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2022年高考數(shù)學(xué) 考點18 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖、空間幾何體的表面積與體積練習(xí)

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1、2022年高考數(shù)學(xué) 考點18 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖、空間幾何體的表面積與體積練習(xí) 空間幾何體的表面積與體積 1.(xx·陜西高考理科·T7)若某空間幾何體的三視圖如圖所示, 則該幾何體的體積是( ) (A) (B) (C) 1 (D) 2 【命題立意】本題考查三視圖的概念及空間想象能力,屬中檔題. 【思路點撥】三視圖幾何體是直三棱柱該幾何體的體積. 【規(guī)范解答】選C.由該幾何體的三視圖可知,該幾何體是直三棱柱,且棱柱的底面是兩直角邊長分別為和1的直角三角形,棱柱的高為,所以該幾何體的體積 2.(x

2、x·遼寧高考文科·T11)已知S,A,B,C是球O表面上的點,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,SA=AB=1,BC=,則球O的表面積等于( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D) 【命題立意】本題考查了空間兩點間距離公式和球的表面積公式. 【思路點撥】 建立空間坐標系 設(shè)球心坐標 球的半徑 球的表面積 【規(guī)范解答】選A.平面ABC,AB,AC平面ABC,,, 故可以A為原點,AC所在的直線為軸,AS所在的直線為軸建立如圖所示的空間直 角坐標系A(chǔ)-xyz,則,,,,設(shè)球心O 坐標為,則點O到各頂點S,A,B,C的距離相等,都等于球的半徑R.

3、 , 解得, 球的表面積為.故選A. 【方法技巧】1.選用球心到各頂點的距離都相等來確定球心,才能求出半徑, 2.也可用另外的方法找到球心,因為∠ABC是直角,所以AC是過A,B,C三點的小圓的直徑,所以球心在過AC和平面ABC垂直的平面上,可知球心在平面SAC中,又因為球心到點 S,A,C的距離都相等,且△SAC是直角三角形,所以球心就是斜邊SC的中點,球的半徑為SC的一半, 3.另外,可將三棱錐S-ABC補成一個長方體進行求解. 3.(xx·遼寧高考理科·T12)有四根長都為2的直鐵條,若再選兩根長都為a的直鐵條,使這六根鐵條端點處相連能夠焊接成一個三棱錐形的鐵架,則a的取

4、值范圍是( ) (A)(0,) (B)(1,) (C) (,) (D) (0,) 【命題立意】以三棱錐為背景考查三角形中的三邊關(guān)系,考查空間想象能力和運算能力. 【思路點撥】分兩種情況,一種是長度為a的棱在一個三角形中,另一種情況是長度為a的棱不在一個三角形中,分別討論. 【規(guī)范解答】選A. 對于第一種情況,取BC的中點D連結(jié)PD,AD,則 在△PAD中, 對于第二種情況同理可以得到, 綜合兩種情況,及,所以a的取值范圍是(0,). 4.(xx·安徽高考理科·T8)一個幾何體的三視圖如圖, 該幾何體的表面積為( ) (A)28

5、0 (B)292 (C)360 (D)372 【命題立意】本題主要考查三視圖知識,考查考生的空間想 象能力. 【思路點撥】把三視圖轉(zhuǎn)化為直觀圖,進而運算求解. 【規(guī)范解答】選 C.由幾何體的三視圖可知,該幾何體由兩個長方體組合而成,其表面積等于下面長方體的全面積加上面長方體的4個側(cè)面面積之和.其中下面的長方體的三邊分別為8,10,2, 上面的長方體的三邊分別為6,2,8,所以該幾何體的表面積為 ,故C正確. 【方法技巧】把三視圖轉(zhuǎn)化為直觀圖是解決此題的關(guān)鍵,由三視圖很容易知道是兩個長方體的組合體,畫出直觀圖,得出各個棱的長度,把幾何體的表面積轉(zhuǎn)化為下面長方體的表面積加上面長方體

6、的4個側(cè)面面積之和. 5.(xx·浙江高考文科·T8)若某幾何體的三視圖 (單位:cm)如圖所示,則此幾何體的體積是( ) (A)cm3 (B)cm3 (C)cm3 (D)cm3 【命題立意】本題主要考查了對三視圖所表達的空間幾何體的 識別以及幾何體體積的計算,屬容易題. 【思路點撥】解答本題要先由三視圖,想象出直觀圖,再求體積. 【規(guī)范解答】選B.此幾何體上方為正四棱柱、下方為四棱臺.所以其體積為 (cm3). 【方法技巧】對于不規(guī)則幾何體求體積時可分為幾部分規(guī)則的幾何體,再求體積和. 6.(xx·北京高

