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1、2022年高三數(shù)學(xué) 專題6 三角恒等變換與解三角形練習(xí) 一、前測訓(xùn)練 1．(1)已知cos(α＋)＝，α∈(0，)，則cosα＝ ；sin(α＋)＝ ；，cos(2α＋)＝ ． 答案：（＋2）；；（2－） (2)已知cos(＋x)＝， ＜x＜，則＝ ． 答案： (3) ＝ ． 答案：2 (4)已知tan(＋a)＝．則＝ ． 答案：－ 2． (1)在△ABC中，b＝，B＝60°，c＝1，則C＝ ；a＝ ． 答案：300；2

2、(2)在△ABC中，A＝1200，a＝7，b＋c＝8，則b＝ ；c＝ ． 答案：3或5；5或3 (3) 如圖，在四邊形ABCD中，已知AD^CD， AD＝10， AB＝14， DBDA＝60°， DBCD＝135° ，則BC＝ . 答案：8 3．(1)在△ABC中，acosA＝bcosB，則△ABC的形狀為 ． 答案：等腰或直角三角形 (2) 在△ABC中，sinA＝2cosBsinC，則△ABC的形狀為 ． 答案：等腰三角形 二、方法聯(lián)想 1．三角變換基本想法 (1)角：觀察角的

3、聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)角的統(tǒng)一． (2)名：弦切互化，異名化同名． 形：公式變形與逆用． 冪：平方降冪，根式升冪． 解題前先觀察角的聯(lián)系，分析角的變化，實(shí)現(xiàn)角的統(tǒng)一，從而決定解題方向，再結(jié)合三角函數(shù)名、公式的變形、冪的升降，做出公式的選擇． 注意 判斷角的范圍，確定三角函數(shù)值的正負(fù)或角的值．若在已知范圍內(nèi)不能確定時，利用三角函數(shù)值的正負(fù)或大小來縮小角的范圍． 2．三角形中邊角計算 方法 正、余弦定理的本質(zhì)是六個量中四個量可以建立一些關(guān)系式，如涉及三邊一角考慮用余弦定理，兩邊兩角考慮用正弦定理． 3．邊角轉(zhuǎn)化、角角轉(zhuǎn)化 方法 關(guān)于含有邊角的關(guān)系式，利用(1)a＝2RsinA，b

4、＝2RsinB，c＝2RsinC或(2)cosA＝等進(jìn)行邊角互化，即邊化角或角化邊． 方法 角角轉(zhuǎn)化，即利用A＋B＋C＝π消元實(shí)現(xiàn)三角化兩角，若已知一個角，可以將兩角化一角． 三、例題分析 [第一層次] 例1、在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知. (1)求的值； (2)若cosB=，△ABC的周長為5，求b的大小． 解 (1)=2. (2) b=2. 〖教學(xué)建議〗 （1)主要問題歸類與方法： 邊角互化問題 ①利用a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC將邊化為角；②利用cosA＝等將余弦化為邊；③ccosB＋bcosC＝a

5、等化角為邊． 方法選擇與優(yōu)化建議： 1、對于等式的右邊，我們可以選擇方法①，化變?yōu)榻?，推?dǎo)出； 2、利用cosA＝等將等式的左邊余弦化為邊來做，運(yùn)算量較大，所以不選擇方法②． 3、等式可以化為bcosA＋acosB＝2(bcosC+ccosB),即c=2a, ，所以可以選擇方法③． (2)主要問題歸類與方法： 求邊長 ①利用正弦定理求邊； ② 利用余弦定理求邊． 方法選擇與優(yōu)化建議： 因為從第一問已經(jīng)可以得到c=2a，又a＋b＋c＝5，所以三邊可以轉(zhuǎn)化為只含有一個未知量b,利用減元消元解方程的方法解決問題，因此選擇方法②的余弦定理解決問題比較方便． 例2 已知函數(shù)

6、f(x)＝2 cos2x＋2sinx cosx． （1）求函數(shù)f(x)在[－，]上的值域； （2）在△ABC中，若f(C)＝2，2sinB＝cos(A－C)－cos(A＋C)，求tanA的值． 解 （1）函數(shù)f(x)在[－，]上的值域為[0，3]． （2） tanA＝． 〖教學(xué)建議〗 （1)主要問題歸類與方法： 將已知函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)+b的形式，使此函數(shù)變?yōu)橹缓幸粋€三角名稱的一次三角函數(shù)． 方法選擇與優(yōu)化建議： 平方降冪，將2次變?yōu)?次；角統(tǒng)一，化為只含有一個角的三角函數(shù)；注意利用角的范圍來確定函數(shù)的值域，防止學(xué)生求值域時只是代入兩個端點(diǎn)．

