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1、2022年高三數(shù)學第一輪復習單元講座 第07講 函數(shù)模型及其應用教案 新人教版 一．課標要求： 1．利用計算工具，比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)增長差異；結合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義； 2．收集一些社會生活中普遍使用的函數(shù)模型（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等）的實例，了解函數(shù)模型的廣泛應用。 二．命題走向 函數(shù)應用問題是高考的熱點，高考對應用題的考察即考小題又考大題，而且分值呈上升的趨勢。高考中重視對環(huán)境保護及數(shù)學課外的的綜合性應用題等的考察。出于“立意”和創(chuàng)設情景的需要，函數(shù)試題設置問題的角度和方式也不斷創(chuàng)新，重視函數(shù)思想的考察，加大函

2、數(shù)應用題、探索題、開放題和信息題的考察力度，從而使高考考題顯得新穎、生動和靈活。 預測xx年的高考，將再現(xiàn)其獨特的考察作用，而函數(shù)類應用題，是考察的重點，因而要認真準備應用題型、探索型和綜合題型，加大訓練力度，重視關于函數(shù)的數(shù)學建模問題，學會用數(shù)學和方法尋求規(guī)律找出解題策略。 （1）題型多以大題出現(xiàn)，以實際問題為背景，通過解決數(shù)學問題的過程，解釋問題； （2）題目涉及的函數(shù)多以基本初等函數(shù)為載體，通過它們的性質(zhì)（單調(diào)性、極值和最值等）來解釋生活現(xiàn)象，主要涉計經(jīng)濟、環(huán)保、能源、健康等社會現(xiàn)象。 三．要點精講 1．解決實際問題的解題過程 （1）對實際問題進行抽象概括：研究實際問題中量與

3、量之間的關系，確定變量之間的主、被動關系，并用x、y分別表示問題中的變量； （2）建立函數(shù)模型：將變量y表示為x的函數(shù)，在中學數(shù)學內(nèi)，我們建立的函數(shù)模型一般都是函數(shù)的解析式； （3）求解函數(shù)模型：根據(jù)實際問題所需要解決的目標及函數(shù)式的結構特點正確選擇函數(shù)知識求得函數(shù)模型的解，并還原為實際問題的解. 這些步驟用框圖表示： 實際問題 函數(shù)模型 實際問題的解 函數(shù)模型的解 抽象概括 還原說明 運用函數(shù)性質(zhì) 2．解決函數(shù)應用問題應著重培養(yǎng)下面一些能力： （1）閱讀理解、整理數(shù)據(jù)的能力：通過分析、畫圖、列表、歸類等方法，快速弄清數(shù)據(jù)之間的關系，

4、數(shù)據(jù)的單位等等； （2）建立函數(shù)模型的能力：關鍵是正確選擇自變量將問題的目標表示為這個變量的函數(shù)，建立函數(shù)的模型的過程主要是抓住某些量之間的相等關系列出函數(shù)式，注意不要忘記考察函數(shù)的定義域； （3）求解函數(shù)模型的能力：主要是研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的值域、最大（小）值，計算函數(shù)的特殊值等，注意發(fā)揮函數(shù)圖象的作用。 四．典例解析 題型1：正比例、反比例和一次函數(shù)型 例1．某地區(qū)1995年底沙漠面積為95萬公頃，為了解該地區(qū)沙漠面積的變化情況，進行了連續(xù)5年的觀測，并將每年年底的觀測結果記錄如下表。根據(jù)此表所給的信息進行預測：（1）如果不采取任何措施，那么到xx年底，該地區(qū)的沙漠面積將大

5、約變?yōu)槎嗌偃f公頃；（2）如果從xx年底后采取植樹造林等措施，每年改造0.6萬公頃沙漠，那么到哪一年年底該地區(qū)沙漠面積減少到90萬公頃？ ? 觀測時間 1996年底 1997年底 xx年底 xx年底 xx年底 該地區(qū)沙漠比原有面積增加數(shù)（萬公頃） 0.xx 0.4000 0.6001 0.7999 1.0001 ? 解析：（1）由表觀察知，沙漠面積增加數(shù)y與年份數(shù)x之間的關系圖象近似地為一次函數(shù)y=kx+b的圖象。 將x=1，y=0.2與x=2，y=0.4，代入y=kx+b， 求得k=0.2，b=0， 所以y=0.2x（x∈N）。 因為原有沙漠面積為95萬公

