《2022年高考數(shù)學大一輪復習 第三章 三角函數(shù)、解三角形同步練習 文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2022年高考數(shù)學大一輪復習 第三章 三角函數(shù)、解三角形同步練習 文（112頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、2022年高考數(shù)學大一輪復習 第三章 三角函數(shù)、解三角形同步練習 文 1．了解任意角的概念． 2．了解弧度制的概念，能進行弧度與角度的互化． 3．理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義. 1．角的概念的推廣 (1)定義：角可以看成平面內的一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形． (2)分類 (3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定義和公式 (1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角．弧度記作rad. (2)公式： 角α的弧度數(shù)公式 |α|＝(

2、弧長用l表示) 角度與弧度的換算 ①1°＝rad　②1 rad＝° 弧長公式 弧長l＝|α|r 扇形面積公式 S＝lr＝|α|r2 3.任意角的三角函數(shù) 三角函數(shù) 正弦 余弦 正切 定義 設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么 y叫做α的正弦，記作sin α x叫做α的余弦，記作cos α 叫做α的正切，記作tan α 各象限符號 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 口訣 Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦 三角函 數(shù)線 有向線段 MP為正弦線 有向線段 OM為

3、余弦線 有向線段 AT為正切線 1．三角函數(shù)值的符號規(guī)律 三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律概括為：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 2．三角函數(shù)的定義及單位圓的應用技巧 (1)在利用三角函數(shù)定義時，點P可取終邊上異于原點的任一點，如有可能則取終邊與單位圓的交點，|OP|＝r一定是正值． (2)在解簡單的三角不等式時，利用單位圓及三角函數(shù)線是一個小技巧． 1．判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)小于90°的角是銳角．(　　) (2)銳角是第一象限角，反之亦然．(　　) (3)三角形的內角必是第一、第二象限角．(　　) (4)不相等的角終邊一定

4、不相同．(　　) (5)終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等．(　　) (6)點P(tan α，cos α)在第三象限，則角α終邊在第二象限．(　　) (7)α∈，則tan α>α>sin α.(　　) (8)α為第一象限角，則sin α＋cos α>1.(　　) 答案：　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√　(7)√　(8)√ 2．如圖，在直角坐標系xOy中，射線OP交單位圓O于點P，若∠AOP＝θ，則點P的坐標是(　　) A．(cos θ，sin θ) B．(－cos θ，sin θ) C．(sin θ，cos θ) D．(－sin θ，cos θ

5、) 解析：　由三角函數(shù)的定義可知，點P的坐標是(cos θ，sin θ)． 答案：　A 3．若sin α＜0且tan α＞0，則α是(　　) A．第一象限角　　　　　　 B．第二象限角 C．第三象限角　 D．第四象限角 解析：　由sin α＜0，知α在第三、第四象限或α終邊在y軸的負半軸上，由tan α＞0，知α在第一或第三象限，因此α在第三象限． 答案：　C 4．若點P在角的終邊上，且P的坐標為(－1，y)，則y等于________． 解析：　因tan ＝－＝－y，∴y＝. 答案：　 5．下列與的終邊相同的角的表達式中正確的是________(填序號)． ①2kπ＋4

6、5°(k∈Z)；②k·360°＋(k∈Z)；③k·360°－315°(k∈Z)；④kπ＋(k∈Z)． 解析：　∵＝×180°＝360°＋45°＝720°－315°， ∴與終邊相同的角可表示為k·360°－315°(k∈Z)． 答案：?、? 象限角及終邊相同的角 1．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，則α在(　　) A．第一或第三象限　　　　 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限　 D．第三或第四象限 解析：　當k＝2n(n∈Z)時，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，α為第一象限角． 當k＝2n＋1(n∈Z)時，α＝(2n＋1)·180°＋45°＝n·3

7、60°＋225°，α為第三象限角． 所以α為第一或第三象限角．故選A． 答案：　A 2．(1)寫出終邊在直線y＝x上的角的集合； (2)若角θ的終邊與角的終邊相同，求在[0,2π)內終邊與角的終邊相同的角； (3)已知角α為第三象限角，試確定－α、2α的終邊所在的象限． 解析：　(1)∵在(0，π)內終邊在直線y＝x上的角是， ∴終邊在直線y＝x上的角的集合為 . (2)∵θ＝＋2kπ(k∈Z)， ∴＝＋(k∈Z)． 依題意0≤＋<2π?－≤k<，k∈Z. ∴k＝0,1,2，即在[0,2π)內終邊與相同的角為，，. (3)∵π＋2kπ<α<＋2kπ(k∈Z)， ∴－－

8、2kπ<－α<－π－2kπ(k∈Z)． ∴－α終邊在第二象限． ∴2π＋4kπ<2α<3π＋4kπ(k∈Z)． ∴角2α的終邊在第一、二象限及y軸的非負半軸． 　1.利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需角． 2．利用終邊相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判斷一個角β所在的象限時，只需把這個角寫成[0,2π)范圍內的一個角α與2π的整數(shù)倍的和，然后判斷角α的象限． 扇形的弧長及面積公式 已知一扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長為l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形