7、（2）主要問題歸類與方法： 三角形中求某一個角的三角函數(shù)值，①正弦定理 ②余弦定理 ③三角恒等變形 方法選擇與優(yōu)化建議： 本題沒有邊的的條件，所以方法①②不作考慮；注意到角C已知，又A＋B＋C＝π，因此本題可化為只有一個只有未知角A；利用第第二個條件2sinB＝cos(A－C)－cos(A＋C)，化為只有一個未知量角A的方程解決． 例3 如圖所示，在半徑為2、圓心為的扇形AB弧上任取一點(diǎn)P，作扇形的內(nèi)接平行四邊形PNMQ，使點(diǎn)Q在OA上，點(diǎn)M，N在OB上，設(shè)∠BOP＝θ,平行四邊形PNMQ的面積為s． (1)求這之間的函數(shù)關(guān)系； (2)求s的最大值及相應(yīng)的的值．

8、 解 （1）S== （2）當(dāng)時， 〖教學(xué)建議〗 （1)主要問題歸類與方法： ①平行四邊形PNMQ的面積＝MN·QMsin∠QMN；②平行四邊形PNMQ的面積＝MN·h(h為MN邊上的高) 方法選擇與優(yōu)化建議： MN、QM、∠QMN不好表示，所以方法①不作選擇； 方法②實(shí)際上就是分別過點(diǎn)P、Q作垂足分別為D、E，將平行四邊形PNMQ轉(zhuǎn)化為矩形PDEQ，這個問題就可以仿照蘇教版《數(shù)學(xué)》（必修4）中的習(xí)題解法求解． （2)主要問題歸類與方法： 轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)+b的形式，此函數(shù)只含有一個三角函數(shù)． 方法選擇與優(yōu)化建議： 化為只含有一個角

9、的一次三角函數(shù)；注意利用角的范圍來確定函數(shù)的值域，防止學(xué)生求值域時只是代入兩個端點(diǎn)． [第二層次] 例1、在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知. (1)求的值； (2)若cosB=，△ABC的周長為5，求b的大?。? 解 (1) =2. (2) b=2. 〖教學(xué)建議〗 （1)主要問題歸類與方法： 邊角互化問題 ①利用a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC將邊化為角；②利用cosA＝等將余弦化為邊；③ccosB＋bcosC＝a等化角為邊． 方法選擇與優(yōu)化建議： 1、對于等式的右邊，我們可以選擇方法①，化變?yōu)榻?，?/p>

10、導(dǎo)出； 2、利用cosA＝等將等式的左邊余弦化為邊來做，運(yùn)算量較大，所以不選擇方法②． 3、等式可以化為bcosA＋acosB＝2(bcosC+ccosB),即c=2a, ，所以可以選擇方法③． (2)主要問題歸類與方法： 求邊長 ①利用正弦定理求邊； ② 利用余弦定理求邊． 方法選擇與優(yōu)化建議： 因為從第一問已經(jīng)可以得到c=2a，又a＋b＋c＝5，所以三邊可以轉(zhuǎn)化為只含有一個未知量b,利用減元消元解方程的方法解決問題，因此選擇方法②的余弦定理解決問題比較方便． 例2 已知函數(shù)f(x)＝2 cos2x＋2sinx cosx． （1）求函數(shù)f(x)在[－，]上的值域；

11、 （2）在△ABC中，若f(C)＝2，2sinB＝cos(A－C)－cos(A＋C)，求tanA的值． 解 （1）函數(shù)f(x)在[－，]上的值域為[0，3]． （2）tanA＝． 〖教學(xué)建議〗 （1)主要問題歸類與方法： 將已知函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)+b的形式，使此函數(shù)變?yōu)橹缓幸粋€三角名稱的一次三角函數(shù)． 方法選擇與優(yōu)化建議： 平方降冪，將2次變?yōu)?次；角統(tǒng)一，化為只含有一個角的三角函數(shù)；注意利用角的范圍來確定函數(shù)的值域，防止學(xué)生求值域時只是代入兩個端點(diǎn)． （2）主要問題歸類與方法： 三角形中求某一個角的三角函數(shù)值，①正弦定理 ②余弦定理

12、 ③三角恒等變形 方法選擇與優(yōu)化建議： 本題沒有邊的的條件，所以方法①②不作考慮；注意到角C已知，又A＋B＋C＝π，因此本題可化為只有一個只有未知角A；利用第第二個條件2sinB＝cos(A－C)－cos(A＋C)，化為只有一個未知量角A的方程解決． 例3、已知△的面積為，且． （1）求的值； （2）若，，求△ABC的面積． 解 （1）. (2) 3． 〖教學(xué)建議〗 （1)主要問題歸類與方法： 向量的數(shù)量積表示有兩種方法，①是數(shù)量積的定義，②是數(shù)量積的坐標(biāo)表示． 方法選擇與優(yōu)化建議： 本題中沒有涉及到向量的坐標(biāo)，同時還需要表示三角形的面積，所以選擇方法①．