6、頃，則到xx年底沙漠面積大約為 95+0.5×15=98（萬公頃）。 （2）設從1996年算起，第x年年底該地區(qū)沙漠面積能減少到90萬公頃，由題意得 95+0.2x－0.6(x－5)=90， 解得x=20（年）。 故到xx年年底，該地區(qū)沙漠面積減少到90萬公頃。 點評：初中我們學習過的正比例、反比例和一元一次函數(shù)的定義和基本性質(zhì)，我們要牢固掌握。特別是題目中出現(xiàn)的“成正比例”、“成反比例”等條件要應用好。 例2．（xx安徽理21）（已知函數(shù)在R上有定義，對任何實數(shù)和任何實數(shù)，都有 （Ⅰ）證明； （Ⅱ）證明 其中和均為常數(shù)； 證明（Ⅰ）令，則，∵，∴。 （Ⅱ）①令，∵，∴，

7、則。 假設時，，則，而，∴，即成立。 ②令，∵，∴， 假設時，，則，而，∴，即成立?！喑闪?。 點評：該題應用了正比例函數(shù)的數(shù)字特征，從而使問題得到簡化。而不是一味的向函數(shù)求值方面靠攏。 題型2：二次函數(shù)型 例3．一輛中型客車的營運總利潤y（單位：萬元）與營運年數(shù)x（x∈N）的變化關系如表所示，則客車的運輸年數(shù)為（）時該客車的年平均利潤最大。 （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 x年 4 6 8 … （萬元） 7 11 7 … 解析：表中已給出了二次函數(shù)模型 ， 由表中數(shù)據(jù)知，二次函數(shù)的圖象上存在三點（4，7），（6，11），（8，7

8、），則 。 解得a=－1，b=12，c=-25， 即。 而取“=”的條件為， 即x=5，故選（B）。 點評：一元二次函數(shù)是高中數(shù)學函數(shù)中最重要的一個模型，解決此類問題要充分利用二次函數(shù)的結論和性質(zhì)，解決好實際問題。 例4．行駛中的汽車，在剎車后由于慣性的作用，要繼續(xù)向前滑行一段距離后才會停下，這段距離叫剎車距離。為測定某種型號汽車的剎車性能，對這種型號的汽車在國道公路上進行測試，測試所得數(shù)據(jù)如下表。在一次由這種型號的汽車發(fā)生的交通事故中，測得剎車距離為15.13m，問汽車在剎車時的速度是多少？ ? 剎車時車速v/km/h 15 30 40 50 60 80

9、剎車距離s/m 1.23 7.30 12.2 18.40 25.80 44.40 ? 解析：所求問題就變?yōu)楦鶕?jù)上表數(shù)據(jù)，建立描述v與s之間關系的數(shù)學模型的問題。此模型不能由表格中的數(shù)據(jù)直接看出，因此，以剎車時車速v為橫軸，以剎車距離s為縱軸建立直角坐標系。根據(jù)表中的數(shù)據(jù)作散點圖，可看出應選擇二次函數(shù)作擬合函數(shù)。假設變量v與s之間有如下關系式：，因為車速為0時，剎車距離也為0，所以二次曲線的圖象應通過原點（0，0）。再在散點圖中任意選取兩點A（30，7.30），B（80，44.40）代入，解出a、b、c于是 。（代入其他數(shù)據(jù)有偏差是許可的） 將s=15.13代入得 ， 解

