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1、2022年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 參數(shù)取值問題的題型與方法教案 蘇教版 （Ⅰ）參數(shù)取值問題的探討 一、若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量的范圍已知，另一個(gè)變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個(gè)變量分別置于等號(hào)或不等號(hào)的兩邊，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解。 例1．已知當(dāng)xR時(shí)，不等式a+cos2x<54sinx+恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。 分析：在不等式中含有兩個(gè)變量a及x，其中x的范圍已知（xR），另一變量a的范圍即為所求，故可考慮將a及x分離。 解：原不等式即：4sinx+cos2x

2、題轉(zhuǎn)化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值問題。 f(x)= 4sinx+cos2x=2sin2x+4sinx+1=2(sinx1)2+33, ∴a+5>3即>a+2 上式等價(jià)于或，解得a<8. 說明：注意到題目中出現(xiàn)了sinx及cos2x，而cos2x=12sin2x,故若把sinx換元成t,則可把原不等式轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次函數(shù)類型。 另解：a+cos2x<54sinx+即 a+12sin2x<54sinx+,令sinx=t,則t[1,1], 整理得2t24t+4a+>0,( t[1,1])恒成立。 設(shè)f(t)= 2t24t+4a+則二次函數(shù)的對(duì)稱軸為t=1, f(

3、x)在[1，1]內(nèi)單調(diào)遞減。 只需f(1)>0,即>a2.(下同) 例2．已知函數(shù)f(x)在定義域（，1]上是減函數(shù)，問是否存在實(shí)數(shù)k，使不等式f(ksinx)f(k2sin2x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立？并說明理由。 分析：由單調(diào)性與定義域，原不等式等價(jià)于ksinx≤k2sin2x≤1對(duì)于任意x∈R恒成立，這又等價(jià)于 對(duì)于任意x∈R恒成立。 不等式（1）對(duì)任意x∈R恒成立的充要條件是k2≤(1+sin2x)min=1,即1≤k≤1----------(3) 不等式（2）對(duì)任意x∈R恒成立的充要條件是k2k+≥[(sinx)2]max=, 即k≤1或k≥2,-----------

4、(4) 由（3）、（4）求交集，得k=1,故存在k=1適合題設(shè)條件。 說明：抽象函數(shù)與不等式的綜合題常需要利用單調(diào)性脫掉函數(shù)記號(hào)。 例3．設(shè)直線過點(diǎn)P（0，3），和橢圓順次交于A、B兩點(diǎn)，試求的取值范圍. 分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到：=，但從此后卻一籌莫展, 問題的根源在于對(duì)題目的整體把握不夠. 事實(shí)上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個(gè)（或某幾個(gè)）參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程），這只需利用對(duì)應(yīng)的思想實(shí)施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個(gè)不等關(guān)系. 思路1: 從第一條想法入手，=已經(jīng)是一個(gè)關(guān)系式，但由于有兩個(gè)變量，同時(shí)這兩個(gè)變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第

5、3個(gè)變量——直線AB的斜率k. 問題就轉(zhuǎn)化為如何將轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的表達(dá)式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去y得出關(guān)于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出. 所求量的取值范圍 把直線l的方程y = kx+3代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程 xA= f（k），xB = g（k） 得到所求量關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式 求根公式 AP/PB = —（xA / xB） 由判別式得出k的取值范圍 解1：當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，可求得； 當(dāng)與x軸不垂直時(shí)，設(shè)，直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得， 解之得 因?yàn)闄E圓關(guān)于y

6、軸對(duì)稱，點(diǎn)P在y軸上，所以只需考慮的情形. 當(dāng)時(shí)，，， 所以 ===. 由 , 解得 ， 所以 ， 綜上 . 思路2: 如果想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，則應(yīng)該考慮到：判別式往往是產(chǎn)生不等的根源. 由判別式值的非負(fù)性可以很快確定的取值范圍，于是問題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與聯(lián)系起來. 一般來說，韋達(dá)定理總是充當(dāng)這種問題的橋梁，但本題無法直接應(yīng)用韋達(dá)定理，原因在于不是關(guān)于的對(duì)稱關(guān)系式. 原因找到后，解決問題的方法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于的對(duì)稱關(guān)系式. 把直線l的方程y = kx+3代入橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程 xA+ xB = f（k），xA xB

