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1、2022年高二數(shù)學上學期期中試題 理（奧賽班）
本試卷分第I卷和第II卷兩部分.考生作答時，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無效.
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.請把答案涂在答題卡的相應位置.
1.若那么下列命題中正確的是( ).
A. B. C. D.
2.關于的不等式的解集是,則等于( ).
A.24 B.6 C.14 D.
3.當時,不等式恒成立,則的取值范圍是( ).
A. B. C. D.
4.若實數(shù)滿足不等式組則的最小值是( ).
A.
2、13 B.15 C.20 D.28
5.命題是的圖象的一條對稱軸,命題是的最小正周期,下列命題:①②③④其中真命題的有( ).
A.0個 B.1個 C.2個 D.3個
6.若拋物線上一點到準線的距離等于它到頂點的距離,則點的坐標為( ).
A. B. C. D.
7.過雙曲線的一個焦點,作垂直于實軸的弦,是另一個焦點,若,則雙曲線的離心率等于( ).
A. B. C. D.
8.若直線與橢圓相交于兩點,當變化時, 的最大值為( ).
A. 2 B. C. D.
9.若存在實數(shù)使成立,則實數(shù)的
3、取值范圍是( ).
A. B. C. D.
10.已知正數(shù)滿足,則的最小值為( ).
A.27 B.18 C.36 D.54
11.已知是橢圓的兩個焦點, 是橢圓上任一點,過一焦點引的外角平分線的垂線,垂足為,則的軌跡為( ).
A橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓
12.設正實數(shù)滿足,則當取得最大值時, 的最大值為( ).
A.0 B.1 C. D.3
第II卷(非選擇題,共90分)
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.
13.不等式的解集為 .
14.已知函數(shù),在時
4、取最小值，則 .
15.已知點是拋物線上一點，設點到此拋物線的準線的距離為，到直線的距離為，則的最小值為 .
16.已知過點的直線L與雙曲線只有一個公共點，則直線L的斜率k= .
三、解答題:本大題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.(本題滿分11分)在直角坐標系中，直線L的參數(shù)方程為在極坐標系（與直角坐標系長度單位相同，且以O為極點，以軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為.
(1)求圓C的直角坐標方程；（2）設圓C與直線L交于點A，B,若點P的坐標為，求的值.
18. (本題滿分12分)正方形所在平
5、面與四邊形所在平面互相垂直，為等腰直角三角形,
（1）求證：;
（2）設線段的中點為，在直線上是否存在一點,使得？若存在，請指出點的位置，并證明你的結論；若不存在，請說明理由；
（3）求二面角的余弦值.
19.(本題滿分12分)設過點的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點,點與點關于軸對稱,O為坐標原點,若,且,求點的軌跡方程.
20.(本題滿分12分)已知,對于值域內(nèi)的所有實數(shù),使不等式恒成立,求的取值范圍.
21.(本題滿分12分)設是圓上的動點,點是在軸上的投影, 為上一點,且.
(1)當在圓上運動時,求點的軌跡的方程;
(2)求過點(3,0)且斜
6、率為的直線被曲線所截得的線段的長度.
22.(本題滿分12分) 是拋物線上的一點,動弦分別交軸于兩點,且.
(1)若為定點,證明直線的斜率為定值;
(2)若為動點,且,求的重心的軌跡方程.
參考答案
一、選擇題DACAC.BCCDB,DB
二、填空題
三、解答題17.解：（1）由題意知1，b為方程的兩根
即
（2）不等式等價于
17（奧賽）解（1）
（2）將L的參數(shù)方程代入圓C得
化簡得
由t的幾何意義得=
18（奧賽）提示建立空間直角坐標系（2）M為線段AE的中點（3）
18.解：
因此所求的充要條件是，一個必要而不充分條件是
19.解由已知，
由得
20.解：對于值域內(nèi)的所有實數(shù),
不等式恒成立,
即
21.解：
22解：設
（2）
由（1）得，
2022年高二數(shù)學上學期期中試題 理（奧賽班）
