《2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第5講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)教學(xué)案 理 北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第5講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)教學(xué)案 理 北師大版（17頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第5講　指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 一、知識(shí)梳理 1．根式 (1)根式的概念 ①若xn＝a，則x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N＋..式子叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù)． ②a的n次方根的表示： xn＝a? (2)根式的性質(zhì) ①()n＝a(n∈N＋.，且n>1)； ②＝ 2．有理數(shù)指數(shù)冪 (1)冪的有關(guān)概念 ①正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a＝(a>0，m，n∈N＋.，且n>1)； ②負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a－＝＝(a>0，m，n∈N＋.，且n>1)； ③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無(wú)意義． (2)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) ①aras＝ar＋s(a>0，r，s

2、∈Q)； ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 3．指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) y＝ax (a>0且a≠1) a>1 00時(shí)，y>1；當(dāng)x<0時(shí)，00時(shí)，01 在R上是增函數(shù) 在R上是減函數(shù) 常用結(jié)論 1．指數(shù)函數(shù)圖象的畫(huà)法 畫(huà)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0，1)，. 2. 指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較 如圖是指數(shù)函

3、數(shù)(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系為c>d>1>a>b>0.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)的圖象越高，底數(shù)越大． 3．指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象和性質(zhì)跟a的取值有關(guān)，要特別注意應(yīng)分a>1與0

4、稱． 解析：作出y＝2x與y＝2－x＝的圖象(圖略)，觀察可知其關(guān)于y軸對(duì)稱． 答案：y軸 3．已知函數(shù)f(x)＝ax－2＋2(a>0且a≠1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，則A的坐標(biāo)為_(kāi)_______． 解析：令x－2＝0，則x＝2，f(2)＝3，即A的坐標(biāo)為(2，3)． 答案：(2，3) 一、思考辨析 判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)＝()n＝a.(　　) (2)(－1)＝(－1)＝.(　　) (3)函數(shù)y＝a－x是R上的增函數(shù)．(　　) (4)函數(shù)y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．(　　) (5)函數(shù)y＝2x－1是指數(shù)函數(shù)．(　　) (6)

5、若am0，且a≠1)，則m

6、___． 解析：當(dāng)a>1時(shí)，a＝2；當(dāng)00且2≠1. 答案：(0，1)∪(1，＋∞) 　　　　　　指數(shù)冪的化簡(jiǎn)與求值(自主練透) 1．化簡(jiǎn)·(a>0，b>0)＝________． 解析：原式＝2×＝21＋3×10－1＝. 答案： 2．計(jì)算：＋0.002－－10(－2)－1＋π0＝________． 解析：原式＝＋500－＋1＝＋10－10－20＋1＝－. 答案：－ 3．化簡(jiǎn)：÷×＝________(a>0)． 解析：原式＝÷×＝a(a

7、－2b)××＝a2. 答案：a2 指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則 (1)有括號(hào)的先算括號(hào)里的，無(wú)括號(hào)的先算指數(shù)運(yùn)算． (2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)． (3)底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù)． (4)若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)解答． [提醒]　運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)，形式力求統(tǒng)一．　 　　　　　　指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用(典例遷移) (1)函數(shù)f(x)＝21－x的大致圖象為(　　) (2)若函數(shù)y＝|3x－1|在(－∞，k]上遞減，則k的取值范圍為_(kāi)

8、_______． 【解析】　(1)函數(shù)f(x)＝21－x＝2×，遞減且過(guò)點(diǎn)(0，2)，選項(xiàng)A中的圖象符合要求． (2)函數(shù)y＝|3x－1|的圖象是由函數(shù)y＝3x的圖象向下平移一個(gè)單位后，再把位于x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的，函數(shù)圖象如圖所示． 由圖象知，其在(－∞，0]上遞減，所以k的取值范圍為(－∞，0]． 【答案】　(1)A　(2)(－∞，0] 【遷移探究1】　(變條件)本例(2)變?yōu)椋喝艉瘮?shù)f(x)＝|3x－1|－k有一個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍為_(kāi)_______． 解析： 函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn)，即y＝|3x－1|與y＝k有一個(gè)交點(diǎn)．由本例(2)得y＝

9、|3x－1|的圖象如圖所示， 故當(dāng)k＝0或k≥1時(shí)，直線y＝k與函數(shù)y＝|3x－1|的圖象有唯一的交點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn)． 答案：{0}∪[1，＋∞) 【遷移探究2】　(變條件)若本例(2)的條件變?yōu)椋汉瘮?shù)y＝|3x－1|＋m的圖象不經(jīng)過(guò)第二象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 解析：作出函數(shù)y＝|3x－1|＋m的圖象如圖所示． 由圖象知m≤－1，即m∈(－∞，－1]． 答案：(－∞，－1] 應(yīng)用指數(shù)函數(shù)圖象的4個(gè)技巧 (1)畫(huà)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0，1)，. (2)已知函數(shù)解析式判斷其圖象一般