13、 （2）主要問題歸類與方法： 求三角形的面積問題 計算三角形的面積需要三個條件，①已知兩條邊一夾角；②已知三條邊；③已知一條邊以及此邊上的高等等． 方法選擇與優(yōu)化建議： 已經(jīng)知道了兩個角一條邊，以上的三個方法都可以解決問題，但相對而言，方法①的運(yùn)算量較?。? [第三層次] 例1、已知α，β(0，π)，且tanα＝2，cosβ＝－ ． （1）求cos2α的值； （2）求2α－β的值． 解 （1）cos2α＝－． （2） 2α－β＝－． 〖教學(xué)建議〗 （1)主要問題歸類與方法： 問題1、cos2α＝cos

14、α－sinα＝2cosα－1＝1－2sinα 問題2、由于cos2α＝cos2α－sin2α， 這可以化為tanα的齊次式． 方法選擇與優(yōu)化建議： 對于問題1，選擇以上三個公式中的任何一個都可以，但在從α(0，π)，tanα＝2求cosα、sinα?xí)r要注意判斷它們的符號． 對于問題2，os2α＝cos2α－sin2α＝ ＝，處理起來更加便捷． （2)主要問題歸類與方法： 求角的問題 求角就需要選擇一個關(guān)于2α－β的三角函數(shù)，它可以是正弦、余弦，也可以是正切，關(guān)鍵在于這個三角函數(shù)值可以求。另外，2α－β的范圍不僅影響角的結(jié)果，也影響著選擇正弦、余弦、正切中的哪個三角函數(shù)． 方法

15、選擇與優(yōu)化建議： 通過推理，我們得到2α－β(－，)，所以可以選擇計算sin(2α－β)值，也可以選擇計算tan(2α－β)的值，但不宜選擇計算cos(2α－β)，因為在(－，)上，正弦函數(shù)、正切函數(shù)都是單調(diào)的，而余弦函數(shù)卻是不單調(diào)的． 例2 設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為,且. (1)求B； (2)若,求C． 解 (1). (2)或. 點(diǎn)評：求角一般要先求值，即求出該角的某一個三角函數(shù)值，但求哪一個三角值，要根據(jù)條件選擇；由值求角，要注意角的取值范圍，有時會有多個角． 〖教學(xué)建議〗 主要問題歸類與方法： 在三角形中求角的大小 通常①利用

16、正弦定理，利用已知的兩邊一對角，求另外一個對角；②是利用余弦定理，已知三條邊求任意一個角． 方法選擇與優(yōu)化建議： 條件可化為，所以選擇方法②余弦定理可以直接得到角B的大?。? （2)主要問題歸類與方法： 在三角形中求角的大小 ①由第一問，我們已經(jīng)得到了，所以，，代入到條件中去，求解關(guān)于角C的方程，利求得角C的某個三角函數(shù)值； ②從，以及，可以求得，進(jìn)而得到角C的大小． 方法選擇與優(yōu)化建議： 方法①代入后化歸為，這個解法雖然比較麻煩，但是多數(shù)學(xué)生會采取這個方法，它符合學(xué)生的正常思維． 方法②解法簡潔，但是學(xué)生不太容易想到計算的值． 方法①值得學(xué)生選擇并掌握． 例3 在△A

17、BC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知. (1)求的值； (2)若cosB=，△ABC的周長為5，求b的大?。? 解 (1) =2. (2) b=2. 〖教學(xué)建議〗 （1)主要問題歸類與方法： 邊角互化問題 ①利用a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC將邊化為角；②利用cosA＝等將余弦化為邊；③ccosB＋bcosC＝a等化角為邊． 方法選擇與優(yōu)化建議： 1、對于等式的右邊，我們可以選擇方法①，化變?yōu)榻牵茖?dǎo)出； 2、利用cosA＝等將等式的左邊余弦化為邊來做，運(yùn)算量較大，所以不選擇方法②． 3、等式可以化為bcosA＋acosB＝2(bcosC+ccosB),即c=2a, ，所以可以選擇方法③． (2)主要問題歸類與方法： 求邊長 ①利用正弦定理求邊； ② 利用余弦定理求邊． 方法選擇與優(yōu)化建議： 因為從第一問已經(jīng)可以得到c=2a，又a＋b＋c＝5，所以三邊可以轉(zhuǎn)化為只含有一個未知量b,利用減元消元解方程的方法解決問題，因此選擇方法②的余弦定理解決問題比較方便． 四、反饋練習(xí)