD折成一個直二面角B-AC-D，則四面體ABCD的外接球的體積為(　　) 四、構(gòu)造直角三角形 例4、正四面體

6、的棱長為a，則其內(nèi)切球和外接球的半徑是多少,體積是多少？ 練習(xí)： 角度一　直三棱柱的外接球 1．(xx·遼寧高考)已知直三棱柱ABC -A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為(　　) A.　　　　　　　　 B．2 C. D．3 角度二　正方體的外接球 2．(xx·合肥模擬)一個正方體削去一個角所得到的幾何體的三視圖如圖所示 (圖中三個四邊形都是邊長為2的正方形)，則該幾何體外接球的體積為________． 角度三　正四面體的內(nèi)切球 3．(xx·長春模擬)若一個正四面體的表面積為S1，其內(nèi)切球的表面積

7、為S2，則＝________. 角度四　四棱錐的外接球 4． 四棱錐P-ABCD的五個頂點都在一個球面上，該四棱錐的三視圖如圖所示，E，F(xiàn)分別是棱AB，CD的中點，直線EF被球面所截得的線段長為2，則該球的表面積為(　　) A．9π B．3π C．2π D．12π 考點三 利用空間向量求角和距離 1．兩條異面直線所成角的求法 設(shè)兩條異面直線a，b的方向向量為a，b，其夾角為θ，則cos φ＝|cos θ|＝(其中φ為異面直線a，b所成的角)． 2．直線和平面所成的角的求法 如圖所示，設(shè)直線l的方向向量為e，平面α的法向量

8、為n，直線l與平面α所成的角為φ，兩向量e與n的夾角為θ，則有sin φ＝|cos θ|＝. 3．求二面角的大小 (1)如圖①，AB，CD是二面角α -l -β的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝〈， 〉． (2)如圖②③，n1，n2分別是二面角α -l -β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ＝〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)． 4．點到平面的距離的求法 設(shè)是平面的法向量，在內(nèi)取一點B, 則 A到的距離 易錯點：1．求異面直線所成角時，易求出余弦值為負值而盲目得出答案而忽視了夾角為. 2．求直線與平面所成角時，注意求出夾角的余弦值的絕對值應(yīng)為線

9、面角的正弦值． 3．利用平面的法向量求二面角的大小時，二面角是銳角或鈍角由圖形決定．由圖形知二面角是銳角時cos θ＝；由圖形知二面角是鈍角時，cos θ＝－.當(dāng)圖形不能確定時，要根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量的方向，從而確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等(一個平面的法向量指向二面角的內(nèi)部，另一個平面的法向量指向二面角的外部)，還是互補(兩個法向量同時指向二面角的內(nèi)部或外部)，這是利用向量求二面角的難點、易錯點． 一、線線角問題 1．(xx·沈陽調(diào)研)在直三棱柱A1B1C1 -ABC中，∠BCA＝90°，點D1，F(xiàn)1分別是A1B1，A1C1的中點，BC＝CA＝CC1，則BD1與

10、AF1所成角的余弦值是(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 2．如圖，在棱長為1的正方體ABCD -A1B1C1D1中，M和N分別是A1B1和BB1的中點，那么直線AM與CN所成角的余弦值為________． 二、 線面角的問題 　3、(xx·湖南高考)如圖，在直棱柱ABCD -A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3. (1)證明：AC⊥B1D； (2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值．

11、 [針對訓(xùn)練] (xx·福建高考改編)如圖，在四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1＝1，AB＝3k，AD＝4k，BC＝5k，DC＝6k(k>0)．若直線AA1與平面AB1C所成角的正弦值為，求k的值． 三、二面角問題 4、(xx·新課標(biāo)卷Ⅱ)如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點，AA1＝AC＝CB＝AB. (1)證

12、明：BC1//平面A1CD； (2)求二面角D-A1C-E的正弦值． 　[針對訓(xùn)練] (xx·杭州模擬)如圖，已知平面QBC與直線PA均垂直于Rt△ABC所在平面， 且PA＝AB＝AC. (1)求證：PA∥平面QBC； (2)若PQ⊥平面QBC，求二面角Q-PB-A的余弦值． 四、 利用空間向量解決探索性問題 ．(xx·江西模擬)如圖，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE與平面ABCD所成的角為60°. (1)求證：AC⊥平面BDE； (2)求二面角F-BE-D的余弦值； (3)設(shè)點M是

13、線段BD上一個動點，試確定點M的位置，使得AM∥平面BEF，并證明你的結(jié)論． [針對訓(xùn)練] 已知正方體ABCD -A1B1C1D1的棱長為1，點P在線段BD1上．當(dāng)∠APC最大時，三棱錐P -ABC的體積為________． 五、近三年新課標(biāo)高考試題 立體幾何（三視圖1小+1小1大：（1）三視圖（2）線面關(guān)系（3）與球有關(guān)的組合體（4）證明、求體積與表面積（注意規(guī)范性），作輔助線的思路（5）探索性問題的思考方法） (11)（6）在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如右圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為 （15）已知矩形的頂點都在半徑為

14、4的球的球面上，且,則棱錐的體積為 （18）（本小題滿分12分） 如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四 邊形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. （Ⅰ）證明：PA⊥BD； （Ⅱ）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。 (12) （7）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫 出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為 （A）6 （B）9 （C）12（D）18 11、已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為O的直徑，且SC=2，則此棱錐的體積為 （A） （B

15、） （C） （D） 19、如圖，直三棱柱中，，是棱的中點，。 （1） 證明：； （2） 求二面角1的大小。 (13) 6、如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為 ( ) A、cm3 B、cm3 C、cm3 D、cm3 8、 某幾何函數(shù)的三視圖如圖所示，則該幾何的體積為( ) A、18+8π

16、 B、8+8π C、16+16π D、8+16π 18、如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60°. （Ⅰ）證明AB⊥A1C; （Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直線A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值。 A B C C1 A1 B1 14年高考試題 （14.12）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面 體的三視圖，則該多面體的個條棱中，最長的棱的長度為（ ） . . .6 .4 （14.19）. (本小題

17、滿分12分)如圖三棱錐中，側(cè)面為菱形，. (Ⅰ) 證明：； （Ⅱ）若，，AB=Bc， 求二面角的余弦值. xx年 （6）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖所示，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有 （A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛 （11）圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為，則 （A）1 （B）2 （C）4 （D）8 （18）（本小題滿分12分） 如圖所示，四邊形為菱形，，，是平面同一側(cè)的兩點，平面，平面，，． （Ⅰ）求證：平面平面； （Ⅱ）求直線與直線所成角的余弦值．