9、的弧長l； (2)已知扇形的周長為10，面積是4，求扇形的圓心角； (3)若扇形周長為20 cm，當扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？ 解析：　(1)α＝60°＝ rad， ∴l(xiāng)＝α·R＝×10＝(cm)． (2)設圓心角是θ，半徑是r， 則?(舍去)，故扇形圓心角為. (3)由已知得，l＋2R＝20. 所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以當R＝5時，S取得最大值25， 此時l＝10，α＝2. 　應用弧度制解決問題的方法 (1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度． (2)求扇形面積最大值的問題時

10、，常轉化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決． (3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形． 三角函數(shù)的定義 (1)(xx·全國卷Ⅰ)若tan α>0，則(　　) A．sin 2α>0　 B．cos α>0 C．sin α>0　 D．cos 2α>0 (2)已知角α的終邊上一點P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，求cos α，tan α的值． 解析：　(1)∵tan α＞0，∴α∈(k∈Z)是第一、三象限角． ∴sin α，cos α都可正、可負，排除B，C． 而2α∈(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)， 結合正、余弦函數(shù)圖象可知，A正

11、確． 取α＝，則tan α＝1＞0，而cos 2α＝0，故D不正確． (2)設P(x，y)．由題設知x＝－，y＝m， ∴r2＝|OP|2＝(－)2＋m2(O為原點)，r＝， ∴sin α＝＝＝， ∴r＝＝2，3＋m2＝8，解得m＝±. 當m＝時，r＝2，x＝－，y＝， ∴cos α＝＝－，tan α＝－； 當m＝－時，r＝2，x＝－，y＝－， ∴cos α＝＝－，tan α＝. 答案：　(1)A 1．已知點P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，則在[0,2π]內，α的取值范圍是(　　) A．∪　 B．∪ C．∪　 D．∪ 解析：　由已知得α∈[0,

12、2π]， ∴ 故α∈∪. 答案：　B 2．若角α的終邊過點P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，則m的值為________． 解析：　∵r＝，∴cos α＝＝－， ∴m>0，＝，∴m＝. 答案：　 3．若角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 解析：　設α終邊上任一點為P(－4a,3a)， 當a>0時，r＝5a，sin α＝，cos α＝－，tan α＝－， 當a<0時，r＝－5a，sin α＝－，cos α＝，tan α＝－. 4．(xx·全國卷Ⅰ)如圖，圓O的半徑為1，A是圓上的定點，P是圓上的動點，角x的

13、始邊為射線OA，終邊為射線OP，過點P作直線OA的垂線，垂足為M.將點M到直線OP的距離表示成x的函數(shù)f(x)，則y＝f(x)在[0，π]的圖象大致為(　　) 解析：　以O為坐標原點，射線OA為x軸的正方向，建立坐標系． 則P(cos x，sin x)，M(cos x,0)，故M到直線OP的距離為f(x)＝|sin x·cos x|＝|sin 2x|，x∈[0，π]，故選C． 答案：　C 　用定義法求三角函數(shù)值的兩種情況 (1)已知角α終邊上一點P的坐標，則可先求出點P到原點的距離r，然后用三角函數(shù)的定義求解； (2)已知角α的終邊所在的直線方程，則可先設出終邊上一點的坐標

14、，求出此點到原點的距離，然后用三角函數(shù)的定義來求相關問題． A級　基礎訓練 1．集合{α|kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中的角的終邊所在的范圍(陰影部分)是(　　) 解析：　當k＝2n時，2nπ＋≤α≤2nπ＋；當k＝2n＋1時，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋.故選C． 答案：　C 2．將表的分針撥快10分鐘，則分針旋轉過程中形成的角的弧度數(shù)是(　　) A．　　　　　　　　　　　 B． C．－　 D．－ 解析：　將表的分針撥快應按順時針方向旋轉，為負角，故A、B不正確，又因為撥快10分鐘，故應轉過的角為圓周的. 即為－×2π＝－. 答案：　C 3．已知α是第二象限角

15、，P(x，)為其終邊上一點，且cos α＝x，則x＝(　　) A．　 B．± C．－　 D．－ 解析：　依題意得cos α＝＝x<0，由此解得x＝－，選D． 答案：　D 4．給出下列各函數(shù)值：①sin(－1 000 °)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④.其中符號為負的是(　　) A．①　 B．② C．③　 D．④ 解析：　sin(－1 000°)＝sin 80°＞0；cos(－2 200°)＝cos(－40°)＝cos 40°＞0；tan(－10)＝tan(3π－10)＜0； ＝，sin ＞0，tan ＜0，∴原式＞0. 答案：　C 5．若sin αt