10、是取特殊點(diǎn)，判斷所給的圖象是否過(guò)這些點(diǎn)，若不滿足則排除． (3)對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問(wèn)題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過(guò)平移、伸縮、對(duì)稱變換而得到．特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類(lèi)討論． (4)有關(guān)指數(shù)方程、不等式問(wèn)題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解．　 1. 函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．a(chǎn)>1，b<0　　　 B．a(chǎn)>1，b>0 C．00 D．0

11、減，所以0

12、＝25，則(　　) A．b

13、－e－x，則f(x)在R上單調(diào)遞增，又f(x－1)＞－e2＝f(－2)，所以x－1＞－2，解得x＞－1，故選B. 【答案】　(1)A　(2)B 角度二　指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性 (1)函數(shù)f(x)＝的減區(qū)間為_(kāi)_______． (2)已知函數(shù)f(x)＝2|2x－m|(m為常數(shù))，若f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，則m的取值范圍是________． 【解析】　(1)設(shè)u＝－x2＋2x＋1， 因?yàn)閥＝在R上為減函數(shù)， 所以函數(shù)f(x)＝的減區(qū)間即為函數(shù)u＝－x2＋2x＋1的增區(qū)間． 又u＝－x2＋2x＋1的增區(qū)間為(－∞，1]， 所以f(x)的減區(qū)間為(－∞，1]． (2

14、)令t＝|2x－m|，則t＝|2x－m|在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．而y＝2t為R上的增函數(shù)，所以要使函數(shù)f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，則有≤2，即m≤4，所以m的取值范圍是(－∞，4]． 【答案】　(1)(－∞，1]　(2)(－∞，4] 角度三　指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合問(wèn)題 已知函數(shù)f(x)＝. (1)若f(x)有最大值3，求a的值； (2)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值． 【解】　(1)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝， 由于f(x)有最大值3， 所以g(x)應(yīng)有最小值－1， 因此必有解得a＝1， 即當(dāng)f(x)有最大值3時(shí)，a的

15、值等于1. (2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝， 由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知， 要使y＝的值域?yàn)?0，＋∞)． 應(yīng)使g(x)＝ax2－4x＋3的值域?yàn)镽， 因此只能a＝0.(因?yàn)槿鬭≠0，則g(x)為二次函數(shù)，其值域不可能為R) 故f(x)的值域?yàn)?0，＋∞)時(shí)，a的值為0. (1)利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小或解不等式，最重要的是“同底”原則． (2)求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題，要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問(wèn)題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷．　 1．設(shè)a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，則a，b，c的大小關(guān)

16、系是　(　　) A．a(chǎn)＜b＜c　　　　　　 B．a(chǎn)＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a 解析：選C.因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y＝0.6x在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)， 所以0.60.6＞0.61.5，即a＞b， 又0＜0.60.6＜1，1.50.6＞1， 所以a＜c， 故選C. 2．若偶函數(shù)f(x)滿足f(x)＝2x－4(x≥0)，則不等式f(x－2)>0的解集為_(kāi)_______． 解析：因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)， 當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，則f(x)＝f(－x)＝2－x－4. 所以f(x)＝ 當(dāng)f(x－2)>0時(shí)，有或 解得x>4或x<0. 所以不等式的解集為{x|x>4或x<0

17、}． 答案：{x|x>4或x<0} 3．已知函數(shù)f(x)＝(a>0且a≠1)． (1)求f(x)的定義域和值域； (2)討論f(x)的奇偶性； (3)討論f(x)的單調(diào)性． 解：(1)f(x)的定義域是R，令y＝，得ax＝－，因?yàn)椤?在定義域內(nèi)恒成立，所以y≠1. 因?yàn)閍x>0，所以－>0， 解得－11時(shí)，a x2

18、>ax1>0， 從而ax1＋1>0，a x2＋1>0，ax1－a x2<0， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)a x2>0， 從而ax1＋1>0，a x2＋1>0，ax1－a x2>0， 所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，f(x)為R上的減函數(shù)． [基礎(chǔ)題組練] 1．函數(shù)f(x)＝1－e|x|的圖象大致是(　　) 解析：選A.將函數(shù)解析式與圖象對(duì)比分析，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝1－e|x|是偶函數(shù)，且值域是(－∞，0]，只有A滿足上述兩個(gè)性質(zhì)． 2．(2019·高考全國(guó)卷Ⅰ)已

19、知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，則(　　) A．a(chǎn)1，c＝0.20.3∈(0，1)，所以a

20、故選D. 4．已知函數(shù)f(x)＝則函數(shù)f(x)是(　　) A．偶函數(shù)，在[0，＋∞)上是增加的 B．偶函數(shù)，在[0，＋∞)上是減少的 C．奇函數(shù)，且是增加的 D．奇函數(shù)，且是減少的 解析：選C.易知f(0)＝0，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝1－2－x，－f(x)＝2－x－1，此時(shí)－x<0，則f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝2x－1，－f(x)＝1－2x，此時(shí)－x>0，則f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．即函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且單調(diào)遞增，故選C. 5．設(shè)x>0，且1

