4、，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮，那么這兩串彩燈同時通電后，它們第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 設(shè)在通電后的4秒鐘內(nèi)，甲串彩燈、乙串彩燈第一次亮的時刻為x、y，x、y相互獨立，由題意可知如圖所示．∴兩串彩燈第一次亮的時間相差不超過2秒的概率為P(|x－y|≤2)＝＝＝＝.
題型一 古典概型與幾何概型
例1 (1)(xx·四川)一個盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1,2,3，這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同．隨機有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c.
①求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b
5、＝c”的概率；
②求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率．
(2)已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1.設(shè)點(a，b)是區(qū)域內(nèi)的一點，
求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)的概率．
思維點撥 (1)①所有結(jié)果共有3×3×3＝27種，滿足a＋b＝c的情況有3個．
②a、b、c不完全相同的結(jié)果可用其對立事件考慮．
(2)結(jié)合線性規(guī)劃知識來解決．
解 (1)①由題意知，(a，b，c)所有的可能結(jié)果為
(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1
6、,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27種．
設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”為事件A，
則事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3種．
所以P(A)＝＝.
因此，“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝c”的概率為.
②設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”為事件B，則事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,
7、3,3)，共3種．
所以P(B)＝1－P()＝1－＝.
因此，“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率為.
(2)∵函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1的圖象的對稱軸為直線x＝，
要使f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)，
當(dāng)且僅當(dāng)a>0且≤1，即2b≤a.
依條件可知事件的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為
，構(gòu)成所求事件的區(qū)域為三角形部分．
所求概率區(qū)間應(yīng)滿足2b≤a.
由得交點坐標(biāo)為(，)，
∴所求事件的概率為P＝＝.
思維升華 幾何概型與古典概型的本質(zhì)區(qū)別在于試驗結(jié)果的無限性，幾何概型經(jīng)常涉及的幾何度量有長度、面積、體積等，解決幾何概型的關(guān)鍵是找準(zhǔn)幾何
8、測度；古典概型是命題的重點，對于較復(fù)雜的基本事件空間，列舉時要按照一定的規(guī)律進(jìn)行，做到不重不漏．
某地區(qū)有小學(xué)21所，中學(xué)14所，大學(xué)7所，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取6所學(xué)校對學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查．
(1)求應(yīng)從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目．
(2)若從抽取的6所學(xué)校中隨機抽取2所學(xué)校做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析，
①列出所有可能的抽取結(jié)果；
②求抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)的概率．
解 (1)由分層抽樣定義知，
從小學(xué)中抽取的學(xué)校數(shù)目為6×＝3；
從中學(xué)中抽取的學(xué)校數(shù)目為6×＝2；
從大學(xué)中抽取的學(xué)校數(shù)目為6×＝1.
故從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目為3,2,1.
9、
(2)①在抽取的6所學(xué)校中，3所小學(xué)分別記為A1，A2，A3,2所中學(xué)分別記為A4，A5，大學(xué)記為A6，則抽取2所學(xué)校的所有可能結(jié)果為{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15種．
②從6所學(xué)校中抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)(記為事件B)的所有可能結(jié)果為{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3種，
所以P(B)＝＝.
題型二 求離散型隨機變量的均值與方差
例2 xx年男足世界杯
10、在巴西舉行，為了爭奪最后一個小組賽參賽名額，甲、乙、丙三支國家隊要進(jìn)行比賽，根據(jù)規(guī)則：每支隊伍比賽兩場，共賽三場，每場比賽勝者得3分，負(fù)者得0分，沒有平局，獲得第一名的隊伍將奪得這個參賽名額．已知乙隊勝丙隊的概率為，甲隊獲得第一名的概率為，乙隊獲得第一名的概率為.