16、an α<0，且<0，則角α是(　　) A．第一象限角　 B．第二象限角 C．第三象限角　 D．第四象限角 解析：　由sin αtan α<0可知sin α，tan α異號，從而α為第二或第三象限角． 由<0可知cos α，tan α異號，從而α為第三或第四象限角． 綜上可知，α為第三象限角． 答案：　C 6．已知扇形的圓心角為，面積為，則扇形的弧長等于________． 解析：　設扇形半徑為r，弧長為l，則， 解得. 答案：　 7．如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，角α的終邊與單位圓交于點A，點A的縱坐標為，則cos α＝________. 解析：　因為A點縱坐

17、標yA＝，且A點在第二象限，又因為圓O為單位圓， 所以A點橫坐標xA＝－， 由三角函數(shù)的定義可得cos α＝－. 答案：　－ 8．設角α是第三象限角，且＝－sin ，則角是第________象限角． 解析：　由α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋(k∈Z)，kπ＋<

18、x2＝1，即x＝±1. 當x＝1時，sin θ＝－，cos θ＝. 因此sin θ＋cos θ＝0； 當x＝－1時，sin θ＝－，cos θ＝－， 因此sin θ＋cos θ＝－. 故sin θ＋cos θ的值為0或－. 10．已知α＝. (1)寫出所有與α終邊相同的角； (2)寫出在(－4π，2π)內與α終邊相同的角； (3)若角β與α終邊相同，則是第幾象限角？ 解析：　(1)所有與α終邊相同的角可表示為 . (2)由(1)，令－4π＜2kπ＋＜2π(k∈Z)， 則有－2－＜k＜1－. 又∵k∈Z，∴取k＝－2，－1,0. 故在(－4π，2π)內與α終邊相同

19、的角是－、－、. (3)由(1)有β＝2kπ＋(k∈Z)，則＝kπ＋(k∈Z)． ∴是第一、三象限的角． B級　能力提升 1．已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ與角α的終邊相同，則y＝＋＋的值為(　　) A．1　 B．－1 C．3　 D．－3 解析：　由α＝2kπ－(k∈Z)，及終邊相同的概念知，角α的終邊在第四象限， 又角θ與角α的終邊相同， 所以角θ是第四象限角， 所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0. 所以y＝－1＋1－1＝－1. 答案：　B 2．滿足cos α≤－的角α的集合為________． 解析：　作直線x＝－交單位圓于C、D兩點，連接

20、OC、OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角α終邊的范圍，故滿足條件的角α的集合為 . 答案：　 3．已知扇形AOB的周長為8. (1)若這個扇形的面積為3，求圓心角的大小； (2)求這個扇形的面積取得最大值時圓心角的大小和弦長AB． 解析：　設扇形AOB的半徑為r，弧長為l，圓心角為α， (1)由題意可得 解得或 ∴α＝＝或α＝＝6. (2)∵2r＋l＝8， ∴S扇＝lr＝l·2r≤2＝×2＝4，當且僅當2r＝l，即α＝＝2時，扇形面積取得最大值4. ∴r＝2， ∴弦長AB＝2sin 1×2＝4sin 1. 4．(1)確定的符號； (2)已知α

21、∈(0，π)，且sin α＋cos α＝m(00，tan 5<0，cos 8<0，∴原式大于0. (2)若0<α<，則如圖所示，在單位圓中，OM＝cos α，MP＝sin α， ∴sin α＋cos α＝MP＋OM>OP＝1. 若α＝，則sin α＋cos α＝1. 由已知00. 第二節(jié)　同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式 1．理解同角三角函數(shù)的基本關系式：sin2α＋cos2α＝1，＝

22、tan α. 2．能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導出±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導公式． 1．同角三角函數(shù)的基本關系 (1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商數(shù)關系：tan α＝. 2．六組誘導公式 組數(shù) 一 二 三 四 五 六 角 α＋2kπ(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin_α －sin α sin α cos_α cos α 余弦 cos α －cos α cos_α －cos α sin α －sin_α 正切 tan α tan α －tan α －

23、tan_α 1．誘導公式記憶口訣 對于角“±α”(k∈Z)的三角函數(shù)記憶口訣“奇變偶不變，符號看象限”，“奇變偶不變”是指“當k為奇數(shù)時，正弦變余弦，余弦變正弦；當k為偶數(shù)時，函數(shù)名不變”．“符號看象限”是指“在α的三角函數(shù)值前面加上當α為銳角時，原函數(shù)值的符號．” 2．三角函數(shù)求值與化簡的常用方法 (1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦． (2)和積轉換法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的關系進行變形、轉化． (3)巧用“1”的變換：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan ＝…. 3．同角三角函

24、數(shù)的基本關系式 sin α＋cos α、sin α－cos α與sin αcos α的關系 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α. 對于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α這三個式子，已知其中一個式子的值，可求其余二式的值． 1．判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)sin2θ＋cos2φ＝1.(　　) (2)同角三角函數(shù)的基本關系式中角α可以是任意角．

