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1、2022年高考數(shù)學大一輪復習 第2節(jié) 證明不等式的基本方法課時提升練 文 新人教版選修4-5
一、選擇題
1.設t=a+2b,s=a+b2+1,則s與t的大小關系是( )
A.s≥t B.s>t
C.s≤t D.s
2、則a+b≥2(+1).
【答案】 A
3.(xx·北京東城模擬)設a,b,c為正數(shù),且a+2b+3c=13,則++的最大值為( )
A. B.
C. D.
【解析】 由柯西不等式得
(a+2b+3c)
≥(++)2
∴(++)2≤.
∴++≤.
當且僅當==時等號成立,即a=9,b=,c=時++取得最大值.
【答案】 C
4.已知a、b、c是正實數(shù),且a+b+c=1,則++的最小值為( )
A.5 B.7
C.9 D.11
【解析】 把a+b+c=1代入++得
++
=3+++
≥3+2+2+2=9.
【答案】 C
5.設0
3、b=1+x,c=中最大的一個是( )
A.a(chǎn) B.b
C.c D.無法判斷
【解析】 ∵02=>,
∴只需比較1+x與的大小,
∵1+x-==-<0,
∴1+x<.因此c=最大.
【答案】 C
6.(xx·湖北高考)設a,b,c,x,y,z是正數(shù),且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,則=( )
A. B. C. D.
【解析】 由題意可得x2+y2+z2=2ax+2by+2cz,①
①與a2+b2+c2=10相加可得(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=10,
所以不妨令
.則
4、x+y+z=2(a+b+c),
即=.
【答案】 C
二、填空題
7.(xx·南昌模擬)若實數(shù)a,b,c滿足a2+b2+c2=4,則3a+4b+5c的最大值為________.
【解析】 由柯西不等式得(3a+4b+5c)2≤(a2+b2+c2)·(9+16+25)=200,所以-10≤3a+4b+5c≤10,所以3a+4b+5c的最大值為10.
【答案】 10
8.以下三個命題:①若|a-b|<1,則|a|<|b|+1;②若a,b∈R,則|a+b|-2|a|≤|a-b|;③若|x|<2,|y|>3,則<,其中正確命題的序號是________.
【解析】 ①|a|-|b|≤|a
5、-b|<1,所以|a|<|b|+1;
②|a+b|-|a-b|≤|(a+b)+(a-b)|=|2a|,
所以|a+b|-2|a|≤|a-b|;
③|x|<2,|y|>3,所以<,
因此<.
∴①②③均正確.
【答案】?、佗冖?
9.若x>0,則函數(shù)f(x)=3x+的最小值為________.
【解析】 ∵x>0,
∴f(x)=3x+=x+x+
≥3=3 ,
等號成立的條件為x=
∴x=,
∴x=時,f(x)的最小值為3.
【答案】 3
三、解答題
10.(xx·貴州六校聯(lián)盟)設a、b、c均為正實數(shù),求證:++≥++≥++.
【證明】 ∵a,b,c均為正實數(shù),
6、∴+≥≥當a=b時等號成立
+≥≥當b=c時等號成立
+≥≥當a=c時等號成立
三個不等式相加即得
++≥++≥++當且僅當a=b=c時等號成立
即++≥++≥++.
11.(xx·遼寧高考)設函數(shù)f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x+1.記f(x)≤1的解集為M,g(x)≤4的解集為N.
(1)求M;
(2)當x∈M∩N時,證明:x2f(x)+x[f(x)]2≤.
【解】 (1)f(x)=
當x≥1時,由f(x)=3x-3≤1得x≤,故1≤x≤;
當x<1時,由f(x)=1-x≤1得x≥0,故0≤x<1.
所以f(x)≤1的解集為M={x|0≤x≤
7、}.
(2)證明:由g(x)=16x2-8x+1≤4得162≤4,
解得-≤x≤.
因此N=,
故M∩N=.
當x∈M∩N時,f(x)=1-x,
于是x2f(x)+x·[f(x)]2=xf(x)[x+f(x)]
=x·f(x)=x(1-x)=-2≤.
12.(xx·東北三省聯(lián)考)已知a,b,c∈R,a2+b2+c2=1.
(1)求證:|a+b+c|≤;
(2)若不等式|x-1|+|x+1|≥(a-b+c)2對一切實數(shù)a,b,c恒成立,求實數(shù)x的取值范圍.
【解】 (1)由柯西不等式得,(a+b+c)2≤(12+12+12)·(a2+b2+c2)=3,
∴-≤a+b+c≤,所以a+b+c的取值范圍是,
即|a+b+c|≤.
(2)同理,(a-b+c)2≤(a2+b2+c2)=3,
若不等式|x-1|+|x+1|≥(a-b+c)2對一切實數(shù)a,b,c恒成立,則|x-1|+|x+1|≥3,解集為∪.