7、= g（k） 構(gòu)造所求量與k的關(guān)系式 關(guān)于所求量的不等式 韋達(dá)定理 AP/PB = —（xA / xB） 由判別式得出k的取值范圍 解2：設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得 （*） 則 令，則， 在（*）中，由判別式可得 ， 從而有 ，所以， 解得.結(jié)合得. 綜上，. 說明：范圍問題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等. 本題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法. 二、直接根據(jù)圖像判斷 若把等式或不

8、等式進(jìn)行合理的變形后，能非常容易地畫出等號(hào)或不等號(hào)兩邊函數(shù)的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得出結(jié)果。尤其對(duì)于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。 例4．已知長(zhǎng)方形四個(gè)頂點(diǎn)A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一質(zhì)點(diǎn)從AB的中點(diǎn)P沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點(diǎn)P1后，依次反射到CD、DA和AB上的點(diǎn)P2、P3和P4（入射角等于反射角）.設(shè)P4的坐標(biāo)為（x4，0）.若1< x4<2，則的取值范圍是 （ ） (A) (B) (C) (D) 圖1 圖2 分析: 《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提倡讓學(xué)生

9、自主探索, 動(dòng)手實(shí)踐, 并主張?jiān)诟咧袑W(xué)課程設(shè)立“數(shù)學(xué)探究”學(xué)習(xí)活動(dòng),本題可以嘗試用特殊位置來解，不妨設(shè)與AB的中點(diǎn)P重合（如圖1所示），則P1、P2、P3分別是線段BC、CD、DA的中點(diǎn)，所以．由于在四個(gè)選擇支中只有C含有，故選C． x y o 1 2 y1=(x-1)2 y2=logax 當(dāng)然，本題也可以利用對(duì)稱的方法將“折線”問題轉(zhuǎn)化成“直線”問題來直接求解（如圖2所示）． 說明 由本題可見, 探索猜想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的地位．這也是選擇題的應(yīng)有特點(diǎn)． 例5．當(dāng)x(1,2)時(shí)，不等式(x1)2

10、，求a的取值范圍。 分析：若將不等號(hào)兩邊分別設(shè)成兩個(gè)函數(shù)，則左邊為二次函數(shù)，圖象是拋物線，右邊為常見的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，故可以通過圖象求解。 解：設(shè)y1=(x1)2,y2=logax,則y1的圖象為右圖所示的拋物線，要使對(duì)一切x(1,2),y11,并且必須也只需當(dāng)x=2時(shí)y2的函數(shù)值大于等于y1的函數(shù)值。 故loga2>1,a>1,1

11、, x∈[0,1]. 一次（或常數(shù)）函數(shù)恒正，被線段端點(diǎn)“抬在”x軸的上方。故有： 說明：給定一次函數(shù)y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]內(nèi)恒有f(x)>0，則根據(jù)函數(shù)的圖象（直線）可得上述結(jié)論等價(jià)于 ⅰ）或ⅱ）亦可合并定成 同理，若在[m,n]內(nèi)恒有f(x)<0，則有 例7．對(duì)于滿足|p|2的所有實(shí)數(shù)p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范圍。 分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母：x及P,關(guān)鍵在于該把哪個(gè)字母看成是一個(gè)變量，另一個(gè)作為常數(shù)。顯然可將p視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在[2，2]內(nèi)關(guān)于p的一次函數(shù)大于0恒成立的問題。

12、 略解：不等式即(x1)p+x22x+1>0,設(shè)f(p)= (x1)p+x22x+1,則f(p)在[2,2]上恒大于0，故有： 即解得： ∴x<1或x>3. 例8.設(shè)f(x)=x22ax+2,當(dāng)x[1,+)時(shí)，都有f(x)a恒成立，求a的取值范圍。 分析：題目中要證明f(x)a恒成立，若把a(bǔ)移到等號(hào)的左邊，則把原題轉(zhuǎn)化成左邊二次函數(shù)在區(qū)間[1,+)時(shí)恒大于0的問題。 解：設(shè)F(x)= f(x)a=x22ax+2a. ⅰ)當(dāng)=4（a1)(a+2)<0時(shí)，即2