25、(　　) (3)六組誘導公式中的角α可以是任意角．(　　) (4)誘導公式的口訣“奇變偶不變，符號看象限”中的“符號”與α的大小無關．(　　) (5)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，則sin α＝.(　　) 答案：　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)× 2．tan 315°的值為(　　) A．　　　　　　　　 　　 B．－ C．1　 D．－1 答案：　D 3．若cos α＝，α∈，則tan α等于(　　) A．－　 B． C．－2　 D．2 答案：　C 4．sin＝________. 解析：　sin＝－sin＝sin＝. 答案：　 5.＝_____

26、___. 解析：　原式＝ ＝＝－1. 答案：?。? 利用誘導公式化簡 1．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，則下列不等關系中必定成立的是(　　) A．sin θ<0，cos θ>0　　　　　 B．sin θ>0，cos θ<0 C．sin θ>0，cos θ>0　 D．sin θ<0，cos θ<0 解析：　sin(θ＋π)<0，∴－sin θ<0，sin θ>0. ∵cos(θ－π)>0，∴－cos θ>0.∴cos θ<0. 答案：　B 2．已知A＝＋(k∈Z)，則A的值構成的集合是(　　) A．{1，－1,2，－2}　 B．{－1,1} C．{

27、2，－2}　 D．{1，－1,0,2，－2} 解析：　當k為偶數(shù)時，A＝＋＝2； k為奇數(shù)時，A＝－＝－2. 答案：　C 3．化簡：＝________. 解析：　原式＝ ＝＝ ＝－＝－·＝－1. 答案：?。? 　利用誘導公式化簡三角函數(shù)的原則 遵循誘導公式先行的原則，即先用誘導公式化簡變形，達到角的統(tǒng)一，再進行三角函數(shù)名稱轉化，以保證三角函數(shù)名稱最少． 利用誘導公式求值 (1)已知sin＝，則cos＝________； (2)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________. 解析：　(1)∵＋＝，

28、 ∴cos＝cos＝sin＝. (2)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°·sin 1 050° ＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°) ＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330° ＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝1. 答案：　(1)　(2)1 1．已知tan＝，則tan＝

29、________. 解析：　∵＋＝π， ∴tan＝－tan ＝－tan＝－. 答案：?。? 2．求值：sin 690°·sin 150°＋cos 930°·cos(－870°)＋tan 120°·tan 1 050°. 解析：　原式＝sin(720°－30°)·sin(180°－30°)＋cos(1 080°－150°)·cos(720°＋150°)＋tan(180°－60°)·tan(1 080°－30°) ＝－sin 30°sin 30°＋cos 150°cos 150°＋tan 60°tan 30° ＝－＋＋1＝. 　1.誘導公式應用的步驟： →→→ 注意：誘導公式應

30、用時不要忽略了角的范圍和三角函數(shù)的符號． 2．巧用相關角的關系會簡化解題過程．常見的互余關系有－α與＋α；＋α與－α；＋α與－α等，常見的互補關系有＋θ與－θ；＋θ與－θ等． 同角三角函數(shù)基本關系式 (1)若tan α＝2，則＋cos2α＝(　　) A．　　　　　　　　　　 B．－ C．　 D．－ (2)已知－

31、－cos x)2＝1－2sin xcos x＝. 又∵－0，sin x－cos x<0， 故sin x－cos x＝－. 答案：　(1)A　(2)－ 1．已知tan α＝2，則(1)＝________. (2)3sin2α＋3sin αcos α－2cos2α＝________. 解析：　(1)法一：∵tan α＝2，∴cos α≠0， ∴＝ ＝＝＝. 法二：由tan α＝2，得sin α＝2cos α，代入得 ＝＝＝. (2)3sin2α＋3sin αcos α－2cos2α ＝＝ ＝＝. 答案：　(1)　(2) 2．

32、(xx·湖北武漢模擬)已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝，則sin α－cos α＝________. 解析：　由sin(π－α)－cos(π＋α)＝， 得sin α＋cos α＝，① 將①兩邊平方得1＋2sin α·cos α＝， 故2sin αcos α＝－. ∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－＝， 又∵<α<π，∴sin α>0，cos α<0. ∴sin α－cos α＝. 答案：　 3．已知＝5，則sin2α－sin αcos α＝________. 解析：　依題意得：＝5，∴tan α＝2. ∴sin2α－sin αco

33、s α＝ ＝＝＝. 答案：　 4．(xx·浙江杭州模擬)若θ∈，sin 2θ＝，則cos θ－sin θ的值是________． 解析：　(cosθ－sin θ)2＝1－sin 2θ＝. ∵<θ<，∴cos θ

34、0，故tan α<0，且2sin αcos α＝＝＝－1，解得tan α＝－1(正值舍)． 答案：　A 6．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三個內角． 解析：　由已知得sin A＝sin B，cos A＝cos B兩式平方相加得2cos2A＝1. 即cos A＝或cos A＝－. (1)當cos A＝時，cos B＝，又角A、B是三角形的內角， ∴A＝，B＝，∴C＝π－(A＋B)＝. (2)當cos A＝－時，cos B＝－. 又角A、B是三角形的內角， ∴A＝，B＝，不合題意． 綜上知，A＝，B＝，C＝.