(1)求甲隊分別戰(zhàn)勝乙隊和丙隊的概率P1，P2；
(2)設(shè)在該次比賽中，甲隊得分為ξ，求ξ的分布列和均值．
思維點撥 (1)利用相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式，結(jié)合甲隊獲得第一名與乙隊獲得第一名的條件列出方程，從而求出P1，P2；
(2)先根據(jù)比賽得分的規(guī)則確定甲隊得分ξ的可能取值，然后利用相互獨立事件的概率計算公式分別求解
11、對應(yīng)的概率值，列出分布列求其均值．
解 (1)根據(jù)題意，甲隊獲得第一名，則甲隊勝乙隊且甲隊勝丙隊，
所以甲隊獲第一名的概率為P1×P2＝.①
乙隊獲得第一名，則乙隊勝甲隊且乙隊勝丙隊，
所以乙隊獲第一名的概率為(1－P1)×＝.②
解②，得P1＝，代入①，得P2＝，
所以甲隊?wèi)?zhàn)勝乙隊的概率為，甲隊?wèi)?zhàn)勝丙隊的概率為.
(2)ξ可能取的值為0,3,6，
當(dāng)ξ＝0時，甲隊兩場比賽皆輸，其概率為P(ξ＝0)＝(1－)×(1－)＝；
當(dāng)ξ＝3時，甲隊兩場只勝一場，其概率為P(ξ＝3)＝×(1－)＋×(1－)＝；
當(dāng)ξ＝6時，甲隊兩場皆勝，其概率為P(ξ＝6)＝×＝.
所以ξ的分布列
12、為
ξ
0
3
6
P
思維升華 離散型隨機變量的均值和方差的求解，一般分兩步：一是定型，即先判斷隨機變量的分布是特殊類型，還是一般類型，如兩點分布、二項分布、超幾何分布等屬于特殊類型；二是定性，對于特殊類型的均值和方差可以直接代入相應(yīng)公式求解，而對于一般類型的隨機變量，應(yīng)先求其分布列然后代入相應(yīng)公式計算，注意離散型隨機變量的取值與概率間的對應(yīng)．
受轎車在保修期內(nèi)維修費等因素的影響，企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車的利潤與該轎車首次出現(xiàn)故障的時間有關(guān)．某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年．現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中各隨機抽取50輛，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：
品牌
甲
13、乙
首次出現(xiàn)故障時間x(年)
02
02
轎車數(shù)量(輛)
2
3
45
5
45
每輛利潤(萬元)
1
2
3
1.8
2.9
將頻率視為概率，解答下列問題：
(1)從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機抽取一輛，求其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率．
(2)若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤為X1，生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤為X2，分別求X1，X2的分布列．
(3)該廠預(yù)計今后這兩種品牌轎車銷量相當(dāng)，由于資金限制，只能生產(chǎn)其中一種品牌的轎車．若從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮，你認(rèn)為應(yīng)生產(chǎn)哪種品牌的轎車？說明理由．
14、
解 (1)設(shè)“甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)”為事件A，則P(A)＝＝.
(2)依題意得，X1的分布列為
X1
1
2
3
P
X2的分布列為
X2
1.8
2.9
P
(3)由(2)得E(X1)＝1×＋2×＋3×
＝＝2.86(萬元)，
E(X2)＝1.8×＋2.9×＝2.79(萬元)．
因為E(X1)>E(X2)，所以應(yīng)生產(chǎn)甲品牌轎車．
題型三 概率與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用
例3 (xx·課標(biāo)全國Ⅱ)經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個銷售季度內(nèi)，每售出1 t該產(chǎn)品獲利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每1 t虧損300元．根據(jù)歷史資料，得到銷售季度
15、內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進(jìn)了130 t該農(nóng)產(chǎn)品．以X(單位： t,100≤X≤150)表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量，T(單位：元)表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤．
(1)將T表示為X的函數(shù)；
(2)根據(jù)直方圖估計利潤T不少于57 000元的概率；
(3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，則取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的頻率)．求T的均值．
思維點撥 利潤T是由兩部分構(gòu)成的，一個是
16、獲得利潤，另一個是虧損，是否虧損與X的取值范圍有關(guān)，因此，T關(guān)于X的函數(shù)要用分段函數(shù)表示．
解 (1)當(dāng)X∈[100,130)時，
T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000.
當(dāng)X∈[130,150]時，T＝500×130＝65 000.
所以T＝
(2)由(1)知利潤T不少于57 000元當(dāng)且僅當(dāng)120≤X≤150.
