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2022年高考數(shù)學(xué) 第八篇 第6講 空間向量及其運(yùn)算限時(shí)訓(xùn)練 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學(xué) 第八篇 第6講 空間向量及其運(yùn)算限時(shí)訓(xùn)練 新人教A版 一、選擇題(每小題5分,共20分) 1.在下列命題中: ①若向量a,b共線,則向量a,b所在的直線平行; ②若向量a,b所在的直線為異面直線,則向量a,b一定不共面; ③若三個(gè)向量a,b,c兩兩共面,則向量a,b,c,共面; ④已知空間的三個(gè)向量a,b,c,則對(duì)于空間的任意一個(gè)向量p總存在實(shí)數(shù)x,y,z使得p=xa+yb+zc. 其中正確命題的個(gè)數(shù)是 (  ). A.0 B.1 C.2 D.3 解析 a與b共線,a,b所在直線也可能重合,故①不正確

2、;根據(jù)自由向量的意義知,空間任兩向量a,b都共面,故②錯(cuò)誤;三個(gè)向量a,b,c中任兩個(gè)一定共面,但它們?nèi)齻€(gè)卻不一定共面,故③不正確;只有當(dāng)a,b,c不共面時(shí),空間任意一向量p才能表示為p=xa+yb+zc,故④不正確,綜上可知四個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)為0,故選A. 答案 A 2.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),滿足條件(c-a)·(2b)=-2,則x= (  ). A.-4 B.-2 C.4 D.2 解析 ∵a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1), ∴c-a=(0,0,1-x)

3、,2b=(2,4,2). ∴(c-a)·(2b)=2(1-x)=-2,∴x=2. 答案 D 3.若{a,b,c}為空間的一組基底,則下列各項(xiàng)中,能構(gòu)成基底的一組向量是(  ). A.{a,a+b,a-b} B.{b,a+b,a-b} C.{c,a+b,a-b} D.{a+b,a-b,a+2b} 解析 若c、a+b、a-b共面,則c=λ(a+b)+m(a-b)=(λ+m)a+(λ-m)b,則a、b、c為共面向量,此與{a,b,c}為空間向量的一組基底矛盾,故c,a+b,a-b可構(gòu)成空間向量的一組基底. 答案 C 4.如圖所示,已知空間四邊形OABC,OB=OC

4、,且∠AOB=∠AOC=,則cos〈,〉的值為 (  ). A.0      B. C.      D. 解析 設(shè)=a,=b,=c, 由已知條件〈a,b〉=〈a,c〉=,且|b|=|c|, ·=a·(c-b)=a·c-a·b=|a||c|-|a||b|=0,∴cos〈,〉=0. 答案 A 二、填空題(每小題5分,共10分) 5.在下列條件中,使M與A、B、C一定共面的是________. ①=2--;②=++; ③++=0;④+++=0; 解析 ∵++=0,∴=--,則、、為共面向量,即M、A、B、C四點(diǎn)共面. 答案?、? 6.在空間四邊形ABC

5、D中,·+·+·=________. 解析 如圖,設(shè)=a,=b,=c, ·+·+·=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=0. 答案 0 三、解答題(共25分) 7.(12分)已知A、B、C三點(diǎn)不共線,對(duì)平面ABC外的任一點(diǎn)O,若點(diǎn)M滿足=(++). (1)判斷、、三個(gè)向量是否共面; (2)判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi). 解 (1)由已知++=3 , ∴-=(-)+(-), 即=+=--, ∴,,共面. (2)由(1)知,,,共面且基線過同一點(diǎn)M, ∴四點(diǎn)M,A,B,C共面,從而點(diǎn)M在平面ABC內(nèi). 8.(13分)如右圖,在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1