35、 　同角三角函數(shù)關系式及變形公式的應用： (1)利用sin2α＋cos2α＝1可以實現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以實現(xiàn)角α的弦切互化． (2)應用公式時注意方程思想的應用：對于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α這三個式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． A級　基礎訓練 1．sin＋2sin＋3sin等于(　　) A．1　　　　　　　　　　　 B． C．0　 D．－1 解析：　原式＝－sin－2sin＋3sin＝0. 答案：　C 2．已知cos＝，且|φ|<，則tan φ＝(　

36、　) A．－　 B． C．－　 D． 解析：　cos＝sin φ＝， 又|φ|<，則cos φ＝，所以tan φ＝. 答案：　D 3．若角α的終邊落在第三象限，則＋的值為(　　) A．3　 B．－3 C．1　 D．－1 解析：　由角α的終邊落在第三象限得sin α＜0，cos α＜0，故原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3. 答案：　B 4．(xx·福建泉州期末)已知tan α＝2，則＝(　　) A．　 B．－ C．　 D． 解析：　因為tan α＝2，所以sin α＝2cos α，cos α＝sin α. 又因為sin2α＋cos2α＝1，所以解得sin2α＝.所以＝＝

37、＝＝.故選D． 答案：　D 5．已知函數(shù)f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos (πx＋β)，且f(4)＝3，則f(2 015)的值為(　　) A．－1　 B．1 C．3　 D．－3 解析：　∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β) ＝asin α＋bcos β＝3， ∴f(2 015)＝asin(2 015π＋α)＋bcos(2 015π＋β) ＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β) ＝－asin α－bcos β ＝－(asin α＋bcos β)＝－3. 即f(2 015)＝－3. 答案：　D 6．已知＝2，則tan α＝________.

38、解析：　由已知得＝2，則5sin α＝cos α，所以tan α＝. 答案：　 7．已知角α終邊上一點P(－4,3)，則的值為________． 解析：　∵tan α＝＝－， ∴＝ ＝tan α＝－. 答案：?。? 8．(xx·福建福州模擬)已知sin(3π＋θ)＝，則＋的值為________． 解析：　∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝， ∴sin θ＝－. ∴原式＝＋ ＝＋ ＝＋＝ ＝＝＝18. 答案：　18 9．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)sin(－1 050°)＋tan 945°. 解析：　原式＝－sin

39、 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945° ＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225° ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45° ＝×＋×＋1＝2. 10．已知sin α＝，求tan(α＋π)＋的值． 解析：　∵sin α＝>0，∴α為第一或第二象限角． tan(α＋π)＋＝tan α＋ ＝＋＝. (1)當α是第一象限角時，cos α＝＝， 原式＝＝. (2)當α是第二象限角時，cos α＝－＝－， 原式

40、＝＝－. B級　能力提升 1．設A，B，C為△ABC的三個內角，有以下表達式： (1)sin(A＋B)＋sin C； (2)cos(A＋B)＋cos C； (3)tantan ； (4)sin2＋sin2. 不管△ABC的形狀如何變化，始終是常數(shù)的表達式有(　　) A．1個　 B．2個 C．3個　 D．4個 解析：　(1)sin(A＋B)＋sin C＝sin(π－C)＋sin C＝2sin C，不是常數(shù)； (2)cos(A＋B)＋cos C＝cos(π－C)＋cos C＝－cos C＋cos C＝0，是常數(shù)； (3)tantan ＝tantan ＝1，是常數(shù)； (4)

41、sin2＋sin2＝sin2＋sin2＝cos2＋sin2＝1，是常數(shù)．故始終是常數(shù)的表達式有3個，選C． 答案：　C 2．若tan α＝，α∈(π，2π)，則cos α＝________. 解析：　由tan α＝＝和sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝. 當m>0時，α為第三象限角，cos α<0， 所以cos α＝－＝－； 當m<0時，α為第四象限角，cos α>0， 所以cos α＝＝－. 故cos α＝－. 答案：?。? 3．已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值： (1)；(2)sin2α＋sin 2α. 解析：　由已知得sin α＝2cos α

42、. (1)原式＝＝－. (2)原式＝ ＝＝. 4．已知sin θ，cos θ是關于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的兩個根． (1)求cos＋sin的值； (2)求tan(π－θ)－的值． 解析：　由題意知原方程根的判別式Δ≥0，即(－a)2－4a≥0，∴a≥4或a≤0.又，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴a2－2a－1＝0，∴a＝1－或a＝1＋(舍去)，∴sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－. (1)cos＋sin＝－sin θ－cos θ＝－1. (2)tan(π－θ)－＝－tan θ－＝－－＝－＝－＝＋1. 第三節(jié)　兩角和

