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1、2022年高二數(shù)學(xué) 9.2空間的平行直線與異面直線(第一課時)大綱人教版必修 ●課時安排 5課時 ●從容說課 本節(jié)通過學(xué)習(xí)空間直線的平行、相交、異面的位置關(guān)系以及每種位置關(guān)系的特征,為判斷兩直線位置關(guān)系提供了理論依據(jù).平行公理揭示了平行的傳遞性;等角定理及其推論解決了角在空間中的平移問題,在平移變換下,角的大小不變,它是兩條異面直線所成角的依據(jù),也是以后學(xué)習(xí)研究二面角及與角有關(guān)內(nèi)容的理論基礎(chǔ),它提供了一個研究角之間關(guān)系的重要方法,即平移法;兩條異面直線所成的角以及兩條異面直線間距離的求法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中化難為易、化繁為簡、化生疏為熟悉、化空間問題為平面問題的轉(zhuǎn)化思想. 學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)是平

2、行公理及其應(yīng)用和兩異面直線所成角及距離的求法;難點(diǎn)是等角定理證明的掌握與應(yīng)用和兩異面直線所成角及距離求法因此教學(xué)中要提醒學(xué)生正確理解等角定理中命題的條件,即兩個角的兩邊分別平行且這兩個角的方向相同;因兩條異面直線不相交,但有所成的角,這對于初學(xué)立體幾何的學(xué)生是難以理解的,所以在教學(xué)中要幫助學(xué)生理解清楚兩條異面直線所成角的概念. ●課題 9.2.1 空間直線（一） ●教學(xué)目標(biāo) (一)教學(xué)知識點(diǎn) 1.空間兩條直線的位置關(guān)系. 2.異面直線的概念. 3.公理4. （二）能力訓(xùn)練要求 1.了解空間兩條直線的位置關(guān)系. 2.理解異面直線的概念,培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力. 3.理解并

3、掌握公理4,并能應(yīng)用之證明簡單的幾何問題. （三）德育滲透目標(biāo) 通過理解、欣賞、運(yùn)用空間直線各具特點(diǎn)的豐富多姿的不同位置關(guān)系,感悟數(shù)學(xué)世界的奇異美、簡潔美、和諧美,培養(yǎng)學(xué)生的美學(xué)意識. ●教學(xué)重點(diǎn) 1.異面直線的概念. 2.公理4. ●教學(xué)難點(diǎn) 異面直線的概念. ●教學(xué)方法 講授法 概念的教學(xué)是基礎(chǔ)的非常重要的教學(xué),異面直線的概念是學(xué)生從平面到空間接觸的第一個概念,教師清清楚楚地給學(xué)生講明白概念，是學(xué)生日后主動獲取知識的前提. ●教具準(zhǔn)備 1.立體幾何模型：正方體模型或長方體模型； 2.投影片三張. 第一張：課本P10圖9—9（記作9.2.1 A） 第二張：課本P

4、11例1及圖9—10（記作9.2.1 B） 第三張：本課時教案例2及圖（記作9.2.1 C） ●教學(xué)過程 Ⅰ.課題導(dǎo)入 ［師］前面我們學(xué)習(xí)了平面的基本性質(zhì)——三個公理及其推論.討論了公理及其推論的作用，并且對性質(zhì)公理及其推論的簡單應(yīng)用進(jìn)行了研究——共面問題的證明、點(diǎn)共線問題的證明、線共點(diǎn)問題的證明,通過具體問題與平面幾何知識對照、類比,揭示了三類問題的證明思路、方法與步驟,這些內(nèi)容是立體幾何的基礎(chǔ),我們大家應(yīng)予以足夠的重視.從這節(jié)課開始,我們來研究空間直線（板書課題）. Ⅱ.講授新課 ［師］我們先來看空間兩條直線的位置關(guān)系. 1.空間兩條直線的位置關(guān)系（板書） ［師］初中幾何里