13、 x y 即 得3a2; 綜合可得a的取值范圍為[3，1] 說明：若二次函數(shù)y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立，則有 若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問題，還可以利用韋達(dá)定理以及根與系數(shù)的分布知識(shí)求解。 4 o x y 例9．關(guān)于x的方程9x+(4+a)3x+4=0恒有解，求a的范圍。 分析：題目中出現(xiàn)了3x及9x，故可通過換元轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)型求解。 解法1（利用韋達(dá)定理）： 設(shè)3x=t,則t>0.則原方程有解即方程t2+(4+a)t+4=0有正根。 即 解得a8. 解法2（利用根與系數(shù)的分布知識(shí)）： 4 o x y 即要

14、求t2+(4+a)t=0有正根。設(shè)f(x)= t2+(4+a)t+4. 10.=0,即（4+a）216=0,∴a=0或a=8. a=0時(shí)，f(x)=(t+2)2=0,得t=2<0，不合題意； a=8時(shí)，f(x)=(t2)2=0,得t=2>0,符合題意。 ∴a=8. 20. >0,即a<8或a>0時(shí)， ∵f(0)=4>0,故只需對(duì)稱軸，即a<4. ∴a<8 綜合可得a8. 三、解析幾何中確定參變量的取值范圍歷來是各級(jí)各類測(cè)試及高考命題的熱點(diǎn)。由于此類問題綜合性強(qiáng)，且確定參變量取值范圍的不等量關(guān)系也較為隱蔽，因而給解題帶來了諸多困難。為此，我們有必要總結(jié)和歸納如何尋找或挖掘不

15、等量關(guān)系的策略和方法。 在幾何問題中，有些問題和參數(shù)無關(guān)，這就構(gòu)成定值問題，解決這些問題常通過取參數(shù)和特殊值來確定“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角式來證明該式是恒定的。 解析幾何中的最值問題，一般先根據(jù)條件列出所求目標(biāo)——函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式手特征選用參數(shù)法，配方法，判別式法，應(yīng)用不等式的性質(zhì)，以及三角函數(shù)最值法等求出它的最大值或最小值。 充分運(yùn)用各種方法學(xué)會(huì)解圓錐曲線的綜合問題（解析法的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，圓錐曲線與圓錐曲線的位置關(guān)系，與圓錐曲線相關(guān)的定值問題，最值問題，應(yīng)用問題和探索性問題）。 研究最值問題是實(shí)踐的需要，人類在實(shí)踐活動(dòng)中往往

16、追求最佳結(jié)果，抽象化之成為數(shù)學(xué)上的最值問題，所以最值問題幾乎滲透到數(shù)學(xué)的每一章。 解析幾何中的最值問題主要是曲線上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離最值，到定直線的距離最值，還有面積最值，斜率最值等，解決的辦法也往往是數(shù)形結(jié)合或轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值。 而一些函數(shù)最值，反而可以通過數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為解析幾何中的最值問題。 1．幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決。 2．代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值。求函數(shù)最值常用的方法有配方法、判別式法、重要不等式法、三角函數(shù)的值域法、函數(shù)的單調(diào)性法。 例10． 已知橢圓C:和

17、點(diǎn)P（4，1），過P作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，在線段AB上取點(diǎn)Q，使，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡所在曲線的方程及點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)的取值范圍. 分析：這是一個(gè)軌跡問題，解題困難在于多動(dòng)點(diǎn)的困擾，學(xué)生往往不知從何入手。其實(shí)，應(yīng)該想到軌跡問題可以通過參數(shù)法求解. 因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點(diǎn)Q的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表達(dá)，最后通過消參可達(dá)到解題的目的. 由于點(diǎn)的變化是由直線AB的變化引起的，自然可選擇直線AB的斜率作為參數(shù)，如何將與聯(lián)系起來？一方面利用點(diǎn)Q在直線AB上；另一方面就是運(yùn)用題目條件：來轉(zhuǎn)化.由A、B、P、Q四點(diǎn)共線，不難得到，要建立與的關(guān)系，只需將直線AB的方程代入橢圓C的方程，利用韋達(dá)定理即可