43、與差的正弦、余弦和正切公式 1．能畫出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的圖象，了解三角函數(shù)的周期性． 2．理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π]上的性質(如單調性、最大值和最小值，圖象與x軸的交點等)，理解正切函數(shù)在區(qū)間內的單調性． 1．兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； cos(α?β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β； tan(α±β)＝. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2

44、sin2α； tan 2α＝. 1．有關公式的逆用、變形等 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)； (2)cos2α＝，sin2α＝； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝sin. 2．三角公式內在關系 1．判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(　　) (2)存在實數(shù)α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　) (3)公式tan(α＋β)＝可以

45、變形為tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且對任意角α，β都成立．(　　) (4)存在實數(shù)α，使tan 2α＝2tan α.(　　) 答案：　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．若sin ＝，則cos α＝(　　) A．－　　　　　　　　　 B．－ C．　 D． 解析：　因為sin ＝，所以cos α＝1－2sin2＝1－2×2＝. 答案：　C 3．cos 33°cos 87°＋sin 33°cos 177°的值為(　　) A．　 B．－ C．　 D．－ 解析：　cos 33°cos 87°＋sin 33°cos 177° ＝c

46、os 33°sin 3°－sin 33°cos 3° ＝sin(3°－33°)＝－sin 30°＝－. 答案：　B 4．若cos α＝－，α是第三象限的角，則sin＝________. 解析：　由于α是第三象限角且cos α＝－，∴sin α＝－， ∴sin＝sin αcos＋cos αsin ＝＝－. 答案：?。? 5．設sin 2α＝－sin α，α∈，則tan 2α的值是________． 解析：　∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－，又α∈，∴sin α＝，tan α＝－，∴tan 2α＝＝＝. 答案：　 三角函數(shù)公式的基本應用

47、 1．(xx·山東威海二模)在△ABC中，若cos A＝，cos B＝，則cos C＝(　　) A．　　　　　　　　　 B． C．　 D． 解析：　在△ABC中，00，cos B＝>0，得0

48、(xx·江蘇卷)已知α∈，sin α＝. (1)求sin的值； (2)求cos的值． 解析：　(1)因為α∈，sin α＝， 所以cos α＝－＝－. 故sin＝sin cos α＋cos sin α ＝×＋×＝－. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝， 所以cos＝cos cos 2α＋sinsin 2α ＝×＋×＝－. 　兩角和與差的三角函數(shù)公式可看作是誘導公式的推廣，可用α、β的三角函數(shù)表示α±β的三角函數(shù)，在使用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，特別要注意角與角之間的關系，完成統(tǒng)一角和角與角轉換的

49、目的． 三角函數(shù)公式的活用 (1)若α＋β＝，則(1－tan α)(1－tan β)的值是________． (2)化簡：＝________. 解析：　(1)－1＝tan ＝tan(α＋β)＝， ∴tan αtan β－1＝tan α＋tan β. ∴1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2， 即(1－tan α)(1－tan β)＝2. (2)原式＝ ＝＝ ＝＝cos 2x. 答案：　(1)2　(2)cos 2x 1.的值為(　　) A．－　　　　　　　　 B． C．　 D．－ 解析：?。? ＝＝＝. 答案：　B 2．若(4tan α＋1)(

50、1－4tan β)＝17，則tan(α－β)等于(　　) A．　 B． C．4　 D．12 解析：　由已知得4tan α－16tan αtan β＋1－4tan β＝17， ∴tan α－tan β＝4(1＋tan αtan β)， ∴tan(α－β)＝＝4. 答案：　C 　運用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，不但要熟練、準確，而且要熟悉公式的逆用及變形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多種變形等．公式的逆用和變形應用更能開拓思路，培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉化的能力，只有熟悉了公式的逆用和變形應用后，才能真正掌握公式的應用．

51、 角的變換 (1)已知tan＝2，則tan的值為________． (2)已知α∈，β∈，cos(α＋β)＝－，＝，則cos＝(　　) A．－　 B．－ C．　 D． 解析：　(1)∵tan＝2， ∴tan＝tan ＝＝. (2)因為α∈，β∈， 所以(α＋β)∈，∈. 又因為cos(α＋β)＝－，cos＝， 所以sin(α＋β)＝，sin＝， 所以cos＝cos ＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin ＝－×＋×＝. 答案：　(1)　(2)C 1．設tan(α＋β)＝，tan＝，則tan＝(　　) A．　 B． C．　 D． 解析：　ta

52、n＝tan ＝＝. 答案：　C 2．若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，則cos＝(　　) A．　 B．－ C．　 D．－ 解析：　cos＝cos ＝coscos＋sinsin， ∵0<α<， 則<＋α<，∴sin＝. 又－<β<0，則<－<， ∴sin＝. 故cos＝×＋×＝. 答案：　C 3．(xx·湖南懷化質檢)設α，β∈(0，π)，且sin(α＋β)＝，tan ＝，則cos β＝________. 解析：　∵tan ＝，∴tan α＝＝＝，結合α∈(0，π)，可知α∈.由tan α＝＝及sin2α＋cos2α＝1，得sin α＝，cos α＝.