5、已經(jīng)介紹了空間的兩條直線有以下三種位置關(guān)系：（板書） ①相交直線——有且僅有一個公共點(diǎn); ②平行直線——在同一平面內(nèi),沒有公共點(diǎn); ③異面直線——不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點(diǎn). 對于相交直線和平行直線,我們在初中學(xué)習(xí)直線時,就清楚這兩種位置關(guān)系,同學(xué)們比較熟悉.它們的特征,用有無公共點(diǎn)就可以描述清楚,隨著知識范圍的擴(kuò)大,僅用有無公共點(diǎn),還能夠說清楚兩條直線的位置關(guān)系嗎？ ［生］不能.有公共點(diǎn)的兩條直線一定相交,而沒有公共點(diǎn)的兩條直線不一定平行（學(xué)生已經(jīng)進(jìn)行了預(yù)習(xí),知道還有異面的情形）. ［師］好.既然用有無公共點(diǎn)描述兩條直線的位置關(guān)系的特征還不夠,那么再補(bǔ)充些特征就非常必要了.

6、因此,在對空間兩直線的位置關(guān)系的特征描述時,又加上了在同一平面內(nèi)和不同在任何一個平面內(nèi).同學(xué)們考慮一下,若僅用在不在同一平面內(nèi)來描述兩條直線的位置關(guān)系行不行呢？ ［生］不行.不在同一平面內(nèi)的兩條直線是異面直線,而在同一平面內(nèi)的兩條直線究竟是平行直線還是相交直線仍不能確定. ［師］不在同一平面內(nèi)的兩直線是異面直線嗎？那為什么異面直線的特征要表述為“不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點(diǎn)”呢？大家怎樣理解“不同在任何一個平面內(nèi)”這句話的含義呢？ ［生］不同在任何一個平面就是不同在一個平面. ［師］“任何”兩字多余了嗎？請再仔細(xì)想一想,（大家都在認(rèn)真思考）（打出投影片9.2.1 A）同學(xué)們看圖中的

7、AA1與CC1,它們在同一平面嗎？ （有的說在,有的說不在,說在的說不出為什么,說不在的是從直觀上看的） ［師］請同學(xué)們注意,我們用刀沿對角線A1C1垂直地切下來,將正方體切成兩塊,大家看AA1、CC1是不是都在切面上？ ［生］是.AA1與CC1都在切面上. ［師］判定兩條直線的位置關(guān)系,不僅要從直觀上看,更重要的要從理論上看,事實(shí)上AA1與CC1是平行的,一會兒我們再作討論.所以我們說“不同在任何一個平面”中的“任何”兩字不是多余的.它所表達(dá)的意思是直觀上不同在一個平面,理論上也不同在一個平面,也就是說無論如何“不會同在任何一個平面”（繼續(xù)看圖）.AA1與BC是無論如何不會同在一個平

8、面的,它們是異面直線,AA1與CD也是無論如何不會同在一個平面的,它們也是異面直線.你還能在圖中找到一些異面直線嗎？ ［生］AA1與B1C1是異面直線,AA1與C1D1是異面直線,BB1與C1D1是異面直線,BB1與A1D1是異面直線,BB1與CD是異面直線…… ［師］好.只要大家抓住了異面直線“不同在任何一個平面內(nèi)”的特征,對異面直線的理解就深刻了,照大家的分析,異面直線的特征“沒有公共點(diǎn)”可以劃去（劃掉板書上的“沒有公共點(diǎn)”）,或者將其特征說成“既不相交,也不平行”（加寫在特征處）. 兩條直線相交或平行時,確定一個平面,但三條直線交于一點(diǎn)或兩兩平行時,它們不一定共面.例如圖9.2.1

9、中,直線AA1、AB、AD三直線相交于點(diǎn)A,它們不共面.直線AA1、BB1、CC1兩兩平行,它們也不共面. 下面我們分別對平行直線、異面直線來進(jìn)行研究. 2.平行直線（板書） ［師］在初中幾何里我們已經(jīng)知道,在同一個平面內(nèi),如果兩條直線都和第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行.對于空間的三條直線,我們說這樣的規(guī)律也是成立的,我們把這個規(guī)律作為本章的第四個公理.（既然作為公理提出,干脆直接公認(rèn)它好了,不要提出問題之后說“可以發(fā)現(xiàn),答案是肯定的”.怎樣發(fā)現(xiàn)的呢？教師給學(xué)生說不清,教師說不清,又怎樣讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)呢？我認(rèn)為,既然是公理,直接公認(rèn)這個規(guī)律,比說可以發(fā)現(xiàn)還好！） 公理4 平行同