10、得v≈45.07。 所以，汽車在剎車時的速度是45.07km/h。 例5．（xx北京春，理、文21）某租賃公司擁有汽車100輛.當每輛車的月租金為3000元時，可全部租出.當每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛.租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元. （1）當每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？ （2）當每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解：（1）當每輛車的月租金定為3600元時，未租出的車輛數(shù)為： =12，所以這時租出了88輛車. （2）設每輛車的月租金定為x元，則租賃公司的月收益為

11、：f（x）=（100－）（x－150）－×50，整理得：f（x）=－+162x－21000=－（x－4050）2+307050.所以，當x=4050時，f（x）最大，其最大值為f（4050）=307050.即當每輛車的月租金定為4050元時，租賃公司的月收益最大，最大收益為307050元. 點評：本題貼近生活。要求考生讀懂題目，迅速準確建立數(shù)學模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題并加以解決。 題型3：分段函數(shù)型 例6．某集團公司在xx年斥巨資分三期興建垃圾資源化處理工廠，如下表： ? 一期xx年投入 1億元 興建垃圾堆肥廠 年處理有機肥十多萬噸 年綜合收益 2千萬元 二期xx年

12、投入 4億元 興建垃圾焚燒發(fā)電一廠 年發(fā)電量1.3億kw/h 年綜合收益 4千萬元 三期xx年投入 2億元 興建垃圾焚燒發(fā)電二廠 年發(fā)電量1.3億kw/h 年綜合收益 4千萬元 ? 如果每期的投次從第二年開始見效，且不考慮存貸款利息，設xx年以后的x年的總收益為f(x)（單位：千萬元），試求f（x）的表達式，并預測到哪一年能收回全部投資款。 解析：由表中的數(shù)據(jù)知，本題需用分段函數(shù)進行處理。由表中的數(shù)據(jù)易得， f(x)=。 顯然，當n≤4時，不能收回投資款。 當n≥5時，由f(n)=10n-24>70， 得n>9.4，取n=10。 所以到xx年可以收回全部投

13、資款。 點評：分段函數(shù)是根據(jù)實際問題分類討論函數(shù)的解析式，從而尋求在不同情況下實際問題的處理結果。 例7．（xx全國，21）某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場售價與上市時間的關系用圖2—10中（1）的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關系用圖2—10中（2）的拋物線表示. 圖2—10 （1）寫出圖中（1）表示的市場售價與時間的函數(shù)關系式P＝f（t）； 寫出圖中（2）表示的種植成本與時間的函數(shù)關系式Q＝g（t）； （2）認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大? （注：市場售價和種植成本的單位：元／102

14、 ，ｋg，時間單位：天） 解：（1）由圖（1）可得市場售價與時間的函數(shù)關系為 f（t）＝ 由圖（2）可得種植成本與時間的函數(shù)關系為 g（t）＝（t－150）2＋100，0≤t≤300． （2）設t時刻的純收益為h（t），則由題意得h（t）＝f（t）－g（t）， 即h（t）＝ 當0≤t≤200時，配方整理得h（t）＝－（t－50）2＋100， 所以，當t＝50時，h（t）取得區(qū)間［0，200］上的最大值100； 當200＜t≤300時，配方整理得 h（t）＝－（t－350）2＋100， 所以，當t＝300時，h（t）取得區(qū)間（200，300］上的最大值87.5. 綜上，由

15、100＞87．5可知，h（t）在區(qū)間［0，300］上可以取得最大值100，此時t＝50，即從二月一日開始的第50天時，上市的西紅柿純收益最大. 點評：本題主要考查由函數(shù)圖象建立函數(shù)關系式和求函數(shù)最大值的問題.考查運用所學知識解決實際問題的能力. 題型4：三角函數(shù)型 例8．某港口水的深度y(m)是時間t（0≤t≤24，單位：h）的函數(shù)，記作y=f(t)。下面是某日水深的數(shù)據(jù)： ? t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 ? 經(jīng)長期觀察，y=