53、又sin(α＋β)＝<，∴α＋β∈，cos(α＋β)＝－. ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝－. 答案：?。? 4．已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α、β∈，則cos(α－β)的值等于(　　) A．－　 B． C．－　 D． 解析：　∵α、β∈，∴α＋β∈(0，π)， ∴sin α＝＝＝， sin(α＋β)＝＝＝. ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝， ∴sin β＝＝＝， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋

54、sin αsin β＝×＋×＝. 答案：　D 　1.當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式． 2．當“已知角”有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系，然后應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”． 3．常見的配角技巧： α＝2·；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)； α＝[(α＋β)＋(α－β)]；β＝[(α＋β)－(α－β)]； ＋α＝－. A級　基礎訓練 1．化簡cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°的值為(　　) A．　　　　　　　　　　 B． C．－　 D．－ 解析：　cos 15°c

55、os 45°－cos 75°sin 45° ＝cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45° ＝cos(15°＋45°)＝cos 60°＝，故選A． 答案：　A 2．設α，β都是銳角，那么下列各式中成立的是(　　) A．sin(α＋β)＞sin α＋sin β B．cos(α＋β)＞cos αcos β C．sin(α＋β)＞sin(α－β) D．cos(α＋β)＞cos(α－β) 解析：　∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， sin(α－β)＝sin αcos β－cos α sin β， 又∵α、β都是銳角，∴cos αsin

56、 β＞0， 故sin(α＋β)＞sin(α－β)． 答案：　C 3．已知cos＝－，則cos x＋cos的值是(　　) A．－　 B．± C．－1　 D．±1 解析：　cos x＋cos ＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x ＝＝cos＝－1. 答案：　C 4.－＝(　　) A．4　 B．2 C．－2　 D．－4 解析：?。剑剑剑剑剑?. 答案：　D 5．(xx·蘭州檢測)在斜三角形ABC中，sin A＝－cos B·cos C，且tan B·tan C＝1－，則角A的值為(　　) A．　 B． C．　 D． 解析：　由題意知，s

57、in A＝－cos B·cos C＝sin(B＋C)＝sin B·cos C＋cos B·sin C，在等式－cos B·cos C＝sin B·cos C＋cos B·sin C兩邊同除以cos B·cos C得tan B＋tan C＝－，又tan(B＋C)＝＝－1＝－tan A，即tan A＝1，所以A＝. 答案：　A 6．tan 15°＋tan 30°＋tan 15°·tan 30°的值是________． 解析：　原式＝tan(15°＋30°)·(1－tan 15°·tan 30°)＋tan 15°·tan 30°＝tan 45°(1－tan 15°·tan 30°)＋tan 1

58、5°·tan 30°＝1. 答案：　1 7．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，則sin＝________. 解析：　依題意可將已知條件變形為 sin[(α－β)－α]＝－sin β＝，sin β＝－. 又β是第三象限角，因此有cos β＝－. sin＝－sin ＝－sin βcos －cos βsin ＝. 答案：　 8．(xx·河北高陽中學上學期第一次月考)已知sin α＝＋cos α，且α∈，則的值為________． 解析：　∵sin α＝＋cos α， ∴sin α－cos α＝，則(sin α－cos α)2＝1－2s

59、in αcos α＝.∵α∈，∴sin α＋cos α＝＝＝.則＝＝－(sin α＋cos α)＝－×＝－. 答案：　－ 9．化簡：. 解析：　∵ ＝ ＝ ＝＝ ＝＝＝tan α. 10．已知α，β均為銳角，且sin α＝，tan(α－β)＝－. (1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值． 解析：　(1)∵α，β∈， 從而－＜α－β＜. 又∵tan(α－β)＝－＜0， ∴－＜α－β＜0. ∴sin(α－β)＝－. (2)由(1)可得，cos(α－β)＝. ∵α為銳角，且sin α＝，∴cos α＝. ∴cos β＝cos[α－(α－β)] ＝

60、cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝×＋×＝. B級　能力提升 1．cos ·cos ·cos＝(　　) A．－　 B．－ C．　 D． 解析：　cos ·cos ·cos＝cos 20°·cos 40°·cos 100° ＝－cos 20°·cos 40°·cos 80° ＝－ ＝－＝－ ＝－＝－＝－. 答案：　A 2．已知＝1，tan(β－α)＝－，則tan(β－2α)＝________. 解析：　∵＝1，∴2tan α＝1，即tan α＝. ∴tan(β－2α)＝tan(β－α－α) ＝＝＝－1. 答案：　－1 3．已知tan＝.

