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1、2022年高中數(shù)學 階段性測試題3 新人教B版選修1-1 一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．設(shè)橢圓＋＝1(m>0，n>0)的右焦點與拋物線y2＝8x的焦點相同，離心率為，則此橢圓的方程為(　　) A.＋＝1　　　　　　 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 [答案]　B [解析]　∵拋物線焦點為(2,0)，∴＝2，又＝，∴m＝4，n＝12. 2．以－＝－1的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓方程為(　　) A.＋＝1　　　　　　 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 [答案]　D [解析]

2、　雙曲線－＝－1，可化為：－＝1， 焦點為(0，±4)，頂點為(0，±2)， ∴橢圓方程為：＋＝1. 3．已知拋物線x2＝4y的焦點F和點A(－1,8)，點P為拋物線上一點，則|PA|＋|PF|的最小值為(　　) A．16 B．6 C．12 D．9 [答案]　D [解析]　如圖， 過點A作準線的垂線，B為垂足，與拋物線交于一點P，則點P為所求的點，|PA|＋|PF|的最小值為|AB|的長度． 4．已知兩定點F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，且|F1F2|是|PF1|與|PF2|的等差中項，則動點P的軌跡是(　　) A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線

3、D．線段 [答案]　D [解析]　依題意知|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝2，作圖可知點P的軌跡為線段，故選D. 5．橢圓a2x2－y2＝1的一個焦點是(－2,0)，則a等于(　　) A. B. C. D. [答案]　B [解析]　橢圓a2x2－y2＝1可化為＋＝1， ∴a<0，排除C、D. 當a＝時，＝6＋2，－＝2(＋1)， ∴6＋2－2－2＝4，∴一個焦點是(－2,0)． 6．(xx·廈門模擬)已知橢圓＋＝1(a>b>0)，雙曲線－＝1(a>0，b>0)和拋物線y2＝2px(p>0)的離心率分別是e1，e2，e3，則(　　) A．e1e2>e3

4、 B．e1e2＝e3 C．e1e2

5、4x＋y－3＝0. 8.－＝1與－＝1(a>b>0)的漸近線(　　) A．重合 B．不重合，但關(guān)于x軸對稱 C．不重合，但關(guān)于y軸對稱 D．不重合，但關(guān)于直線y＝x對稱 [答案]　A 9．動圓的圓心在拋物線y2＝8x上，且動圓恒與直線x＋2＝0相切，則動圓必過定點(　　) A．(4,0) B．(2,0) C．(0,2) D．(0，－2) [答案]　B [解析]　∵直線x＋2＝0恰好為拋物線y2＝8x的準線，由拋物線定義知，動圓必過拋物線焦點(2,0)． 10．設(shè)O是坐標原點，F(xiàn)是拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，A是拋物線上的一點，與x軸正向的夾角為60°

6、，則為(　　) A.P B.P C.P D.P [答案]　B [解析]　根據(jù)題意得A點為直線y＝(x－)與拋物線y2＝2px的兩個交點中橫坐標較大的那個，聯(lián)立方程組求出x1＝P，x2＝P，所以A(P，P)，則|OA＝＝P，故選B. 11．圓心在拋物線y2＝2x上，且與x軸和該拋物線的準線都相切的一個圓的方程是(　　) A．x2＋y2－x－2y－＝0 B．x2＋y2＋x－2y＋1＝0 C．x2＋y2－x－2y＋1＝0 D．x2＋y2－x－2y＋＝0 [答案]　D [解析]　拋物線y2＝2x的準線為x＝－，設(shè)圓心為(a，b)，則有b2＝2a，因為圓與x軸及

7、拋物線準線都相切，故|b|＝a＋，兩式聯(lián)立解得a＝，b＝±1，此時圓半徑r＝|b|＝1. 12．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P是側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動點，若P到直線BC與直線C1D1的距離相等，則動點P的軌跡所在的曲線是(　　) A．直線 B．圓 C．雙曲線 D．拋物線 [答案]　D [解析]　∵點P到直線C1D1的距離等于它到定點C1的距離， ∴動點P到直線BC的距離等于它到定點C1的距離． 二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，將正確答案填在題中橫線上) 13．已知長方形ABCD，AB＝4，BC＝3，則以A、B為焦點，且過C、D

8、兩點的橢圓的離心率為________． [答案]　 [解析]　∵AB＝2c＝4，∴c＝2. 又AC＋CB＝5＋3＝8＝2a，∴a＝4. 即橢圓的離心率為＝. 14．設(shè)中心在原點的橢圓與雙曲線2x2－2y2＝1有公共的焦點，且它們的離心率互為倒數(shù)，則該橢圓的方程是________． [答案]　＋y2＝1 [解析]　∵雙曲線2x2－2y2＝1的離心率為， ∴所求橢圓的離心率為，又焦點為(±1,0)， ∴所求橢圓的方程為＋y2＝1. 15．拋物線形拱橋的跨度是20米，拱高是4米，每隔4米用一支柱支撐，其中最長支柱的長是________． [答案]　3.84米 [解析]　如圖，

9、建立如圖所示的平面直角坐標系． 設(shè)拋物線方程為：x2＝－2py(p>0) 點A(10，－4)在拋物線上， ∴100＝8p，p＝，∴x2＝－25y， 其中最長一根長柱與拋物線的交點為B(x0，y0)， 由題意知x0＝2，∴y0＝－， ∴最長的支柱長為4－＝＝3.84(米)． 16．以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題： ①設(shè)A，B為兩個定點，k為非零常數(shù)，||－||＝k，則動點P的軌跡為雙曲線； ②過定圓C上一定點A作圓的動弦AB，O為坐標原點，若＝(＋)，則動點P的軌跡為橢圓； ③方程2x2－5x＋2＝0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率； ④雙曲線－＝1與橢圓＋y2＝1有相同的