18、. 通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對(duì)于如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù). 將直線方程代入橢圓方程，消去y，利用韋達(dá)定理 利用點(diǎn)Q滿足直線AB的方程：y = k (x—4)+1，消去參數(shù)k 點(diǎn)Q的軌跡方程 在得到之后，如果能夠從整體上把握，認(rèn)識(shí)到：所謂消參，目的不過是得到關(guān)于的方程（不含k），則可由解得，直接代入即可得到軌跡方程。從而簡(jiǎn)化消去參的過程。 解：設(shè)，則由可得：， 解之得： （1） 設(shè)直線AB的方程為：，代入橢圓C的方程，消去得出關(guān)于 x的一元二次方程

19、： （2） ∴ 代入（1），化簡(jiǎn)得： (3) 與聯(lián)立，消去得： 在（2）中，由，解得 ，結(jié)合（3）可求得 故知點(diǎn)Q的軌跡方程為： （）. 說明：由方程組實(shí)施消元，產(chǎn)生一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個(gè)變量的一元二次方程，其判別式、韋達(dá)定理模塊思維易于想到. 這當(dāng)中，難點(diǎn)在引出參，活點(diǎn)在應(yīng)用參，重點(diǎn)在消去參.，而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道. 例11．已知，試討論的值變化時(shí)，方程表示的曲線的形狀。 解：（1）當(dāng)時(shí)，方程化為，它表示兩條與軸平行的直線； （2）當(dāng)時(shí)

20、，方程化為，它表示兩條與軸平行的直線； （3）當(dāng)時(shí)，方程化為，它表示一個(gè)單位圓； （4）當(dāng)時(shí)，方程化為，因?yàn)椋运硎疽粋€(gè)焦點(diǎn)在軸上那個(gè)的橢圓； （5）當(dāng)時(shí)，方程化為，因?yàn)椋运硎疽粋€(gè)焦點(diǎn)在軸上那個(gè)的橢圓； （6）當(dāng)時(shí)，方程化為，因?yàn)?，所以它表示一個(gè)焦點(diǎn)在軸上那個(gè)的雙曲線。 （Ⅱ）、求參數(shù)的取值范圍在解析幾何中的應(yīng)用 例12．一農(nóng)民有田2畝，根據(jù)他的經(jīng)驗(yàn)：若種水稻，則每畝每期產(chǎn)量為400公斤，若種花生，則每畝產(chǎn)量為100公斤，但水稻成本較高，每畝每期240元，而花生只要80元，且花生每公斤可賣5元，稻米每公斤只賣3元，現(xiàn)在他只能湊足400元，問這

21、位農(nóng)民對(duì)兩種作物應(yīng)各種多少畝，才能得到最大利潤(rùn)？ 分析：最優(yōu)種植安排問題就是要求當(dāng)非負(fù)變量x、y滿足條件和時(shí)，總利潤(rùn)P達(dá)到最大，是線性規(guī)劃問題。 解：設(shè)水稻種x畝，花生種y畝，則有題意得： 即 此不等式組的解為四邊形區(qū)域（包括邊界），這些解通常就叫做本問題的可行解，并稱這個(gè)區(qū)域?yàn)閱栴}的可行解區(qū)域。 而利潤(rùn)P＝（3×400－200）x＋（5×100－80）y＝960x+420y為二元函數(shù)，通常就叫做本問題的目標(biāo)函數(shù)。故所求問題變?yōu)椋阂诖丝尚薪鈪^(qū)域內(nèi)，找出（x，y）點(diǎn)，使目標(biāo)函數(shù)P＝960x+4

22、20y的值為最大，這類點(diǎn)就叫做本問題的最佳解。如何找出這類點(diǎn)呢？觀察目標(biāo)函數(shù)P，我們知道： （1） 當(dāng)P等于任意常數(shù)m時(shí)，m＝960x+420y 都是－48/21的直線； （2） 若直線l：m＝960x+420y與可行解區(qū)域相交，則對(duì)應(yīng)于此直線的任一可行解，目標(biāo)函數(shù)P的值皆為m； （3） 當(dāng)直線l：m＝960x+420y 即 y＝－48/21x＋m/400過可行解區(qū)域，且縱截距最大時(shí)，m有最大值，即目標(biāo)函數(shù)P有最大值。 由圖可知，當(dāng)直線l過B點(diǎn)時(shí)，縱截距最大。 解方程組 得交點(diǎn)B（1.5,0.5） 所以當(dāng)x＝1.5，y＝0.5時(shí)，Pmax＝960×1.5＋420×0.5