61、 (1)求tan α的值； (2)求的值． 解析：　(1)法一：tan＝＝. 由tan＝，有＝. 解得tan α＝－. 法二：tan α＝tan ＝＝＝－. (2)法一： ＝＝ ＝tan α－＝－－＝－. 法二：由(1)知tan α＝－，得sin α＝－cos α. ∴sin2α＝cos2α，1－cos2α＝cos2α.∴cos2α＝. 于是cos 2α＝2cos2α－1＝， sin 2α＝2sin αcos α＝－cos2α＝－. ∴＝＝－. 4．已知sin α＋cos α＝，α∈，sin＝，β∈. (1)求sin 2α和tan 2α的值； (2)求cos(

62、α＋2β)的值． 解析：　(1)由題意得(sin α＋cos α)2＝， 即1＋sin 2α＝，∴sin 2α＝. 又2α∈，∴cos 2α＝＝， ∴tan 2α＝＝. (2)∵β∈，β－∈， sin＝，∴cos＝， 于是sin 2＝2sincos＝. 又sin 2＝－cos 2β，∴cos 2β＝－， 又2β∈，∴sin 2β＝， 又cos2α＝＝，α∈， ∴cos α＝，sin α＝. ∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β ＝×－×＝－. 第四節(jié)　簡單的三角恒等變換 1．了解函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的物理意義，能畫出

63、函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，了解參數(shù)A，ω，φ對函數(shù)圖象變化的影響． 2．了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，會用三角函數(shù)解決一些簡單的實際問題． 半角公式 三角恒等變換的兩個基本方向 一是變換函數(shù)名稱，可以使用誘導公式、同角三角函數(shù)關系、二倍角的余弦公式等；二是變換角的形式，可以使用兩角和與差的三角函數(shù)公式、倍角公式、對角進行代數(shù)形式的變換等． 1．判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)當α是第一象限角時，sin ＝.(　　) (2)對任意角α，tan2＝都成立．(　　) (3)半角的正余弦公式實質就是將倍角的余弦公式逆求

64、而得來的．(　　) 答案：　(1)×　(2)×　(3)√ 2．下列各式的值為的是(　　) A．2cos2－1　　　　　　 B．1－2sin275° C．　 D．sin 15°cos 15° 答案：　D 3．已知cos α＝，α∈(π，2π)，則cos 等于(　　) A．　 B．－ C．　 D．－ 解析：　∵cos α＝，α∈(π，2π)，∴∈， ∴cos ＝－＝－ ＝－ . 答案：　B 4．已知銳角α滿足cos 2α＝cos，則sin 2α＝________. 答案：　 5．若f(x)＝2tan x－，則f的值為________． 解析：　∵f(x)＝2tan x

65、＋＝2tan x＋＝＝，∴f＝＝8. 答案：　8 利用三角恒等變換化簡求值 (1)化簡：. (2)計算：. 解析：　(1)原式＝ ＝＝ ＝＝cos 2x. (2)原式＝ ＝＝－4. 1．化簡(0<θ<π)． 解析：　原式＝ ＝ ＝. 因為0<θ<π，所以0<<.所以cos >0. 所以原式＝－cos θ. 2．求值：sin 50°(1＋tan 10°)． 解析：　sin 50°(1＋tan 10°) ＝sin 50°· ＝sin 50°·＝1. 　1.三角函數(shù)式的化簡的三個原則 (1)一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角

66、進行合理的拆分，從而正確使用公式． (2)二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有“切化弦”． (3)三看“結構特征”，分析結構特征，可以幫助我們找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分”等． 2．給角求值的策略 給角求值問題的基本特點是式子中含有已知角，但均為非特殊角，所以無法直接代入求得結果，解題的基本策略是善于發(fā)現(xiàn)角間的關系，通過三角公式的運用，或者產生特殊角，代值求解，或者式子中出現(xiàn)正項和負項相抵消，或者出現(xiàn)分子和分母相約分等情況，從而求得結果． 三角函數(shù)的給值求值 (xx·廣東卷)已知函數(shù)f(x)＝Asin，x∈R，且f＝. (1)求A的值； (2)若f(θ)＋f(－θ)＝，θ∈，求f. 解析：　(1)∵f(x)＝Asin，且f＝， ∴Asin＝，∴A＝. (2)∵f(x)＝sin，且f(θ)＋f(－θ)＝， ∴f(θ)＋f(－θ)＝sin＋sin ＝·2cos θsin ＝cos θ＝. ∴cos θ＝且θ∈，∴sin θ＝＝. ∴f＝sin＝sin θ＝. 1．已知函數(shù)f(x)＝3sin， 若f(θ)－f(