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1、2022年高二數(shù)學(xué) 9.2空間的平行直線與異面直線(第三課時(shí))大綱人教版必修 ●教學(xué)目標(biāo) (一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 1.異面直線的畫(huà)法. 2.異面直線所成角的定義、范圍. 3.異面直線的公垂線的定義. 4.異面直線的距離的定義. （二）能力訓(xùn)練要求 1.會(huì)用圖形表示兩條直線異面. 2.理解并掌握異面直線所成角的定義,熟記異面直線所成角的范圍. 3.會(huì)用平移轉(zhuǎn)換法求異面直線所成的角. 4.理解異面直線公垂線的定義. 5.掌握異面直線間距離的概念. 6.會(huì)求已給出公垂線的兩異面直線間的距離. 7.培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力,分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力以及邏輯推理能力. 8.使學(xué)生初

2、步掌握將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想. （三）德育滲透目標(biāo) 通過(guò)本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生不斷探索發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的精神,滲透事物的相互轉(zhuǎn)化和理論聯(lián)系實(shí)際的辯證唯物主義觀點(diǎn). ●教學(xué)重點(diǎn) 1.異面直線所成角的定義、范圍、計(jì)算. 2.異面直線間距離的定義與計(jì)算. ●教學(xué)難點(diǎn) 1.異面直線所成角的計(jì)算. 2.異面直線間距離的計(jì)算. ●教學(xué)方法 講授法 本節(jié)課概念較多,角與距離的計(jì)算又是本節(jié)課的難點(diǎn),通過(guò)教師的講授,幫助學(xué)生準(zhǔn)確掌握定義,啟示學(xué)生掌握計(jì)算方法是突破難點(diǎn)、突出重點(diǎn)的關(guān)鍵所在. ●教具準(zhǔn)備 投影片一張. 課本P15圖9—17（記作9.2.3 A）. ●教學(xué)過(guò)

3、程 Ⅰ.課題導(dǎo)入 ［師］前面我們學(xué)習(xí)的空間兩條直線的位置關(guān)系和平行公理與等角定理、平行公理與等角定理及其推論是平行直線中的有關(guān)內(nèi)容,今天我們來(lái)研究異面直線中的有關(guān)內(nèi)容（板書(shū)課題）. Ⅱ.講授新課 3.異面直線 ［師］前面我們學(xué)習(xí)空間兩條直線的位置關(guān)系時(shí),討論了異面直線,并且明確了異面直線的特征是不同在任何一個(gè)平面內(nèi)或既不相交又不平行的兩條直線.畫(huà)圖表示兩條直線異面時(shí),怎樣顯示它們不共面的特點(diǎn)呢？常用的方法有下列幾種： 這三種表示方法有一個(gè)共同的特點(diǎn),就是用平面來(lái)襯托,離開(kāi)平面的襯托,不同在任何一個(gè)平面的特征則難以體現(xiàn).請(qǐng)同學(xué)們注意： 這樣表示a、b異面正確嗎？ ［生］不

4、正確.直觀上看aα,bβ,似乎分別在不同的平面內(nèi),但從圖形上可看出,a、b有與兩平面α、β的交線都平行的可能,這樣a與b就平行,它們完全有可能在新的平面γ內(nèi),所以這樣畫(huà)容易給人造成誤解. ［師］好！畫(huà)異面直線時(shí),一定要把其特征清楚地顯現(xiàn)出來(lái),不能使人產(chǎn)生歧義. ［師］如圖（1）,直線a、b是異面直線,經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O,作直線a′,b′,使a′∥a、b′∥b（邊記邊作）,我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角.據(jù)此,我們給出異面直線所成角的定義（板書(shū)）. 定義：過(guò)空間任意一點(diǎn)O,與異面直線a和b分別平行的直線所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角.

5、［師］由于點(diǎn)O是任意的,大家說(shuō)這樣作出的角有多少個(gè)？ ［生］無(wú)數(shù)個(gè). ［師］這無(wú)數(shù)個(gè)銳角（或直角）的大小有什么關(guān)系？ （學(xué)生中沒(méi)有人馬上回答,似乎還存在著什么困惑） ［師］把我們得到角的方法,用我們前面學(xué)過(guò)的知識(shí)分析一下. （生恍然大悟,不是不會(huì)答大小有什么關(guān)系,而是一時(shí)沒(méi)有弄明白為什么存在那樣的關(guān)系） ［生］這無(wú)數(shù)個(gè)銳角（或直角）相等. ［師］為什么？ ［生］這無(wú)數(shù)個(gè)銳角（或直角）中,每個(gè)角的兩邊都分別平行于a、b,據(jù)平行公理,知這無(wú)數(shù)個(gè)銳角（或直角）每個(gè)角的兩邊都分別平行,依據(jù)等角定理的推論,這無(wú)數(shù)個(gè)銳角（或直角）相等. ［師］很好！通過(guò)上面的討論,再認(rèn)真分析定義,我們可