7、考理科·T3)一個長方體 去掉一個小長方體,所得幾何體的正(主)視 圖與側(cè)(左)視圖分別如圖所示,則該幾何 體的俯視圖為( ) (A) (B) (C) (D) 【命題立意】本題考查三視圖知識,考查同學(xué)們的空間想象能力. 【思路點撥】結(jié)合正、側(cè)視圖,想象直觀圖. 【規(guī)范解答】選C.由主、左視圖可知直觀圖如圖所示: 因此,俯視圖是選項C. 7.(xx·北京高考理科·T8)如圖,正方體ABCD-的棱長為2,動點E,F(xiàn)在棱上,動點P,Q分別在棱AD,CD上,若EF=1,E=x,DQ=y,DP=z(x,y,z大于零),則四面體PEFQ的體積( ) (A)與x,y

8、,z都有關(guān) (B)與x有關(guān),與y,z無關(guān) (C)與y有關(guān),與x,z無關(guān) (D)與z有關(guān),與x,y無關(guān) 【命題立意】本題考查幾何體體積的求法,關(guān)鍵是找到易求面積的底面與高.考查空間想象能力,運算能力. 【思路點撥】把四面體PEFQ的體積表示出來,由于中,,Q到EF的距離為側(cè)面的對角線長,故選擇為底面.點P到的距離,即是點P到對角面的距離. 【規(guī)范解答】選D.S△EFQ,點P到平面EFQ的距離h=,S△EFQ·h.因此體積只與有關(guān),而與無關(guān). 8.(xx·北京高考文科·T8)如圖,正方體 的棱長為2,動點E,F(xiàn)在棱上.點Q是CD的中點,動點P在 棱AD上,若EF=1,DP=x

9、,E=y(x,y大于零),則三棱錐P-EFQ的 體積( ) (A)與x,y都有關(guān) (B)與x,y都無關(guān) (C)與x有關(guān),與y無關(guān) (D)與y有關(guān),與x無關(guān) 【命題立意】本題考查幾何體體積的相關(guān)知識,關(guān)鍵是找到易求面積的底面與高. 【思路點撥】把△EFQ看作底面,點P到對角面的距離即為對應(yīng)的高. 【規(guī)范解答】選C.,點P到平面EFQ的距離h=. ,與x有關(guān),與y無關(guān). 9.(xx ·海南寧夏高考·理科T10)設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面,所有棱的長為,頂點都在一個球面上,則該球的表面積為( ) (A) (B) (C) (D) 【命題立意

10、】本小題主要考查了幾何體的外接球問題. 【思路點撥】找出球與棱柱的相應(yīng)關(guān)系,找出球的半徑與三棱柱棱長之間的關(guān)系. 【規(guī)范解答】選B.設(shè)球心為,設(shè)正三棱柱上底面為,中心為,因為三棱柱所有棱的長為,則可知 ,,又由球的相關(guān)性質(zhì)可知,球的半徑,所以球的表面積為,故選B. 1 1 1 10.(xx·福建高考文科·T3)若一個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示,則其側(cè)面積等于( ) (A) (B)2 (C) (D)6 【命題立意】本題考查三棱柱的三視圖、側(cè)面積. 【思路點撥】由題意判斷幾何體的形狀,結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)求出側(cè)面積

11、. 【規(guī)范解答】選D.由正視圖知:三棱柱是以底面邊長為2,高為1的正三棱柱,側(cè)面積為3×2×1=6. 11.(xx·廣東高考理科·T6)如圖,△ ABC為正三角形,//?//?, ?⊥平面ABC?且3== =AB,則多面體ABC -的正視圖(也稱主視圖)是( ) 【命題立意】本題考查三視圖的畫法. 【思路點撥】可由投影的方法得到. 【規(guī)范解答】選.由//及3=可得四邊形的投影為梯形,再由3== =AB及底面為正三角形可得正視圖為. 12.(xx ·海南寧夏高考·理科T14)正視圖為一個三角形的幾何體可以是 (寫出三種). 【命題立意】本題主要考查空間幾何體的三

12、視圖的相關(guān)知識. 【思路點撥】一般來說,錐體的正視圖中才會出現(xiàn)三角形. 【規(guī)范解答】由幾何體的三視圖可知,正視圖為三角形的可以是三棱錐、圓錐、四棱錐等. 【答案】三棱錐、圓錐、四棱錐(不唯一) 13.(xx·天津高考文科·T12)一個幾何體的三視圖如圖所示, 則這個幾何體的體積為 . 【命題立意】本題主要考查三視圖的基礎(chǔ)知識,和柱體體積的計算,屬于容易題. 【思路點撥】由三視圖還原幾何體的形狀. 【規(guī)范解答】由俯視圖可知該幾何體的底面為直角梯形,則由正視圖和側(cè)視圖可知該幾何體的高為1,結(jié)合三個視圖可知該幾何體是底面為直角梯形的直四棱柱,所以該幾何體的體積為.

