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中考數(shù)學(xué) 三角形分類訓(xùn)練二 等腰三角形和直角三角形 魯教版

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1、中考數(shù)學(xué) 三角形分類訓(xùn)練二 等腰三角形和直角三角形 魯教版 典例詮釋: 考點(diǎn)一 等腰三角形中的多解問題 例1 如果等腰三角形的兩邊長分別為4和7,則三角形的周長為 . 【答案】 15或18 【名師點(diǎn)評】 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系;已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況,分類進(jìn)行討論,還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答,這點(diǎn)非常重要,也是解題的關(guān)鍵. 例2 等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°,則頂角的度數(shù)為( ) A.60° B.120° C.60°或150° D.60°或120° 【答案】

2、 D 【名師點(diǎn)評】 此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì),熟記三角形的高相對于三角形的三種位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵,本題易出現(xiàn)的錯誤是只求出120°一種情況,把三角形簡單的認(rèn)為是銳角三角形. 考點(diǎn)二 等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)及判定 例3 (xx·門頭溝一模)如圖1-10-13,直線m∥n,點(diǎn)A在直線m上,點(diǎn)B,C在直線n上,AB=BC,∠1=70°,CD⊥AB于D,那么∠2等于( ) 圖1-10-13 A.20° B.30° C.32° D.25° 【答案】 A 【名師點(diǎn)評】通過平行線的知識可知∠1=∠ACB=70°,再利用等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的兩

3、個銳角互余即可解決. 例4 (xx·海淀一模)如圖1-10-14,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于點(diǎn)D,DE為AC邊上的中線.求證:∠BAD=∠EDC. 圖1-10-14 【證明】 如圖1-10-15. 圖1-10-15 ∵ ∠BAC=90°, ∴ ∠BAD+∠DAC=90°. ∵ AD⊥BC,∴ ∠ADC=90°, ∴ ∠DAC+∠C=90°,∴ ∠BAD=∠C. ∵ DE為AC邊上的中線,∴ DE=EC. ∴ ∠EDC=∠C,∴ ∠BAD=∠EDC. 【名師點(diǎn)評】 此題考查了“雙垂直”的基本圖形,易知∠BAD=∠C,再利用

4、“直角三角形中斜邊的中線等于斜邊的一半”得到等腰△EDC,從而問題得解. 例5 (xx·海淀一模)如圖1-10-16,在△ABC中,AB=AC,AD是BC邊上的中線,AE⊥BE于點(diǎn)E,且BE=BC.求證:AB平分∠EAD. 圖1-10-16 【證明】 ∵ AB=AC,AD是BC邊上的中線,∴ BD=BC,AD⊥BC. ∵ BE=BC,∴ BD=BE. ∵ AE⊥BE于點(diǎn)E, ∴ 點(diǎn)B在∠EAD的平分線上,∴ AB平分∠EAD. 【名師點(diǎn)評】 此題考查了等腰三角形的“三線合一”性質(zhì),可得到BD=BE=BC,再利用直角三角形全等的判定定理(HL)即可. 基礎(chǔ)精練:

5、1.(xx·豐臺一模)如圖1-10-17,在△ABC中,AD是BC邊上的高線,BE⊥AC于點(diǎn)E, ∠BAD =∠CBE.求證:AB=AC. 圖1-10-17 【證明】 ∵ 在△ABC中,AD是BC邊上的高線,BE⊥AC于點(diǎn)E, ∴ ∠ADB=∠BEC=90°. ∴ ∠ABD+∠BAD=∠C+∠CBE=90°. 又∵ ∠BAD=∠CBE,∴ ∠ABD=∠C. ∴ AB=AC. 2.(xx·懷柔一模)如圖1-10-18,在△ABC中,AB=4,AC=3,AD,AE分別是其角平分線和中線,過點(diǎn)C作CG⊥AD于F,交AB于G,連接EF,則線段EF的長為( )

6、 圖1-10-18 A. B.1 C. D.7 【答案】 A 3.(xx·懷柔一模)如圖1-10-19,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB邊的垂直平分線DE交BC于點(diǎn)E,垂足為D.求證:∠CAB=∠AED. 圖1-10-19 【證明】 ∵ DE是AB邊的垂直平分線, ∴ AE=BE,∠ADE=90°,∴ ∠EAB=∠B. 在Rt△ABC中,∠C=90°,∴ ∠CAB+∠B=90°. 在Rt△ADE中,∠ADE=90°, ∴ ∠AED+∠EAB=90°,∴ ∠CAB=∠AED. 4.(xx·門頭溝一模)如圖1-10-20,△ABC是等邊三角形,B