6、C1D1中,G為△BC1D的重心, (1)試證:A1、G、C三點(diǎn)共線; (2)試證:A1C⊥平面BC1D; (3)求點(diǎn)C到平面BC1D的距離. (1)證明 =++=++, 可以證明:=(++)=, ∴∥,即A1、G、C三點(diǎn)共線. (2)證明 設(shè)=a,=b,=c,則|a|=|b|=|c|=a, 且a·b=b·c=c·a=0, ∵=a+b+c,=c-a,∴·=(a+b+c)·(c-a)=c2-a2=0,∴⊥,即CA1⊥BC1,同理可證:CA1⊥BD,因此A1C⊥平面BC1D. (3)解 ∵=a+b+c,∴2=a2+b2+c2=3a2, 即||=a,因此||=a. 即C到平面

7、BC1D的距離為a. 一、選擇題(每小題5分,共10分) 1.(xx·海淀月考)以下四個(gè)命題中正確的是 (  ). A.空間的任何一個(gè)向量都可用其他三個(gè)向量表示 B.若{a,b,c}為空間向量的一組基底,則{a+b,b+c,c+a}構(gòu)成空間向 量的另一組基底 C.△ABC為直角三角形的充要條件是·=0 D.任何三個(gè)不共線的向量都可構(gòu)成空間向量的一組基底 解析 若a+b、b+c、c+a為共面向量,則a+b=λ(b+c)+μ(c+a),(1-μ)a=(λ-1)b+(λ+μ)c,λ,μ不可能同時(shí)為1,設(shè)μ≠1,則a=b+c,則a、b、c為共面向量,此與{a,

8、b,c}為空間向量基底矛盾. 答案 B 2.如圖所示,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,M為A1C1與B1D1的交點(diǎn).若=a,=b,=c,則下列向量中與相等的向量是 (  ). A.-a+b+c B.a+b+c C.-a-b+c D.a-b+c 解析 =+=+(-) =c+(b-a)=-a+b+c. 答案 A 二、填空題(每小題5分,共10分) 3.已知在一個(gè)60°的二面角的棱上,如圖有兩個(gè)點(diǎn)A,B,AC,BD分別是在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)垂直于AB的線段,且AB=4 cm,AC=6 cm,BD=8 cm,則CD的長(zhǎng)為________. 解

9、析 設(shè)=a,=b,=c, 由已知條件|a|=8,|b|=4,|c|=6, 〈a,b〉=90°,〈b,c〉=90°,〈a,c〉=60° ||2=|++|2=|-c+b+a|2 =a2+b2+c2+2a·b-2a·c-2b·c=68, 則||=2. 答案 2 cm 4.如圖,空間四邊形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,則OA與BC所成角的余弦值等于________. 解析 設(shè)=a,=b,=c. OA與BC所成的角為θ, ·=a(c-b)=a·c-a·b=a·(a+)-a·(a+)=a2+a·-a2-a·=24-16. ∴c

10、os θ===. 答案  三、解答題(共25分) 5.(12分)如圖,已知M、N分別為四面體ABCD的面BCD與面ACD的重心,且G為AM上一點(diǎn),且GM∶GA=1∶3.求證:B、G、N三點(diǎn)共線. 證明 設(shè)=a,=b,=c,則 =+=+ =-a+(a+b+c)=-a+b+c, =+=+(+) =-a+b+c=. ∴∥,即B、G、N三點(diǎn)共線. 6.(13分)如圖所示,已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1,點(diǎn)E,F(xiàn),G分別是AB、AD、CD的中點(diǎn),計(jì)算: (1)·;(2)·;(3)EG的長(zhǎng); (4)異面直線AG與CE所成角的余弦值. 解 設(shè)=a,=b,=c.

11、則|a|=|b|=|c|=1,〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°, (1)==c-a,=-a,=b-c, ·=·(-a)=a2-a·c=, (2)·=(c-a)·(b-c) =(b·c-a·b-c2+a·c)=-; (3)=++=a+b-a+c-b =-a+b+c, ||2=a2+b2+c2-a·b+b·c-c·a=,則||=. (4)=b+c,=+=-b+a, cos〈,〉==-, 由于異面直線所成角的范圍是(0°,90°], 所以異面直線AG與CE所成角的余弦值為. 特別提醒:教師配贈(zèng)習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設(shè)計(jì)·高考總復(fù)習(xí)》光盤中內(nèi)容.

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