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2022年高考數(shù)學(xué) 中等生百日捷進(jìn)提升系列 專題09 直線和圓的方程(含解析)

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1、2022年高考數(shù)學(xué) 中等生百日捷進(jìn)提升系列 專題09 直線和圓的方程(含解析) 【背一背重點(diǎn)知識(shí)】 1.兩直線平行與垂直 (1)兩條直線平行 對(duì)于兩條不重合的直線,其斜率分別為,則有,特別地,當(dāng)直線的斜率都不存在時(shí),與的關(guān)系為平行. (2)兩條直線垂直 ①如果兩條直線的斜率存在,設(shè)為,則. ②如果中有一條直線的斜率不存在,另一條直線的斜率為0時(shí),與的關(guān)系為垂直. 2.兩直線的交點(diǎn) 直線和的公共點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組的解一一對(duì)應(yīng). 相交方程組有一個(gè)解,交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解; 平行方程組無(wú)解; 重合方程組有無(wú)數(shù)解. 3.距離公式 (1)兩點(diǎn)間的距離公式 平面上任意兩點(diǎn)間的

2、距離公式為. 特別地,原點(diǎn)O(0,0)與任一點(diǎn)P(x,y)的距離. (2)點(diǎn)到直線的距離公式 平面上任意一點(diǎn)到直線(A,B不同時(shí)為0)的距離為. (3)兩條平行線間的距離公式 一般地,兩條平行直線,(其中A,B不同時(shí)為0,且)間的距離. 【講一講提高技能】 1. 必備技能: 1.解決兩直線的位置關(guān)系問(wèn)題要根據(jù)已知直線方程的形式靈活選用相應(yīng)的條件,顯然該題中直接利用一般式方程對(duì)應(yīng)的條件更為簡(jiǎn)潔.另外利用直線的斜率和截距討論時(shí),不要忘記斜率不存在時(shí)的討論. 2.可將方程化成斜截式,利用斜率和截距進(jìn)行分析;也可直接利用一般式套用兩直線垂直與平行的條件求解.一般式方程化成斜截式方程時(shí)

3、,要注意直線的斜率是否存在(即的系數(shù)是否為0). 3.求兩條平行線間的距離有兩種思路: (1)利用“化歸”法將兩條平行線的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離. (2)直接應(yīng)用兩平行直線之間的距離公式. 4.涉及兩直線的交點(diǎn)問(wèn)題,往往需借助于圖形,應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想,探索解題思路,這也是解析幾何中分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的重要特征. 例1若直線與直線互相垂直,那么的值等于 . 分析:兩直線垂直的充要條件,列出關(guān)系式,解出即可. 【答案】 例2已知點(diǎn)A(1,3),B(3,1),C(-1,0),則三角形ABC的面積為 . 分析:由兩點(diǎn)間距離公式求出的長(zhǎng)

4、,并寫出直線的方程,由點(diǎn)到直線距離求出高,從而可得三角形的面積. 【答案】 【解析】設(shè)邊上的高為,則..邊上的高就是點(diǎn)到的距離.邊所在直線方程為:即.設(shè)點(diǎn)到的距離為,則,因此,. 【練一練提升能力】 1. 如果直線同時(shí)平行于直線,則的值為( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 2. 設(shè)入射光線沿直線 y=2x+1 射向直線 y=x, 則被y=x 反射后,反射光線所在的直線方程是( ) A.x+2y+3=0 B.x-2y+1=0 C.3x-2y+1=0 D.x

5、-2y-1=0 【答案】D 【解析】 試題分析:入射光線和反射光線關(guān)于直線y=x對(duì)稱,所以設(shè)入射光線上的任意兩個(gè)點(diǎn)(0,1),(1,3)其關(guān)于直線y=x對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1,0),(3,1)且這兩個(gè)點(diǎn)在反射光線上,由兩點(diǎn)式可求出反射光線所在的直線方程為 x-2y-1=0. 直線與圓的位置關(guān)系 【背一背重點(diǎn)知識(shí)】 1.直線與圓的位置關(guān)系 位置關(guān)系有三種:相離、相切、相交. 判斷直線與圓的位置關(guān)系常見(jiàn)的有兩種方法: (1)代數(shù)法: 判別式. (2)幾何法:利用圓心到直線的距離和圓半徑的大小關(guān)系:相交弦長(zhǎng)=,相切,相離. 【講一講提高技能】 必備技能:

6、 1.如下圖所示,涉及直線與圓相交及弦長(zhǎng)的題,都在中,利用勾股定理,得半徑弦長(zhǎng)及弦心距之間的關(guān)系式. 2.弦長(zhǎng)的計(jì)算:方法一、設(shè)圓的半徑為,圓心到直線的距離為,則弦長(zhǎng). 方法二、設(shè)直線的斜率為,直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為,則弦長(zhǎng). 例1 直線與圓的位置關(guān)系是( ) A.相交 B.相切 C.相離 D.無(wú)法確定 【答案】B 【解析】 例2圓截直線所得弦長(zhǎng)為(  ) A、  B、  C、1  D、5 分析:可利用圓的半徑,弦心距,弦的一半滿足勾股定理,利用點(diǎn)到直線距離求出弦心距,從而可解