10、一條直線的兩條直線互相平行. 用符號語言表示如下：設(shè)a、b、c是三條直線,. a、b、c三條直線兩兩平行,可以記為a∥b∥c. 這個公理實(shí)質(zhì)上就是說平行具有傳遞性,在平面內(nèi)、在空間,這個性質(zhì)都是不變的. 下面我們來看一個例子. （打出投影片9.2.1 B） ［例1］已知四邊形ABCD是空間四邊形,E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn),F、G分別是邊CB、CD上的點(diǎn),且.求證：四邊形EFGH有一組對邊平行但不相等. 分析：要證明四邊形EFGH有一組對邊平行,先要考慮哪一組對邊有平行的可能,由于E、H分別是AB、AD的中點(diǎn),F、G實(shí)質(zhì)上分別是CB、CD的三等分點(diǎn),連結(jié)BD,問題就變得明了啦

11、. 證明：連結(jié)BD, ∵E、H分別是AB、AD的中點(diǎn), ∴EH是△ABD的中位線. ∴EH∥BD,EH=BD. 又在△CBD中,, ∴FG∥BD,FG=BD. 根據(jù)公理4,EH∥FG, 又FG＞EH, ∴四邊形EFGH的一組對邊平行但不相等. （打出投影片9.2.1 C） ［例2］如圖,P是△ABC所在平面外一點(diǎn),點(diǎn)D、E分別是△PAB和△PBC的重心.求證：DE∥AC,DE=AC. 分析：由點(diǎn)D、E分別是△PAB、△PBC的重心,想到連結(jié)PD、PE,并延長與AB和BC分別相交,從而構(gòu)造三角形,充分利用重心的性質(zhì)及三角形中位線定理. 證明：連結(jié)PD、PE并延長

12、分別交AB、BC于點(diǎn)M、N, ∵點(diǎn)D、E分別是△PAB、△PBC的重心, ∴M、N分別是AB、BC的中點(diǎn). 連結(jié)MN,則MN∥AC,且MN=AC. ① 在△PMN中,∵, ∴DE∥MN,且DE=MN. ② 由①、②根據(jù)公理4,得 DE∥AC,且DE=MN=×AC=AC. 注意：今天所討論的兩個例題,雖然都是空間問題,但從分析與證明的過程可以看出,我們都是設(shè)法化為平面問題來解決的.這是一條重要的解題思路,同學(xué)們要細(xì)心體會,切實(shí)掌握這種轉(zhuǎn)化思想. Ⅲ.課堂練習(xí) 課本P13練習(xí)1、2.P16習(xí)題9.2 1.①②③,2. Ⅳ.課時小

13、結(jié) 本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了空間兩條直線的位置關(guān)系——相交、平行、異面,并且研究了各種位置關(guān)系的特征：相交直線有且僅有一個公共點(diǎn)；平行直線在同一平面內(nèi),沒有公共點(diǎn)；異面直線不同在任何一個平面內(nèi),或者說異面直線是既不相交又不平行的兩條直線.同學(xué)們一定要把這些特征記下來,它是判定兩條直線位置關(guān)系的依據(jù).之后我們又研究了平行公理,即平行于同一條直線的兩條直線互相平行,這是平行的傳遞性,與平面幾何中是一致的,也就是說平行的傳遞性在空間仍然是成立的.至于知識的應(yīng)用,關(guān)鍵是要學(xué)會分析問題,掌握轉(zhuǎn)化的思想方法,把空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題來解決. Ⅴ.課后作業(yè) （一）課本P17習(xí)題9.2 3,4,5. （二）預(yù)習(xí)課本P12 ●板書設(shè)計 9.2.1 空間直線（一） 1.空間兩條直線的位置關(guān)系 相交直線 平行直線 異面直線 2.平行直線 公理4 例1 例2 注意 練習(xí) 小結(jié)