由直方圖知需求量X∈[120,150]的頻率為0.7，所以下一個銷售季度內(nèi)的利潤T不少于57 000元的概率的估計值為0.7.
(3)依題意可得T的分布列為
T
45 000
53 000
61 000
65 000
P
0.1
17、0.2
0.3
0.4
所以E(T)＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.
思維升華 概率與統(tǒng)計作為考查考生應(yīng)用意識的重要載體，已成為近幾年高考的一大亮點和熱點．它與其他知識融合、滲透，情境新穎，充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計的工具性和交匯性．統(tǒng)計以考查抽樣方法、樣本的頻率分布、樣本特征數(shù)的計算為主，概率以考查概率計算為主，往往和實際問題相結(jié)合，要注意理解實際問題的意義，使之和相應(yīng)的概率計算對應(yīng)起來，只有這樣才能有效地解決問題．
以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵數(shù)．乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以X表示
18、．
甲組 乙組
9
9
0
X
8
9
1
1
1
0
(1)如果X＝8，求乙組同學(xué)植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差；
(2)如果X＝9，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵樹Y的分布列和均值．
(注：方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中為x1，x2，…，xn的平均數(shù))
解 (1)當(dāng)X＝8時，由莖葉圖可知，乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是8,8,9,10，所以平均數(shù)
＝＝；
方差s2＝[(8－)2＋(8－)2＋(9－)2＋(10－)2]
＝.
(2)當(dāng)X＝9時，由莖葉圖可知，甲組同學(xué)的植樹棵數(shù)是9,9,11,1
19、1；乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是9,8,9,10.分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學(xué)，共有4×4＝16(種)可能的結(jié)果，這兩名同學(xué)植樹總棵數(shù)Y的可能取值為17,18,19,20,21.事件“Y＝17”等價于“甲組選出的同學(xué)植樹9棵，乙組選出的同學(xué)植樹8棵”，所以該事件有2種可能的結(jié)果，因此P(Y＝17)＝＝.
同理可得P(Y＝18)＝，P(Y＝19)＝，P(Y＝20)＝，P(Y＝21)＝.
所以隨機變量Y的分布列為
Y
17
18
19
20
21
P
E(Y)＝17×＋18×＋19×＋20×＋21×
＝19.
(時間：80分鐘)
1．(xx·廣東)某
20、車間共有12名工人，隨機抽取6名，他們某日加工零件個數(shù)的莖葉圖如圖所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個位數(shù).
1
7
9
2
0
1
5
3
0
(1)根據(jù)莖葉圖計算樣本均值；
(2)日加工零件個數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人．根據(jù)莖葉圖推斷該車間12名工人中有幾名優(yōu)秀工人？
(3)從該車間12名工人中，任取2人，求恰有1名優(yōu)秀工人的概率．
解 (1)樣本平均值為
＝＝22.
(2)由(1)知樣本中優(yōu)秀工人占的比例為＝，
故推斷該車間12名工人中有12×＝4名優(yōu)秀工人．
(3)設(shè)事件A：“從該車間12名工人中，任取2人，恰有1名優(yōu)秀工人”，則P(A)＝＝.
21、
2．在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．從這10件產(chǎn)品中任取3件，求：
(1)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)X的分布列和均值；
(2)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率．
解 (1)由于從10件產(chǎn)品中任取3件的結(jié)果數(shù)為C，從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等品的結(jié)果數(shù)為CC(k＝0,1,2,3)，那么從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率為P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3.
所以隨機變量X的分布列是
X
0
1
2
3
P
X的均值E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(2)設(shè)“取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于
22、二等品件數(shù)”為事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”為事件A1，“恰好取出2件一等品”為事件A2，“恰好取出3件一等品”為事件A3，由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3，而P(A1)＝＝.P(A2)＝P(X＝2)＝.P(A3)＝P(X＝3)＝，所以取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率為P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.
3．甲、乙兩人參加某電視臺舉辦的答題闖關(guān)游戲，按照規(guī)則，甲先從6道備選題中一次性抽取3道題獨立作答，然后由乙回答剩余3題，每人答對其中2題就停止答題，即闖關(guān)成功．已知在6道備選題中，甲能答對其中的4道題，乙答對每道題的概率
23、都是.