7、D平分∠ABC,延長BC到E,使得CE=CD.求證:BD=DE. 圖1-10-20 【證明】 ∵ △ABC是等邊三角形,∴ ∠ABC=∠ACB=60°. ∵ BD平分∠ABC,∴ ∠DBC=∠ABC=30°. ∵ CE=CD,∴ ∠CDE=∠CED. 又∵ ∠ACB=60°,∠DCB=∠CDE+∠CED, ∴ ∠DEC=∠ACB=30°.∴ ∠DBC=∠DEC,∴ BD=DE. 5.(xx·平谷一模)如圖1-10-21,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D是BC上一點(diǎn),DE⊥AB于E,F(xiàn)D⊥BC于D,G是FC的中點(diǎn),連接GD.求證:GD⊥DE. 圖1-10-21

8、 【證明】 如圖1-10-22. 圖1-10-22 ∵ AB=AC,∴ ∠B=∠C. ∵ DE⊥AB,F(xiàn)D⊥BC,∴ ∠BED=∠FDC=90°.∴ ∠1=∠3. ∵ G是直角三角形FDC的斜邊中點(diǎn),∴ GD=GF.∴ ∠2=∠3.∴ ∠1=∠2. ∵ ∠FDC=∠2+∠4=90°,∴ ∠1+∠4=90°.∴ ∠2+∠FDE=90°.∴ GD⊥DE. 6.(xx·石景山一模)如圖1-10-23,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB邊上的中線,DE⊥AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E.求證:∠AED=∠DCB. 圖1-10-23 【證明】 ∵ 在Rt△A

9、BC中,∠ACB=90°,CD是AB邊上的中線, ∴ CD=AB=DB,∴ ∠B=∠DCB. ∵ DE⊥AB于點(diǎn)D,∴ ∠A+∠AED=90°. ∵ ∠A+∠B=90°,∴ ∠B=∠AED.∴ ∠AED=∠DCB. 7.(xx·東城二模)如圖1-10-24,在等腰△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,∠ABC=72°,則∠ABD等于( ) 圖1-10-24 A.18° B.36° C.54° D.64° 【答案】 C 8.某等腰三角形的兩條邊長分別為3 cm和6 cm,則它的周長為( ) A.9 cm B.12 cm C.15 cm D

10、.12 cm或15 cm 【答案】 C 9.若等腰三角形中有一個角等于50°,則這個等腰三角形的頂角的度數(shù)為( ) A.50° B.80° C.65°或50° D.50°或80° 【答案】 D 10.已知:如圖1-10-25,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分線相交于F,過F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E,那么下列結(jié)論:①△BDF,△CEF都是等腰三角形;②DE=DB+CE;③AD+DE+AE=AB+AC;④BF=CF.正確的有( ) 圖1-10-25 A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 【答案】 C 11.(xx·順義

11、一模)我們把過三角形的一個頂點(diǎn),且能將這個三角形分割成兩個等腰三角形的線段稱為該三角形的“等腰線段”. 例如:如圖1-10-26,在Rt△ABC中,取AB邊的中點(diǎn)D,線段CD就是△ABC的“等腰線段”. (1) 請分別畫出如圖1-10-27所示三角形的“等腰線段”; 圖1-10-26 圖1-10-27 (2)如圖1-10-28,在△EFG中,∠G=2∠F,若△EFG有“等腰線段”,請直接寫出∠F的取值. 圖1-10-28 【解】 (1)如圖1-10-29所示.

12、 圖1-10-29 (2)36°和45°. 12.如圖1-10-30,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,將線段CB繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)60°得到CB′, ∠ACB的平分線CD交直線AB′于點(diǎn)D,連接DB,在射線DB′上截取DM=DC. (1)在圖1-10-30①中證明:MB′=DB; (2)若AC=,分別在圖1-10-30①和②中,求出AB′的長(直接寫出結(jié)果). ① ② 圖1-10-30 (1)【證明】 如圖1-10-31,連接CM. 圖1-10-31 由旋轉(zhuǎn)可知:CB′=CB,∠BCB′=60°. ∵

13、AC=BC,∠ACB=90°, ∴ AC=CB′,∠ACB′=150°.∴ ∠CAB′=∠CB′A=15°. ∵ CD平分∠ACB, ∴ ∠ACD=∠BCD=45°.∴ ∠CDM=∠ACD+∠CAD=60°. ∵ DM=DC,∴ △CDM是等邊三角形, ∴ CM=CD,∠DCM=60°. ∴ ∠B′CM=∠ACB′-∠ACD-∠DCM=45°. ∴ ∠B′CM=∠BCD. 在△CMB′和△CDB中, ∴ △CMB′≌△CDB(SAS),∴ MB′=DB. (2)【解】 在圖1-10-30①中,AB′=3+,在圖1-10-30②中,AB′=3-. 真題演練 (xx·北京)如圖1-10-31,在△ABC中,AB=AC,AD是BC邊上的中線,BE⊥AC于點(diǎn)E.求證:∠CBE=∠BAD. 圖1-10-31 【證明】 ∵ AB=AC,∴ ∠ABC=∠C. 又∵ AD是BC邊上的中線,∴ AD⊥BC, ∴ ∠BAD+∠ABC=90°. ∵ BE⊥AC,∴ ∠CBE+∠C=90°,∴ ∠CBE=∠BAD.

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