《2021高考數(shù)學一輪復習 第6章 數(shù)列 第3節(jié) 等比數(shù)列及其前n項和教學案 理 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2021高考數(shù)學一輪復習 第6章 數(shù)列 第3節(jié) 等比數(shù)列及其前n項和教學案 理 北師大版（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第三節(jié)　等比數(shù)列及其前n項和 [最新考綱]　1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關系，并能用等比數(shù)列的有關知識解決相應的問題.4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系． 1．等比數(shù)列的有關概念 (1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)(不為零)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的數(shù)學表達式為＝q(n∈N＋，q為非零常數(shù))． (2)等比中項：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使得a，G，b成等比數(shù)列，那么根據(jù)等比數(shù)列的定義，＝，G2＝ab，G＝±

2、，那么G叫作a與b的等比中項．即：G是a與b的等比中項?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab. 2．等比數(shù)列的有關公式 (1)通項公式：an＝a1qn－1＝amqn－m. (2)前n項和公式： Sn＝ 等比數(shù)列的常用性質 1．在等比數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈ N＋)，則am·an＝ap·aq＝a. 2．若數(shù)列{an}，{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍然是等比數(shù)列． 3．等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn，其中當公比為－1時，n為偶

3、數(shù)時除外． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)滿足an＋1＝qan(n∈N＋，q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列．(　　) (2)G為a，b的等比中項?G2＝ab.(　　) (3)若{an}為等比數(shù)列，bn＝a2n－1＋a2n，則數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列．(　　) (4)數(shù)列{an}的通項公式是an＝an，則其前n項和為Sn＝.(　　) (5)數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則S4，S8－S4，S12－S8成等比數(shù)列．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 二、教材改編 1．在等比數(shù)列{an}中，a3＝2，a7＝8，則a5等于(　

4、　) A．5 B．±5 C．4 D．±4 C　[∵a＝a3a7＝2×8＝16，∴a5＝±4. 又∵a5＝a3q2＞0， ∴a5＝4.] 2．等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，則a1＝(　　) A. B.－ C. D.－ C　[∵S3＝a2＋10a1，∴a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，∴a3＝9a1， 即公比q2＝9，又a5＝a1q4， ∴a1＝＝＝.故選C.] 3．在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn為{an}的前n項和．若Sn＝126，則n＝________. 6　[∵a1＝2，an＋1＝2an， ∴數(shù)列{an}

5、是首項為2，公比為2的等比數(shù)列． 又∵Sn＝126，∴＝126， 解得n＝6.] 4．一種專門占據(jù)內存的計算機病毒開機時占據(jù)內存1 MB，然后每3秒自身復制一次，復制后所占內存是原來的2倍，那么開機________秒，該病毒占據(jù)內存8 GB(1 GB＝210 MB)． 39　[由題意可知，病毒每復制一次所占內存的大小構成一等比數(shù)列{an}， 且a1＝2，q＝2，∴an＝2n， 則2n＝8×210＝213，∴n＝13. 即病毒共復制了13次． ∴所需時間為13×3＝39(秒)．] 考點1　等比數(shù)列的基本運算 　等比數(shù)列基本量運算的解題策略 (1)等比數(shù)列的通項公式與前

6、n項和公式共涉及五個量a1，an，q，n，Sn，已知其中三個就能求另外兩個(簡稱“知三求二”)． (2)運用等比數(shù)列的前n項和公式時，注意分q＝1和q≠1兩類分別討論． 　1.設Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，則公比q＝(　　) A．3　　 B．4　　　　 C．5　　　　 D．6 B　[因為3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，所以兩式相減，得3(S3－S2)＝(a4－2)－(a3－2)， 即3a3＝a4－a3， 得a4＝4a3，所以q＝＝4.] 2．(2019·全國卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若a1＝，a＝a6，則S5＝_

7、_______. 　[設等比數(shù)列的公比為q，由已知a1＝，a＝a6，所以2＝q5，又q≠0，所以q＝3，所以S5＝＝＝.] 3．等比數(shù)列{an}的各項均為實數(shù)，其前n項和為Sn，已知a3＝，S3＝，則a2＝________. －3或　[法一：(直接法)∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列， ∴當q＝1時，a1＝a2＝a3＝，顯然S3＝3a3＝. 當q≠1時，由題意可知 解得q＝－或q＝1(舍去)． ∴a2＝＝×(－2)＝－3. 綜上可知a2＝－3或. 法二：(優(yōu)解法)由a3＝得a1＋a2＝3. ∴＋＝3， 即2q2－q－1＝0， ∴q＝－或q＝1. ∴a2＝＝－3或.] 4

8、．(2018·全國卷Ⅲ)等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通項公式； (2)記Sn為{an}的前n項和，若Sm＝63，求m. [解]　(1)設{an}的公比為q，由題設得an＝qn－1. 由已知得q4＝4q2， 解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1(n∈N＋)． (2)若an＝(－2)n－1，則Sn＝. 由Sm＝63得(－2)m＝－188， 此方程沒有正整數(shù)解． 若an＝2n－1，則Sn＝2n－1. 由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6. 綜上，m＝6. 　抓住基本量a1, q，借用方程思想求解是

9、解答此類問題的關鍵，求解中要注意方法的擇優(yōu)，如T3，方法二避免了討論． 考點2　等比數(shù)列的判定與證明 　判定一個數(shù)列為等比數(shù)列的常見方法 (1)定義法：若＝q(q是不為零的常數(shù))，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列； (2)等比中項法：若a＝anan＋2(n∈N＋，an≠0)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列； (3)通項公式法：若an＝Aqn(A，q是不為零的常數(shù))，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列． 　設數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝，an＋2＝an＋1－an，令bn＝an＋1－an(n∈N＋) (1)證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項公式． [解]　(1)∵an＋2＝