16、f(t)的曲線可以近似地看成函數(shù)y=Asinωt+b的圖象。（1）試根據(jù)以上數(shù)據(jù)求出函數(shù)y=f(t)的近似表達式；（2）一般情況下，船舶航行時，船底離海底的距離為5m或5m以上時認為是安全的（船舶?？繒r，船底只需不碰海底即可）。某船吃水深度（船底離水面的距離）為6.5m，如果該船希望在同一天內(nèi)安全進出港，請問，它最多能在港內(nèi)停留多少時間（忽進出港所需的時間）？ 解析：題中直接給出了具體的數(shù)學模型，因此可直接采用表中的數(shù)據(jù)進行解答。 （1）由表中數(shù)據(jù)易得，周期T=12，，b=10， 所以。 （2）由題意，該船進出港時，水深應不小于 5+6.5=11.5（m）， 所以， 化為， 應

17、有， 解得12k+1≤t≤12k+5 （k∈Z）。 在同一天內(nèi)取k=0或1， 所以1≤t≤5或13≤t≤17， 所以該船最早能在凌晨1時進港，最晚在下午17時出港，在港口內(nèi)最多停留16個小時。 點評：三角型函數(shù)解決實際問題要以三角函數(shù)的性質(zhì)為先，通過其單調(diào)性、周期性等性質(zhì)解決實際問題。特別是與物理知識中的電壓、電流、簡諧振動等知識結合到到一塊來出題，為此我們要對這些物理模型做到深入了解。 題型5：不等式型 例9．（xx湖南理20）對1個單位質(zhì)量的含污物體進行清洗, 清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為: 為, 要求清洗完后的清潔度為. 有兩種方案可供選擇, 方案甲: 一次清

18、洗; 方案乙: 分兩次清洗. 該物體初次清洗后受殘留水等因素影響, 其質(zhì)量變?yōu)? 設用單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是, 用單位質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是, 其中是該物體初次清洗后的清潔度.。 (Ⅰ)分別求出方案甲以及時方案乙的用水量, 并比較哪一種方案用水量較少; (Ⅱ)若采用方案乙, 當為某固定值時, 如何安排初次與第二次清洗的用水量, 使總用水量最小? 并討論取不同數(shù)值時對最少總用水量多少的影響. 解析：(Ⅰ)設方案甲與方案乙的用水量分別為x與z,由題設有=0.99,解得x=19. 由得方案乙初次用水量為3, 第二次用水量y滿足方程: 解得y=4,故z=4

19、+3. 即兩種方案的用水量分別為19與4+3. 因為當,故方案乙的用水量較少. （II）設初次與第二次清洗的用水量分別為與，類似（I）得 ，（*） 于是+ 當為定值時,, 當且僅當時等號成立.此時 將代入（*）式得 故時總用水量最少, 此時第一次與第二次用水量分別為, 最少總用水量是. 當,故T()是增函數(shù)，這說明,隨著的值的最少總用水量, 最少總用水量最少總用水量. 點評：該題建立了函數(shù)解析式后，通過基本不等式“”解釋了函數(shù)的最值情況，而解決了實際問題。該問題也可以用二次函數(shù)的單調(diào)性判斷。 例10．（xx上海，文、理21）用水清洗一堆蔬菜上殘留的農(nóng)藥．

20、對用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1個單位量的水可洗掉蔬菜上殘留農(nóng)藥量的，用水越多洗掉的農(nóng)藥量也越多，但總還有農(nóng)藥殘留在蔬菜上．設用x單位量的水清洗一次以后，蔬菜上殘留的農(nóng)藥量與本次清洗前殘留的農(nóng)藥量之比為函數(shù)f（x）. （1）試規(guī)定f（0）的值，并解釋其實際意義； （2）試根據(jù)假定寫出函數(shù)f（x）應該滿足的條件和具有的性質(zhì)； （3）設f（x）=，現(xiàn)有a（a＞0）單位量的水，可以清洗一次，也 可以把水平均分成2份后清洗兩次，試問用哪種方案清洗后蔬菜上殘留的農(nóng)藥量比較少?說明理由 解：（1）f（0）=1表示沒有用水洗時，蔬菜上的農(nóng)藥量將保持原樣． （2）函數(shù)f（x）應該滿足的