23、＝1650（元） 即水稻種1.5畝，花生種0.5畝時(shí)所得的利潤(rùn)最大。 說明：很多數(shù)學(xué)應(yīng)用題都與二元一次不等式組有關(guān)，而不等式組的解答往往很多， 在各種解答中，是否有一組為符合實(shí)際情況的最佳解答呢？求此類問題的解答為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支——線性規(guī)劃。線性規(guī)劃是最優(yōu)化模型中的一個(gè)重要內(nèi)容，它具有適應(yīng)性強(qiáng)，應(yīng)用面廣，計(jì)算技術(shù)比較簡(jiǎn)便的特點(diǎn)，它是現(xiàn)代管理科學(xué)的重要基礎(chǔ)和手段之一。利用線性規(guī)劃解決應(yīng)用問題的方法可按下列步驟進(jìn)行： （1） 根據(jù)題意，建立數(shù)學(xué)模型，作出不等式組區(qū)域的圖形，即可行解區(qū)域； （2） 設(shè)所求的目標(biāo)函數(shù)f（x，y）為m值； （3）將各頂點(diǎn)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，即可得m

24、的最大值或最小值，或求直線f（x，y）＝m在y軸上截距的最大值（最小值）從而得m的最大值（最小值）。 例13．某汽車公司有兩家裝配廠，生產(chǎn)甲、乙兩種不同型的汽車，若A廠每小時(shí)可完成1輛甲型車和2輛乙型車；B廠每小時(shí)可完成3輛甲型車和1輛乙型車。今欲制造40輛甲型車和乙型車，問這兩家工廠各工作幾小時(shí)，才能使所費(fèi)的總工作時(shí)數(shù)最??？ 分析：這是一個(gè)如何安排生產(chǎn)才能發(fā)揮最佳效率的問題。最優(yōu)工作時(shí)數(shù)的安排問題就是A、B兩廠生產(chǎn)甲、乙兩種不同型號(hào)的汽車數(shù)不得低于甲型40輛、乙型20輛時(shí)，總工時(shí)最少。 解：設(shè)A廠工作x小時(shí)，B廠生產(chǎn)y小時(shí)，總工作時(shí)數(shù)為T小時(shí)，則它的目標(biāo)函數(shù)為 T=x＋y

25、 且x＋3y≥40 ，2x+y≥20 ，x≥0 ，y≥0 可行解區(qū)域，而符合問題的解答為此區(qū)域內(nèi)的格子點(diǎn)（縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為格子點(diǎn)），于是問題變?yōu)椋阂诖丝尚薪鈪^(qū)域內(nèi)，找出格子點(diǎn)（x，y），使目標(biāo)函數(shù)T ＝x＋y的值為最小。由圖知當(dāng)直線l：y＝－x＋T過Q點(diǎn)時(shí)，縱截距T最小，但由于符合題意的解必須是格子點(diǎn)，我們還必須看Q點(diǎn)是否是格子點(diǎn)。 解方程組 得Q（4,12）為格子點(diǎn)， 故A廠工作4小時(shí)，B廠工作12小時(shí)，可使所費(fèi)的總工作時(shí)數(shù)最少。 說明：也可以用凸多邊形性質(zhì)去尋找最佳解，要注意到有時(shí)符合題意的解僅限于可行解區(qū)域內(nèi)的格子點(diǎn)，此時(shí)如果有端點(diǎn)并非格子點(diǎn)，這些點(diǎn)就不符合題意

26、，不是我們要找的解；如果所有的端點(diǎn)都是格子點(diǎn)，所有的端點(diǎn)全符合題意，我們就可用凸多邊形性質(zhì)去找出最佳解。 符合本題的解僅為可行解區(qū)域內(nèi)的格子點(diǎn)，其可行解區(qū)域的端點(diǎn)P（40,0），Q（4,12）R（0,20）都是格子點(diǎn)，都符合題意，而它們所對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值如下表所示： （x，y） （40,0） （4,12） （0,20） T 40 16 20 故Q（4,12）即為所要找的點(diǎn)。 例14．私人辦學(xué)是教育發(fā)展的方向。某人準(zhǔn)備投資1200萬(wàn)元興辦一所完全中學(xué)，為了考慮社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益，對(duì)該地區(qū)教育市場(chǎng)進(jìn)行調(diào)查，得出一組數(shù)