10、an＋1－an， ∴an＋2－an＋1＝(an＋1－an)，而bn＝an＋1－an， ∴bn＋1＝bn，又b1＝a2－a1＝， ∴{bn}是首項為，公比為的等比數(shù)列． (2)由(1)知bn＝×n－1＝n， ∴an－an－1＝n－1， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝1＋＋2＋…＋n－1＝＝3－3·n. [逆向問題]　已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N＋)． (1)求a1，a2，a3的值； (2)是否存在常數(shù)λ，使得{an＋λ}為等比數(shù)列？若存在，求出λ的值和通項公式an，若不存在，請說明理由． [解]

11、　(1)當n＝1時，S1＝a1＝2a1－3，解得a1＝3， 當n＝2時，S2＝a1＋a2＝2a2－6，解得a2＝9， 當n＝3時，S3＝a1＋a2＋a3＝2a3－9，解得a3＝21. (2)假設{an＋λ}是等比數(shù)列，則(a2＋λ)2＝(a1＋λ)(a3＋λ)， 即(9＋λ)2＝(3＋λ)(21＋λ)，解得λ＝3. 下面證明{an＋3}為等比數(shù)列： ∵Sn＝2an－3n，∴Sn＋1＝2an＋1－3n－3， ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an－3，即2an＋3＝an＋1， ∴2(an＋3)＝an＋1＋3，∴＝2， ∴存在λ＝3，使得數(shù)列{an＋3}是首項為a1＋3＝

12、6，公比為2的等比數(shù)列． ∴an＋3＝6×2n－1，即an＝3(2n－1)(n∈N＋)． 　(1)證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與通項公式法，其他方法只用于選擇、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可． (2) 已知等比數(shù)列求參數(shù)的值，常采用特殊到一般的方法求解，如本例的逆向問題． [教師備選例題] 設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2. (1)設bn＝an＋1－2an，證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項公式． [解]　(1)證明：由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2， 有a1＋a2

13、＝S2＝4a1＋2. ∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3. 又 ①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)， ∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)． ∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)， 故{bn}是首項為3，公比為2的等比數(shù)列． (2)由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1， ∴－＝， 故是首項為，公差為的等差數(shù)列． ∴＝＋(n－1)·＝， 故an＝(3n－1)·2n－2. 　(2019·全國卷Ⅱ)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4. (1)

14、證明：{an＋bn}是等比數(shù)列，{an－bn}是等差數(shù)列； (2)求{an}和{bn}的通項公式． [解]　(1)證明：由題設得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋ bn＋1＝(an＋bn)． 又因為a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首項為1，公比為的等比數(shù)列． 由題設得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2. 又因為a1－b1＝1，所以{an－bn}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列． (2)由(1)知，an＋bn＝，an－bn＝2n－1. 所以an＝[(an＋bn)＋(an－bn)]＝＋n－， bn＝[(an

15、＋bn)－(an－bn)]＝－n＋. 考點3　 等比數(shù)列性質的應用 　等比數(shù)列性質的應用可以分為3類 (1)通項公式的變形． (2)等比中項的變形． (3)前n項和公式的變形．根據(jù)題目條件，認真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口． 　(1)[一題多解]已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，則a1＋a10等于(　　) A．7　　 B．5 　　　　 C．－5　　　　 D．－7 (2)設Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，若＝3，則＝(　　) A．2 B． C． D．1或2 (3)已知等比數(shù)列{an}共有2n項，其和為－240，且奇數(shù)項

16、的和比偶數(shù)項的和大80，則公比q＝________. (1)D　(2)B　(3)2　[(1)法一：(基本量法)設數(shù)列{an}的公比為q， 則由題意得 所以或 所以a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7. 法二：(性質法)由 解得或 所以或 所以a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7. (2)設S2＝k，S4＝3k，∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列，∴S2，S4－S2，S6－S4也為等比數(shù)列，又S2＝k，S4－S2＝2k， ∴S6－S4＝4k， ∴S6＝7k，∴＝＝，故選B. (3)由題意，得解得 所以q＝＝＝2.] 　在解決等比數(shù)列的有關問題時，要注意挖掘隱含條件，特別關注項a

17、n或和Sn的下角標數(shù)字間的內在關系，活用性質，減少運算量，提高解題速度． [教師備選例題] 數(shù)列{an}是一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，所有項之和是偶數(shù)項之和的4倍，前三項之積為64，則此數(shù)列的通項公式an＝________. 12×n－1　[設此數(shù)列{an}的公比為q，由題意，知S奇＋S偶＝ 4S偶， 所以S奇＝3S偶，所以q＝＝. 又a1a2a3＝64，即a1(a1q)(a1q2)＝aq3＝64， 所以a1q＝4.又q＝，所以a1＝12，所以an＝a1qn－1＝12×n－1.] 　1.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，若a2＝1，a5＝，則a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N＋)的最小值為(　　) A． B．1 C．2 D．3 C　[由已知得數(shù)列{an}的公比滿足q3＝＝， 解得q＝，∴a1＝2，a3＝，故數(shù)列{anan＋1}是以2為首項，公比為＝的等比數(shù)列， ∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝ ＝∈，故選C.] 2．等比數(shù)列{an}滿足an＞0，且a2a8＝4，則log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a9＝________. 9　[由題意可得a2a8＝a＝4，a5＞0，所以a5＝2，則原式＝log2(a1a2…a9)＝9log2a5＝9.] 9