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1、2022年高考數(shù)學一輪總復習 5.8 三角函數(shù)的綜合應用教案 理 新人教A版 典例精析 題型一　利用三角函數(shù)的性質解應用題 【例1】如圖，ABCD是一塊邊長為100 m的正方形地皮，其中AST是一半徑為90 m的扇形小山，其余部分都是平地.一開發(fā)商想在平地上建一個矩形停車場，使矩形的一個頂點P在上，相鄰兩邊CQ、CR分別落在正方形的邊BC、CD上，求矩形停車場PQCR面積的最大值和最小值. 【解析】如圖，連接AP，過P作PM⊥AB于M. 設∠PAM＝α，0≤α≤， 則PM＝90sin α，AM＝90cos α， 所以PQ＝100－90cos α，PR＝100－90sin

2、α， 于是S四邊形PQCR＝PQ·PR ?。?100－90cos α)(100－90sin α) ?。? 100sin αcos α－9 000(sin α＋cos α)＋10 000. 設t＝sin α＋cos α，則1≤t≤，sin αcos α＝. S四邊形PQCR＝8 100·－9 000t＋10 000 ＝4 050(t－)2＋950 (1≤t≤). 當t＝時，(S四邊形PQCR)max＝14 050－9 000 m2； 當t＝時，(S四邊形PQCR)min＝950 m2. 【點撥】同時含有sin θcos θ，sin θ±cos θ的函數(shù)求最值時，可設sin θ±

3、cos θ＝t，把sin θcos θ用t表示，從而把問題轉化成關于t的二次函數(shù)的最值問題.注意t的取值范圍. 【變式訓練1】若0＜x＜，則4x與sin 3x的大小關系是(　　) A.4x＞sin 3x B.4x＜sin 3x C.4x≥sin 3x D.與x的值有關 【解析】令f(x)＝4x－sin 3x，則f′(x)＝4－3cos 3x.因為f′(x)＝4－3cos 3x＞0，所以f(x)為增函數(shù).又0＜x＜，所以f(x)＞f(0)＝0，即得4x－sin 3x＞0.所以4x＞sin 3x.故選A. 題型二　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)模型的應用 【例

4、2】已知某海濱浴場的海浪高度y(米)是時間t(0≤t≤24，單位：小時)的函數(shù)，記作y＝f(t).下表是某日各時的浪花高度數(shù)據(jù). 經(jīng)長期觀測，y＝f(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)y＝Acos ωt＋b. (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)y＝Acos ωt＋b的最小正周期T、振幅A及函數(shù)表達式； (2)依據(jù)規(guī)定，當海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放. 請依據(jù)(1)的結論，判斷一天內的上午8：00至晚上20：00之間，有多少時間可供沖浪者進行運動？ 【解析】(1)由表中數(shù)據(jù)知，周期T＝12，所以ω＝＝＝. 由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5，由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，

5、所以A＝0.5，b＝1，所以振幅為.所以y＝cos t＋1. (2)由題知，當y＞1時才可對沖浪者開放， 所以cos t＋1＞1，所以cos t＞0， 所以2kπ－＜t＜2kπ＋，即12k－3＜t＜12k＋3.① 因為0≤t≤24，故可令①中k分別為0,1,2，得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24. 故在規(guī)定時間上午8：00至晚上20：00之間，有6個小時時間可供沖浪者運動，即上午9：00至下午15：00. 【點撥】用y＝Asin(ωx＋φ)模型解實際問題，關鍵在于根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)準確求出函數(shù)解析式. 【變式訓練2】如圖，一個半徑為10 m的水輪按逆時針方向每分鐘轉4圈，記

6、水輪上的點P到水面的距離為d m(P在水面下則d為負數(shù))，則d(m)與時間t(s)之間滿足關系式：d＝Asin(ωt＋φ)＋k(A＞0，ω＞0，－＜φ＜)，且當點P從水面上浮現(xiàn)時開始計算時間，有以下四個結論：①A＝10；②ω＝；③φ＝；④k＝5.其中正確結論的序號是　　　　　. 【解析】①②④. 題型三　正、余弦定理的應用 【例3】為了測量兩山頂M、N間的距離，飛機沿水平方向在A、B兩點進行測量，A、B、M、N在同一個鉛垂平面內(如圖所示)，飛機能測量的數(shù)據(jù)有俯角和A、B之間的距離，請設計一個方案，包括：(1)指出需測量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標示)；(2)用文字和公式寫出計算M、N

7、間距離的步驟. 【解析】(1)如圖所示：①測AB間的距離a；②測俯角∠MAB＝φ，∠NAB＝θ，∠MBA＝β，∠NBA＝γ.(2)在△ABM中 ，∠AMB＝π－φ－β，由正弦定理得 BM＝＝， 同理在△BAN中，BN＝＝， 所以在△BMN中，由余弦定理得 MN＝ ＝. 【變式訓練3】一船向正北方向勻速行駛，看見正西方向兩座相距10海里的燈塔恰好與該船在同一直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見其中一座燈塔在南偏西60°方向上，另一燈塔在南偏西75°方向上，則該船的速度是　　　海里/小時. 【解析】本題考查實際模型中的解三角形問題.依題意作出簡圖，易知AB＝10，∠OCB＝60°

8、，∠OCA＝75°.我們只需計算出OC的長，即可得出船速.在直角三角形OCA和OCB中，顯然有＝tan∠OCB＝tan 60°且＝tan∠OCA＝tan 75°， 因此易得AB＝OA－OB＝OC(tan 75°－tan 60°)，即有 OC＝＝ ＝ ＝＝＝5. 由此可得船的速度為5海里÷0.5小時＝10海里/小時. 總結提高 1.解三角形的應用題時應注意： (1)生活中的常用名詞，如仰角，俯角，方位角，坡比等； (2)將所有已知條件化入同一個三角形中求解； (3)方程思想在解題中的運用. 2.解三角函數(shù)的綜合題時應注意： (1)與已知基本函數(shù)對應求解，即將ωx＋φ視為一個整體X； (2)將已知三角函數(shù)化為同一個角的一種三角函數(shù)，如y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝asin2x＋bsin x＋c； (3)換元方法在解題中的運用.