10、焦點． 其中正確命題的序號是________． [答案]?、邰? [解析]　雙曲線的定義是：平面上與兩個定點A，B的距離的差的絕對值為常數(shù)2a，且0<2a<|AB|，那么點P的軌跡為雙曲線，故①錯； 由＝(＋)得點P為弦AB的中點，其軌跡為圓，故②錯； 設(shè)2x2－5x＋2＝0的兩根為x1，x2，則由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝，x1x2＝1，由此可知兩根互為倒數(shù)，且均為正，故③正確； －＝1的焦點坐標為(±，0)，＋y2＝1的焦點坐標為(±，0)，故④正確． 三、解答題(本大題共6個小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本題滿分12分)求以橢圓3x2

11、＋13y2＝39的焦點為焦點，以直線y＝±為漸近線的雙曲線方程． [解析]　橢圓3x2＋13y2＝39可化為＋＝1， 其焦點坐標為(±，0)， ∴所求雙曲線的焦點為(±，0)， 設(shè)雙曲線方程為：－＝1(a>0，b>0) ∵雙曲線的漸近線為y＝±x， ∴＝，∴＝＝＝， ∴a2＝，b2＝， 即所求的雙曲線方程為：＋＝1. 18．(本題滿分12分)若已知橢圓＋＝1與雙曲線x2－＝1有相同的焦點，又橢圓與雙曲線交于點P，求橢圓及雙曲線的方程． [解析]　由橢圓與雙曲線有相同的焦點得 10－m＝1＋b，即m＝9－b，① 由點P在橢圓、雙曲線上，得 y2＝m，② y2＝，③

12、解由①、②、③組成的方程組得m＝1，b＝8， ∴橢圓方程為＋y2＝1，雙曲線方程為x2－＝1. 19．(本題滿分12分)已知拋物線方程為y2＝2x， (1)設(shè)點A的坐標為(，0)，求拋物線上距點A最近的點P的坐標及相應(yīng)的距離|PA|； (2)設(shè)點A的坐標為(a,0)(a∈R)，求拋物線上的點到點A距離的最小值d，并寫出d＝f(a)的函數(shù)表達式． [解析]　(1)設(shè)拋物線上任一點P的坐標為(x，y)， 則|PA|2＝(x－)2＋y2＝(x－)2＋2x ＝(x＋)2＋， ∵x≥0，且在此區(qū)間上單調(diào)遞增，故當x＝0時，|PA|min＝，故距A最近的點的坐標為(0,0)． (2)由(

13、1)知|PA|2＝[x－(a－1)]2＋(2a－1)，當a－1≥0時，即a≥1時，此時當x＝a－1時， dmin＝； 當a－1<0時，即a<1時，此時當x＝0時，dmin＝|a|. 綜上，d＝. 20．(本題滿分12分)汽車前燈反射鏡與軸截面的交線是拋物線的一部分，燈口所在的圓面與反射鏡的軸垂直，燈泡位于拋物線焦點處，已知燈口的直徑是24 cm，燈深10 cm，那么燈泡與反射鏡頂點的(即截得拋物線頂點)距離是多少？ [解析]　取反射鏡的軸即拋物線的對稱軸為x軸，拋物線的頂點為坐標原點，建立直角坐標系xOy，如右圖所示．因燈口直徑|AB|＝24，燈深|OP|＝10，所以點A的坐標是(1

14、0,12)． 設(shè)拋物線的方程是y2＝2px(p>0)． 由點A(10,12)在拋物線上，得122＝2p×10， ∴p＝7.2. 拋物線的焦點F的坐標為(3.6,0)． 因此燈泡與反射鏡頂點的距離是3.6 cm. 21．(本題滿分12分)已知拋物線的頂點在原點，焦點在x軸上，其準線過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個焦點；又拋物線與雙曲線的一個交點為M，求拋物線和雙曲線的方程． [解析]　∵拋物線的頂點在原點，焦點在x軸上，與雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個交點為M，∴設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)， 將點M坐標代入得p＝2， ∴y2＝4x，其準線為x＝－1， ∵

15、拋物線的準線過雙曲線的一個焦點， ∴雙曲線的焦點為(±1,0)且點M在雙曲線上，∴a2＝，b2＝， 則雙曲線的方程為4x2－＝1. 22．(本題滿分14分)如圖，點A是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的短軸位于x軸下方的端點，過A作斜率為1的直線交橢圓于B點，P點在y軸上，且BP∥x軸，·＝9. (1)若P的坐標為(0,1)，求橢圓C的方程； (2)若P的坐標為(0，t)，求t的取值范圍． [解析]　(1)A(0，－b)，l的方程為y＋b＝x，P(0,1)，則B(1＋b,1)，＝(1＋b,1＋b)，＝(0，b＋1)， 又∵·＝9， ∴(1＋b,1＋b)·(0，b＋1)＝9， 即(b＋1)2＝9，∴b＝2，∴點B(3,1)在橢圓上， ∴＋＝1，∴a2＝12， 所求的橢圓方程為＋＝1. (2)P(0，t)，A(0，－b)，B(t＋b，t)， ＝(t＋b，t＋b)，＝(0，t＋b)，·＝9， ∴(t＋b)2＝9，∴b＝3－t，B(3，t)， 代入橢圓＋＝1，∴a2＝， ∵a2>b2，∴>(3－t)2，∴0