27、據(jù)列表如下（以班級(jí)為單位）： 班級(jí)學(xué)生數(shù) 配備教師數(shù) 硬件建設(shè)（萬(wàn)元） 教師年薪（萬(wàn)元） 初中 50 2.0 28 1.2 高中 40 2.5 58 1.6 根據(jù)物價(jià)部門的有關(guān)文件，初中是義務(wù)教育階段，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)控制，預(yù)計(jì)除書本費(fèi)、辦公費(fèi)以外每生每年收取600元，高中每生每年可收取1500元。因生源和環(huán)境等條件的限制，辦學(xué)規(guī)模以20至30個(gè)班為宜。教師實(shí)行聘任制。初中、高中的教育周期均為三年。請(qǐng)你合理地安排找生計(jì)劃，使年利潤(rùn)最大，大約經(jīng)過多少年可以收回全部投資？ 解：設(shè)初中編制為x

28、個(gè)班，高中編制為y個(gè)班。 則 （x>0,y>0,x,y∈Z）。 計(jì)年利潤(rùn)為s，那么s＝3x+6y-2.4x-4y，即s＝0.6x+2y 作出不等式表示的平面區(qū)域。問題轉(zhuǎn)化為求直線0.6x+2xs＝0截距的最大值。過點(diǎn)A作0.6x+2y=0的平行線即可求出s的最大值。 聯(lián)立得A（18,12）。 將x＝18，y＝12代入s＝0.6x+2y求得Smax＝34.8。 設(shè)經(jīng)過n年可收回投資，則11.6+23.2+34.8(n2)=1200，可得n＝33.5。 學(xué)校規(guī)模初中18個(gè)班級(jí)，高中12個(gè)班級(jí)，第一年初中招生6個(gè)班300人，高中招生4個(gè)班160人。從第三年開始年利潤(rùn)34.

29、8萬(wàn)元，大約經(jīng)過36年可以收回全部投資。 說明：本題的背景材料是投資辦教育，擬定一份計(jì)劃書，本題是計(jì)劃書中的部分內(nèi)容。要求運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，解析幾何知識(shí)和數(shù)據(jù)處理的綜合能力。通過計(jì)算可知，投資教育主要是社會(huì)效益，提高整個(gè)民族的素質(zhì)，經(jīng)濟(jì)效益不明顯。 （Ⅲ）、強(qiáng)化訓(xùn)練 1．（南京市質(zhì)量檢測(cè)試題） 若對(duì)個(gè)向量存在個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)，使得成立，則稱向量為“線性相關(guān)”．依此規(guī)定， 能說明，，“線性相關(guān)”的實(shí)數(shù)依次可以取 （寫出一組數(shù)值即可，不必考慮所有情況）． 2．已知雙曲線，直線過點(diǎn)，斜率為，當(dāng)時(shí)，雙曲線的上支上有且僅有一點(diǎn)B到直線的距離為，試求的值及此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)。 3．設(shè)函

30、數(shù)f(x)=2x-12-x-1,xR,若當(dāng)0時(shí)，f(cos2+2msin)+f(2m2)>0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。 4．已知關(guān)于x的方程lg(x+20x) lg(8x6a3)=0有唯一解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。 5．試就的不同取值，討論方程所表示的曲線形狀，并指出其焦點(diǎn)坐標(biāo)。 6．某公司計(jì)劃在今年內(nèi)同時(shí)出售變頻空調(diào)機(jī)和智能型洗衣機(jī)，由于這兩種產(chǎn)品的市場(chǎng)需求量非常大，有多少就能銷售多少，因此該公司要根據(jù)實(shí)際情況（如資金、勞動(dòng)力）確定產(chǎn)品的月供應(yīng)量，以使得總利潤(rùn)達(dá)到最大。已知對(duì)這兩種產(chǎn)品有直接限制的因素是資金和勞動(dòng)力，通過調(diào)查，得到關(guān)于這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表： 資金 單位產(chǎn)品