(1)求甲、乙至少有一人闖關(guān)成功的概率；
(2)設(shè)甲答對題目的個數(shù)為ξ，求ξ的分布列．
解 (1)設(shè)甲、乙闖關(guān)成功分別為事件A，B，則P()＝＝＝，
P()＝(1－)3＋C(1－)2()1
＝＋＝，
則甲、乙至少有一人闖關(guān)成功的概率是
1－P( )＝1－P()P()＝1－×＝.
(2)由題意知ξ的可能取值是1,2.
P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，
則ξ的分布列為
ξ
1
2
P
4.如圖，是某城市通過抽樣得到的居民某年的月均用水量(單位：噸)的頻率分布直方圖．
(1)求直方圖中x的值；
(2)若將頻率視為概率，從這個城市隨機抽取3位居
24、民(看做有放回的抽樣)，求月均用水量在3至4噸的居民數(shù)X的分布列和均值．
解 (1)依題意及頻率分布直方圖知1×(0.02＋0.1＋x＋0.37＋0.39)＝1，解得x＝0.12.
(2)由題意知，X～B(3,0.1)．
因此P(X＝0)＝C×0.93＝0.729，P(X＝1)＝C×0.1×0.92＝0.243，P(X＝2)＝C×0.12×0.9＝0.027，
P(X＝3)＝C×0.13＝0.001.
故隨機變量X的分布列為
X
0
1
2
3
P
0.729
0.243
0.027
0.001
X的均值為E(X)＝3×0.1＝0.3.
5．某市公租房的房源位
25、于A、B、C三個片區(qū)．設(shè)每位申請人只申請其中一個片區(qū)的房源，且申請其中任一個片區(qū)的房源是等可能的，求該市的任4位申請人中：
(1)恰有2人申請A片區(qū)房源的概率；
(2)申請的房源所在片區(qū)的個數(shù)ξ的分布列與均值．
解 (1)方法一 所有可能的申請方式有34種，恰有2人申請A片區(qū)房源的申請方式有C·22種，從而恰有2人申請A片區(qū)房源的概率為＝.
方法二 設(shè)對每位申請人的觀察為一次試驗，這是4次獨立重復(fù)試驗．
記“申請A片區(qū)房源”為事件A，則P(A)＝.
從而，由獨立重復(fù)試驗中事件A恰發(fā)生k次的概率計算公式知，恰有2人申請A片區(qū)房源的概率為
P4(2)＝C22＝.
(2)ξ的所有可能
26、值為1,2,3.又P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝
P(ξ＝3)＝＝.
綜上知，ξ的分布列為
ξ
1
2
3
P
從而有E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.
6．一次考試共有12道選擇題，每道選擇題都有4個選項，其中有且只有一個是正確的．評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：“每題只選一個選項，答對得5分，不答或答錯得零分”．某考生已確定有8道題的答案是正確的，其余題中：有兩道題都可判斷兩個選項是錯誤的，有一道題可以判斷一個選項是錯誤的，還有一道題因不理解題意只好亂猜．請求出該考生：
(1)得60分的概率；
(2)所得分?jǐn)?shù)ξ的分布列和均值．
解 (1)設(shè)“可判斷兩個選項是錯誤的”兩
27、道題之一選對為事件A，“有一道題可以判斷一個選項是錯誤的”選對為事件B，“有一道題不理解題意”選對為事件C，
∴P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，
∴得60分的概率為P＝×××＝.
(2)ξ可能的取值為40,45,50,55,60.
P(ξ＝40)＝×××＝；
P(ξ＝45)＝C××××＋×××＋×××＝；
P(ξ＝50)＝×××＋C××××＋C××××＋×××＝；
P(ξ＝55)＝C××××＋×××＋×××＝；
P(ξ＝60)＝×××＝.
ξ的分布列為
ξ
40
45
50
55
60
P(ξ)
E(ξ)＝40×＋45×＋50×＋55×＋60×＝.
2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)導(dǎo)練測 第十二章 高考專題突破六 高考中的概率與統(tǒng)計問題 理 新人教A版