7、. 【答案】A 【解析】將配方得:,所以圓心到直線的距離為,弦長(zhǎng)為,選A. 【練一練提升能力】 1. 已知圓C:(),有直線:,當(dāng)直線被圓C截得弦長(zhǎng)為時(shí),等于( ) A. B.2- C. D. 【答案】A 2. 由直線上的點(diǎn)向圓引切線,則切線長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_________. 【答案】 【解析】 試題分析:圓心,半徑,圓心到直線的距離為,由直線上的點(diǎn)向圓作的切中,切線長(zhǎng)的表達(dá)式為,因此,要使切線長(zhǎng)最短,應(yīng)有最小,即直線上的點(diǎn)到圓心的距離最小,即垂直于直線時(shí),,所以切線長(zhǎng)的最小值為.

8、 (一) 選擇題(12*5=60分) 1. 已知直線,則“”是“”的( ?。? A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】A 2. 如圖所示,已知A(4,0),B(0,4),從點(diǎn)P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上,最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點(diǎn),則光線所經(jīng)過(guò)的路程是(  ) A.2 B.6 C.3 D.2 【答案】A 【解析】由題意知點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為D(4,2),關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為C(-2,0),

9、則光線所經(jīng)過(guò)的路程為|CD|=2.故選A. 3. 已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,直線的方程為,若直線和圓有公共點(diǎn), 則實(shí)數(shù)的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 4. 直線與圓有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 試題分析:根據(jù)數(shù)形結(jié)合,直線過(guò)點(diǎn),如圖, 當(dāng)直線與圓有交點(diǎn)時(shí),所有的直線夾在兩條切線之間,軸上方的切線設(shè)為,下方的設(shè)為,設(shè)的傾斜角為,那么,,所有,顯然,所有實(shí)數(shù)的取值范圍是,故選A. 5. 已知點(diǎn),,,若線段和有

10、相同的垂直平分線,則點(diǎn)的坐標(biāo)是( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】A 6. 在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,則直線的方程為 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 試題分析:,所以,中點(diǎn)坐標(biāo)是,直線方程是,整理為,故選C. 7. 圓上的點(diǎn)到直線的距離最大為( ?。? A. B. C. D. 【答案】C 8. 已知直線過(guò)圓的圓心,且與直線垂直,則的方程是 ( ) A. B. C. D. 【答案

11、】D 【解析】由已知得,圓心為,所求直線的斜率為,由直線方程的斜截式得,,即,故選D. 9. 已知直線恒過(guò)定點(diǎn)A,點(diǎn)A也在直線上,其中均為正數(shù),則的最小值為( ) A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】D 【解析】 試題分析:變形為,所以過(guò)定點(diǎn),代入直線得 ,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,取得最小值8 10. 已知圓和兩點(diǎn),,若圓上存在點(diǎn),使得,則的最大值為( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由題意知,點(diǎn)P在以原點(diǎn)(0,0)為圓心,以m為半徑的圓上,又因?yàn)辄c(diǎn)P在已知圓上,

12、所以只要兩圓有交點(diǎn)即可,所以,故選B. 11. 設(shè)點(diǎn),若在圓上存在點(diǎn),使得,則的取值范圍是( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】A 12. 過(guò)點(diǎn)A(11,2)作圓的弦,其中弦長(zhǎng)為整數(shù)的共有( ) A.16條 B.17條 C.32條 D.34條 【答案】C 【解析】 試題分析:將化為,即該圓的圓心坐標(biāo)為,半徑為,且,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的弦的最大長(zhǎng)度為(當(dāng)弦過(guò)圓心時(shí)),最小弦長(zhǎng)為(當(dāng)弦與直線垂直時(shí)),所以其中弦長(zhǎng)為整數(shù)的可能是10(一條),(各兩條,共30條),26(一條),一共32條;故選C. (二) 選擇題(4

13、*5=20分) 13. 若直線與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn),則k的取值范圍是 . 【答案】 【解析】 14. 已知直線與圓心為的圓相交于兩點(diǎn),且,則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)________. 【答案】0或6 【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,所以圓的圓心在,半徑 又直線與圓交于兩點(diǎn),且,所以圓心到直線的距離,所以,,整理得:解得:或 所以答案應(yīng)填:0或6. 15. 已知是曲線的兩條互相平行的切線,則與的距離的最大值為_(kāi)____. 【答案】 【解析】因?yàn)?,故,即,從而得,故切線方程為,與,即與,由平行線間距離公式可得,,故. 16. 已知圓,直線.圓C上任意一點(diǎn)A到直線的距離小于2的概率為_(kāi)____. 【答案】 【解析】

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