13、 【答案】3 【方法技巧】根據(jù)三視圖還原幾何體實物,要仔細分析和認真觀察三視圖,進行充分的空間想象,結(jié)合三視圖的形狀,從不同的角度去還原,看圖和想圖是兩個重要的步驟,“想”與“看”中,形體分析的看圖方法是解決此類問題的常見方法. 14.(xx·湖南高考文科·T13)如圖中的三個直角三角形是一個體積為20 cm3的幾何體的三視圖,則h= cm. 【命題立意】考查空間想象能力和把三視圖等價轉(zhuǎn)化 為直觀圖的能力. 【思路點撥】三視圖→直觀圖,特別注意數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化. 【規(guī)范解答】在長方體ABCD-A1B1C1D1中體會三視圖, 得到三視圖的直觀圖是三棱錐D1-DAC,D1D

14、⊥DA, D1D⊥DC,且DC=5,DA=6,則V=··DA·DC·h=20,∴h=4cm. 【答案】4 【方法技巧】在把三視圖轉(zhuǎn)化為直觀圖時,常常利用長方體為載體進行分析,常常注意三個方面:虛線和實線,面高和體高,垂直. 15.(xx·遼寧高考理科·T15)如圖,網(wǎng)格紙的小正方形的邊長是1,在其上用粗線畫出了某多面體的三視圖,則這個多面體最長的一條棱的長為______. 【命題立意】考查了幾何體的三視圖和幾何體中的簡單計算. 【思路點撥】由三視圖作出該幾何體的直觀圖,判斷出最長的棱,計算得出答案. 【規(guī)范解答】由三視圖可知該幾何體是一個四棱錐,(如圖)底面AB

15、CD是正方形,邊長是2,,高PC=2,,,所以最長的棱是PA,長為. 【答案】 16.(xx·浙江高考理科·T12)若某幾何體的三視圖(單位:cm) 如圖所示,則此幾何體的體積是___________. 【命題立意】本題考查三視圖、體積的計算公式,考查空間想象能力、 運算能力. 【思路點撥】先由三視圖想象出直觀圖,再分解求體積. 【規(guī)范解答】該幾何體的直觀圖:上面是一個正四棱柱 (底面邊長4,高2),下面是一個四棱臺(上底面邊長為4, 下底面邊長為8,高為3).因此, 其體積為:. 【答案】144 【方法技巧】(1)在由三視圖畫直觀圖時,要注意三視圖中的尺寸與直觀圖中尺

16、寸間的對應(yīng)關(guān)系.(2)求復(fù)雜幾何體的體積一般先把它分成幾個簡單的幾何體,再分別求體積. 17.(xx·天津高考理科·T12)一個幾何體的三視圖如圖所示,則這個幾何體的體積為 . 【命題立意】考查三視圖的概念及錐體的體積公式. 【思路點撥】由三視圖還原幾何體的形狀. 【規(guī)范解答】由三視圖可得該幾何體是一個組合體,上面是一個高為1的正四棱錐,其底是邊長為2的正方形,下面是一個長為1、寬為1、高為2的長方體,所以所求幾何體的體積為. 【答案】 【方法技巧】根據(jù)三視圖還原幾何體實物,要仔細分析和認真觀察三視圖,進行充分的空間想象,結(jié)合三視圖的形狀,從不同的角度去還原,看圖和

17、想圖是兩個重要的步驟,“想”與“看”中,形體分析的看圖方法是解決此類問題的常見方法. 1 1 1 18.(xx·福建高考理科·T12)若一個底面是正三角形的三棱柱的 正視圖如圖所示,則其表面積等于 . 【命題立意】本題主要考查三棱柱的三視圖與直觀圖、表面積. 【思路點撥】 把三視圖恢復(fù)成直觀圖,求出上、下底面和各個側(cè) 面的面積,進而求出表面積. 【規(guī)范解答】三棱柱的直觀圖為底面邊長為2的正三角形,側(cè)棱長為1,,, . 【答案】 19.(xx·湖南高考理科·T4)如圖中的三個直角三角形是一個體積為20的幾何體的三視圖, 則 . 【命題立意】考查空間想象能力和把三視圖等價轉(zhuǎn)化為直觀圖的能力. 【思路點撥】三視圖→直觀圖,特別注意數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化. 【規(guī)范解答】在長方體ABCD-A1B1C1D1中體會三視圖,得到三視圖的直觀圖是三棱錐D1-DAC,D1D⊥DA, D1D⊥DC,且DC=5,DA=6,則V=··DA·DC·h=20,∴h=4cm. 【答案】4 【方法技巧】在把三視圖轉(zhuǎn)化為直觀圖時,常常利用長方體為載體進行分析.常常注意三個方面:虛線和實線,面高和體高,垂直.

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