21、條件和具有的性質(zhì)是：f（0）=1，f（1）=， 在［0，＋∞）上f（x）單調(diào)遞減，且0＜f（x）≤1． （3）設僅清洗一次，殘留的農(nóng)藥量為f1＝，清洗兩次后，殘留的農(nóng)藥量為 f2＝， 則f1－f2＝． 于是，當a＞2時，f1＞f2；當a=2時，f1＝f2；當0＜a＜2時，f1＜f2． 因此，當a＞2時，清洗兩次后殘留的農(nóng)藥量較少； 當a=2時，兩種清洗方法具有相同的效果； 當0＜a＜2時，一次清洗殘留的農(nóng)藥量較少． 點評：本題主要考查運用所學數(shù)學知識和方法解決實際問題的能力。以及函數(shù)概念、性質(zhì)和不等式證明的基本方法。 題型6：指數(shù)、對數(shù)型函數(shù) 例11．有一個湖泊受污染

22、，其湖水的容量為V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量?，F(xiàn)假設下雨和蒸發(fā)平衡，且污染物和湖水均勻混合。 用，表示某一時刻一立方米湖水中所含污染物的克數(shù)（我們稱其湖水污染質(zhì)量分數(shù)），表示湖水污染初始質(zhì)量分數(shù)。 （1）當湖水污染質(zhì)量分數(shù)為常數(shù)時，求湖水污染初始質(zhì)量分數(shù)； （2）分析時，湖水的污染程度如何。 解析： （1）設， 因為為常數(shù)，，即， 則； （2）設， = 因為，，。污染越來越嚴重。 點評：通過研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解釋實際問題。我們要掌握底數(shù)兩種基本情況下函數(shù)的性質(zhì)特別是單調(diào)性和值域的差別，它能幫我們解釋具體問題。譬如向題目中出現(xiàn)的“污染越來越嚴重”還是“污染越

23、來越輕” 例12．現(xiàn)有某種細胞100個，其中有占總數(shù)的細胞每小時分裂一次，即由1個細胞分裂成2個細胞，按這種規(guī)律發(fā)展下去，經(jīng)過多少小時，細胞總數(shù)可以超過個？（參考數(shù)據(jù)：）. 解析：現(xiàn)有細胞100個，先考慮經(jīng)過1、2、3、4個小時后的細胞總數(shù)， 1小時后，細胞總數(shù)為； 2小時后，細胞總數(shù)為； 3小時后，細胞總數(shù)為； 4小時后，細胞總數(shù)為； 可見，細胞總數(shù)與時間（小時）之間的函數(shù)關系為： ， 由，得，兩邊取以10為底的對數(shù)，得， ∴， ∵， ∴. 答：經(jīng)過46小時，細胞總數(shù)超過個。 點評：對于指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)要熟練應用近似計算的知識，來對事件進行合理的解析

24、。 五．思維總結 1．將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，比較常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型的增長差異，結合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義。 2．怎樣選擇數(shù)學模型分析解決實際問題 數(shù)學應用問題形式多樣，解法靈活。在應用題的各種題型中，有這樣一類題型：信息由表格數(shù)據(jù)的形式給出，要求對數(shù)據(jù)進行合理的轉(zhuǎn)化處理，建立數(shù)學模型，解答有關的實際問題。解答此類題型主要有如下三種方法： （1）直接法：若由題中條件能明顯確定需要用的數(shù)學模型，或題中直接給出了需要用的數(shù)學模型，則可直接代入表中的數(shù)據(jù)，問題即可獲解； （2）列式比較法：若題所涉及的是最優(yōu)化方案問題，則可根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)先列式，然后進行比較； （3）描點觀察法：若根據(jù)題設條件不能直接確定需要用哪種數(shù)學模型，則可根據(jù)表中的數(shù)據(jù)在直角坐標系中進行描點，作出散點圖，然后觀察這些點的位置變化情況，確定所需要用的數(shù)學模型，問題即可順利解決。下面舉例進行說明。