21、0，所以b>1， 因?yàn)閎x1， 因?yàn)閤>0，所以>1， 所以a>b，所以10，且a≠1)的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，則ab的取值范圍是________． 解析：因?yàn)楹瘮?shù)y＝ax－b的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，所以函數(shù)y＝ax－b遞減且其圖象與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上．令x＝0，則y＝a0－b＝1－b，由題意得解得故ab∈(0，1)． 答案：(0，1) 7．不等式<恒成立，則a的取值范圍是________． 解析：由題意，y＝是減函數(shù)，

22、 因?yàn)?恒成立， 所以x2＋ax>2x＋a－2恒成立， 所以x2＋(a－2)x－a＋2>0恒成立， 所以Δ＝(a－2)2－4(－a＋2)<0， 即(a－2)(a－2＋4)<0， 即(a－2)(a＋2)<0， 故有－2

23、能成立． 答案：①②⑤ 9．設(shè)f(x)＝. (1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性； (2)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上的單調(diào)性． 解：(1)根據(jù)題意，f(x)＝， 則f(－x)＝＝＝＝f(x)， 所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)． (2)因?yàn)閒(x)＝＝－x＋， 所以f′(x)＝－1＋＝－1＋－， 因?yàn)閤＞0，所以2x＋1＞2， 所以＜1， 所以－1＋＜0， 所以f′(x)＜0， 故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是減少的． 10．已知函數(shù)f(x)＝2a·4x－2x－1. (1)當(dāng)a＝1時(shí)，求函數(shù)f(x)在x∈[－3，0]上的值域； (2)若關(guān)于x的方程f(x)＝0

24、有解，求a的取值范圍． 解：(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝2·4x－2x－1 ＝2(2x)2－2x－1， 令t＝2x，x∈[－3，0]，則t∈. 故y＝2t2－t－1＝2－， t∈，故值域?yàn)? (2)關(guān)于x的方程2a(2x)2－2x－1＝0有解， 設(shè)2x＝m>0， 等價(jià)于方程2am2－m－1＝0在(0，＋∞)上有解， 記g(m)＝2am2－m－1， 當(dāng)a＝0時(shí)，解為m＝－1<0，不成立． 當(dāng)a<0時(shí)，開(kāi)口向下，對(duì)稱軸m＝<0， 過(guò)點(diǎn)(0，－1)，不成立． 當(dāng)a>0時(shí)，開(kāi)口向上， 對(duì)稱軸m＝>0，過(guò)點(diǎn)(0，－1)，必有一個(gè)根為正，綜上得a>0. [綜合題組練] 1．

25、已知0aa，babb，所以在ab，ba，aa，bb中最大的是ab.故選C. 2．已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，則下列結(jié)論中，一定成立的是(　　) A．a(chǎn)<0，b<0，c<0 B．a(chǎn)<0，b≥0，c>0 C．2－a<2c D．2a＋2c<2 解析：選D. 作出函數(shù)f(x)＝|2x－1|的圖象

26、，如圖， 因?yàn)閍f(c)>f(b)， 結(jié)合圖象知，00， 所以0<2a<1. 所以f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1， 所以f(c)<1，所以0f(c)， 所以1－2a>2c－1， 所以2a＋2c<2，故選D. 3．設(shè)y＝f(x)在(－∞，1]上有定義，對(duì)于給定的實(shí)數(shù)K，定義fK(x)＝給出函數(shù)f(x)＝2x＋1－4x，若對(duì)于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，則(　　) A．K的最大值為0 B．K的最小值為0 C．K的最

27、大值為1 D．K的最小值為1 解析：選D.根據(jù)題意可知，對(duì)于任意x∈(－∞，1]，若恒有fK(x)＝f(x)，則f(x)≤K在x≤1上恒成立，即f(x)的最大值小于或等于K即可． 令2x＝t，則t∈(0，2]，f(t)＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，可得f(t)的最大值為1，所以K≥1，故選D. 4．設(shè)a>0，且a≠1，函數(shù)y＝a2x＋2ax－1在[－1，1]上的最大值是14，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______． 解析：令t＝ax(a>0，且a≠1)， 則原函數(shù)化為y＝f(t)＝(t＋1)2－2(t>0)． ①當(dāng)0

28、函數(shù)． 所以f(t)max＝f＝－2＝14. 所以＝16，解得a＝－(舍去)或a＝. ②當(dāng)a>1時(shí)，x∈[－1，1]，t＝ax∈， 此時(shí)f(t)在上是增函數(shù)．所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)．綜上得a＝或3. 答案：或3 5．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)． (1)求a，b的值； (2)若對(duì)任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范圍． 解：(1)因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0， 即＝0，解得b＝1， 所以f(x)＝. 又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2. (2)由(1)知f(x)＝＝－＋， 由上式易知f(x)在R上為減函數(shù)， 又因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)， 從而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等價(jià)于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)． 因?yàn)閒(x)是R上的減函數(shù)，由上式推得t2－2t>－2t2＋k. 即對(duì)一切t∈R有3t2－2t－k>0， 從而Δ＝4＋12k<0， 解得k<－. 故k的取值范圍為. 17