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2022年高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 考前回扣 不等式選講檢測試題 文 選修4-5

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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 考前回扣 不等式選講檢測試題 文 選修4-5 1.(xx·山東卷)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是(  ) A.(-∞,4) B.(-∞,1) C.(1,4) D.(1,5) 答案:A 解析:①當(dāng)x<1時,原不等式等價于1-x-(5-x)<2,即-4<2,∴x<1. ②當(dāng)1≤x≤5時,原不等式等價于x-1-(5-x)<2,即x<4,∴1≤x<4. ③當(dāng)x>5時,原不等式等價于x-1-(x-5)<2,即4<2,無解. 由①②③知x<4. 2.(xx·重慶卷)若函數(shù)f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值為5,則實數(shù)a=_____

2、___. 答案:-6或4 解析:當(dāng)a≤-1時, f(x)= ∴f(x)min=-a-1,∴-a-1=5,∴a=-6. 當(dāng)a>-1時, f(x)= ∴f(x)min=a+1,∴a+1=5,∴a=4. 綜上,a=-6或a=4. 3.設(shè)函數(shù)f(x)=+|x-a|(a>0). (1)證明:f(x)≥2; (2)若f(3)<5,求a的取值范圍. 解:(1)證明:由a>0,有f(x)=+|x-a|≥=+a≥2. 當(dāng)且僅當(dāng)a=1時等號成立. 所以f(x)≥2. (2)f(3)=+|3-a|. 當(dāng)a>3時,f(3)=a+, 由f(3)<5得3

3、)=6-a+, 由f(3)<5得0,b>0,且+=. (1)求a3+b3的最小值; (2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并說明理由. 解:(1)由=+≥,得ab≥2, 且當(dāng)a=b=時等號成立. 故a3+b3≥2≥4,且當(dāng)a=b=時,等號成立. 所以a3+b3的最小值為4. (2)由(1)知,2a+3b≥2·≥4. 由于4>6,從而不存在a,b使得2a+3b=6. 5.(xx·陜西卷)已知關(guān)于x的不等式|x+a|<b的解集為{x|2<x<4}. (1)求實數(shù)a,b的值; (2)求+的最大值. 解:(1)由|x+a|

4、0,b>0,且a+b=+.證明: (1)a+b≥2; (2)a2+a<2與b2+b<2不可能同時成立. 證明:由a+b=+=,a>0,b>0,得ab=1. (1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2=2,即a+b≥2. (2)假設(shè)a2+a<2與b2+b<2同時成立, 則由a2+a<2及a>0得0

5、b都是實數(shù),a≠0,f(x)=|x-1|+ |x-2|. (1)若f(x)>2,求實數(shù)x的取值范圍; (2)若|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)對滿足條件的所有a,b都成立,求實數(shù)x的取值范圍. 解:(1)f(x)= 由f(x)>2得或 解得x<或x>. 故所求實數(shù)x的取值范圍為∪ . (2)由|a+b|+|a-b|≥|a|f(x)且a≠0得 ≥f(x). 又∵≥=2,∴f(x)≤2. ∵f(x)>2的解集為, ∴f(x)≤2的解集為, ∴所求實數(shù)x的取值范圍為. 8.(xx·河南洛陽統(tǒng)考)已知a,b∈(0,+∞),a+b=1,x1,x2∈(0,+∞). (

6、1)求++的最小值; (2)求證:(ax1+bx2)(ax2+bx1)≥x1x2. 解:(1)因為a,b∈(0,+∞),a+b=1, x1,x2∈(0,+∞), 所以++≥3· =3·≥3· =3×=6, 當(dāng)且僅當(dāng)==且a=b,即a=b=且x1=x2=1時,++有最小值6. (2)證明:證法一:由a,b∈(0,+∞),a+b=1, x1,x2∈(0,+∞),及柯西不等式可得, (ax1+bx2)(ax2+bx1) =[()2+()2]·[()2+()2] ≥(·+·)2 =(a+b)2=x1x2, 當(dāng)且僅當(dāng)=,即x1=x2時,等號成立. 所以(ax1+bx2)(ax2+bx1)≥x1x2. 證法二:因為a,b∈(0,+∞),a+b=1,x1,x2∈(0,+∞), 所以(ax1+bx2)(ax2+bx1) =a2x1x2+abx+abx+b2x1x2 =x1x2(a2+b2)+ab(x+x) ≥x1x2(a2+b2)+ab(2x1x2) =x1x2(a2+b2+2ab) =x1x2(a+b)2 =x1x2, 當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時,等號成立. 所以(ax1+bx2)(ax2+bx1)≥x1x2.

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