6、以得出如下的結(jié)論： ①兩條異面直線所成角的大小,是由這兩條異面直線的相互位置決定的,與點(diǎn)O的位置選取無(wú)關(guān)； ②兩條異面直線所成的角θ∈(0,］; ③因?yàn)辄c(diǎn)O可以任意選取,這就給我們找出兩條異面直線所成的角帶來(lái)了方便,具體運(yùn)用時(shí),為了簡(jiǎn)便,我們可以把點(diǎn)O選在兩條異面直線的某一條上； ④找兩條異面直線所成的角,要作平行移動(dòng)（作平行線）,把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角； ⑤當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí),我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直,異面直線a和b互相垂直,也記作a⊥b; ⑥以后我們說(shuō)兩條直線互相垂直,這兩條直線可能是相交的,也可能是不相交的,既有共面垂直,也有異面垂

7、直這樣兩種情形. （上面每一條都要摘要作出板書(shū)） ［師］為了加深對(duì)這一概念的理解與認(rèn)識(shí),請(qǐng)同學(xué)們舉出日常生活中見(jiàn)到過(guò)的兩條異面直線所成角的實(shí)例. ［生］課本P14圖9－16中的六角螺母的棱AB和CD所在的直線成的角,或機(jī)械部件蝸輪和蝸桿的軸線所成的角,都是異面直線所成的角. ［生］教室頂面與前墻面的交線和地面與側(cè)面的交線所成的角也是異面直線所成的角. ［生］正方體前面的左側(cè)棱與后面的對(duì)角線所成的角也是異面直線所成的角. ［師］好.同學(xué)們?cè)賮?lái)考慮這樣的問(wèn)題：空間三條直線a、b、c,若a⊥c、b⊥c,則a、b是怎樣的位置關(guān)系? ［生］a、b平行. ［師］還有嗎？請(qǐng)同學(xué)拿出竹簽,每?jī)?/p>

8、人一組,對(duì)照正方體模型實(shí)際擺一擺. （同學(xué)動(dòng)手?jǐn)[弄,討論） ［生］a、b可能相交,也可能異面. ［師］好！在同一平面內(nèi),垂直于同一條直線的兩直線平行.在空間,垂直于同一條直線的兩直線可能是平行直線,也可能是相交直線,還可能是異面直線.當(dāng)a、b異面時(shí),同學(xué)們?cè)贁[擺看,與a、b都垂直的直線有幾條？與a、b都相交的直線有幾條？與a、b既垂直又相交的直線有幾條？ （生擺弄以后回答） ［生］與a、b都垂直的直線有無(wú)數(shù)條,與a、b都相交的直線也有無(wú)數(shù)條,與a、b既垂直又相交的直線有且只有一條. ［師］好.我們把與兩條異面直線既垂直又相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線（板書(shū)）. 注意：從定義可

9、看出,兩條異面直線的公垂線與兩條異面直線既垂直又相交,“垂直”“相交”兩條缺一不可（板書(shū)）.與兩條異面直線都垂直的直線不能稱為公垂線,與兩條異面直線都相交的直線也不能稱為公垂線,對(duì)于兩條異面直線,它們的公垂線有且只有一條. ［師］兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段（公垂線段）的長(zhǎng)度,叫做兩條異面直線的距離（板書(shū)）. 對(duì)于確定的兩條異面直線,它們所成的角是確定的,它們的公垂線是確定的,它們的距離也是完全確定的. ［師］下面我們來(lái)看個(gè)例子.（打出投影片9.2.3 A） 設(shè)圖中正方體的棱長(zhǎng)為a. （1）求直線BA′和CC′所成角的大小； （2）求異面直線BC和AA′的距離.

10、 注意：求異面直線所成角的大小,關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn),通過(guò)平移將兩異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角,成為平面問(wèn)題去求解；求兩異面直線的距離,就是求兩異面直線的公垂線段的長(zhǎng). 分析：因?yàn)椤?所以∠就是異面直線與所成的角.因?yàn)锳A′與AB垂直相交,BC與AB也垂直相交,所以AB是異面直線AA′和BC的公垂線,AB的長(zhǎng)就是異面直線AA′與BC的距離. 解：（1）∵CC′∥BB′,∴BB′和BA′所成的銳角, 即∠就是異面直線BA′和CC′所成的角（解題過(guò)程中,這句表述不能少）. ∵∠=45°,∴BA′與CC′所成的角是45°. （2） AB⊥AA′ AA′∩AB=A AB⊥BC

11、 AB∩BC=B AB是AA′和BC的公垂線段 AB=a BC和AA′的距離是a. Ⅲ.課堂練習(xí) 課本P16練習(xí)1,2,3,4.P17習(xí)題9.2 6. Ⅳ.課時(shí)小結(jié) 本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了兩異面直線所成角的定義、范圍,兩異面直線的公垂線的定義,兩異面直線間的距離.概念比較多,同學(xué)們一定要抓住定義中本質(zhì)的東西深刻領(lǐng)會(huì),認(rèn)真掌握.兩異面直線所成的角,兩異面直線間的距離,這兩部分內(nèi)容,在空間圖形中的位置是相當(dāng)重要的,在高考中也是經(jīng)常涉及到的,同學(xué)們一定要予以高度重視,對(duì)于角與距離的求法,要多練習(xí),才能掌握好,相信我們每個(gè)同學(xué)都會(huì)學(xué)得很好. Ⅴ.課后作業(yè) 課本P18習(xí)題9.2 9,10. ●板書(shū)設(shè)計(jì) 9.2.3 空間直線（三） 異面直線的畫(huà)法 異面直線所成角的定義 注意：① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 兩異面直線公垂線的定義 注意 兩異面直線的距離定義 例 練習(xí) 小結(jié)