31、所需資金（百元） 月資金供應(yīng)量（百元） 空調(diào)機(jī) 洗衣機(jī) 成本 30 20 300 勞動(dòng)力 （工資） 5 10 110 單位利潤(rùn) 6 8 試問：怎樣確定兩種貨物的月供應(yīng)量，才能使總利潤(rùn)達(dá)到最大，最大利潤(rùn)是多少？ 7．某?；锸抽L(zhǎng)期以面粉和大米為主食，而面食每100克含蛋白質(zhì)6個(gè)單位，含淀粉4個(gè)單位，售價(jià)0.5元，米食每100克含蛋白質(zhì)3個(gè)單位，含淀粉7個(gè)單位，售價(jià)0.4元，學(xué)校要求給學(xué)生配制盒飯，每盒飯至少有8個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10個(gè)單位的淀粉，問應(yīng)如何配制盒飯，才既科學(xué)又費(fèi)用最少？ 8．發(fā)電廠主控室的表盤，高m米，表盤底邊距地面n米。問值班人員

32、坐在什么位 置上，看得最清楚？（值班人員坐在椅子上眼睛距地面的高度一般為1.2米） 9. 某養(yǎng)雞廠想筑一個(gè)面積為144平方米的長(zhǎng)方形圍欄。圍欄一邊靠墻，現(xiàn)有50米鐵絲網(wǎng)，筑成這樣的圍欄最少要用多少米鐵絲網(wǎng)？已有的墻最多利用多長(zhǎng)？最少利用多長(zhǎng)？ （Ⅳ）、參考答案 1．分析：本題將高等代數(shù)中維向量空間的線形相關(guān)的定義，移植到平面向量中，定義了個(gè)平面向量線性相關(guān)．在解題過程中，首先應(yīng)該依據(jù)定義，得到，即，于是，所以即則．所以，的值依次可?。ㄊ遣坏扔诹愕娜我鈱?shí)數(shù)）． 2．分析1：解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學(xué)科，因此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問題的重要手段. 從“有且僅有”

33、這個(gè)微觀入手，對(duì)照草圖，不難想到：過點(diǎn)B作與平行的直線，必與雙曲線C相切. 而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式. 由此出發(fā)，可設(shè)計(jì)如下解題思路： 把直線l’的方程代入雙曲線方程，消去y，令判別式 直線l’在l的上方且到直線l的距離為 解題過程略. 分析2：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá)，即所謂“有且僅有一點(diǎn)B到直線的距離為”，相當(dāng)于化歸的方程有唯一解. 據(jù)此設(shè)計(jì)出如下解題思路： 轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題 求解 問題 關(guān)于x的方程有唯一解 解：設(shè)點(diǎn)為雙曲線C上支上任一點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線的距離

34、為： 于是，問題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于的方程. 由于，所以，從而有 于是關(guān)于的方程 由可知： 方程的二根同正，故恒成立，于是等價(jià)于 . 由如上關(guān)于的方程有唯一解，得其判別式，就可解得 . 說明：上述解法緊扣解題目標(biāo)，不斷進(jìn)行問題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性. 3．分析與解：從不等式分析入手，易知首先需要判斷f(x)的奇偶性和單調(diào)性，不難證明，在R上f(x)是奇函數(shù)和增函數(shù)，由此解出cos2+2msin<2m+2. 令t=sin,命題轉(zhuǎn)化為不等式t22m

35、t+(2m+1)>0,t∈[0,1]--------------------(*) 恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。 接下來，設(shè)g(t)=t22mt+(2m+1),按對(duì)稱軸t=m與區(qū)間[0，1]的位置關(guān)系，分類使g(t)min>0,綜合求得m>. 本題也可以用函數(shù)思想處理，將（*）化為2m(1t)>(t2+1),t∈[0,1] ⑴當(dāng)t=1時(shí)，m∈R; ⑵當(dāng)0≤t<1時(shí)，2m>h(t)=2[(1t)+],由函數(shù)F（u)=u+在（1，1]上是減函數(shù)，易知當(dāng)t=0時(shí)，h(x)max=1, ∴m>,綜合（1）、（2）知m>。 說明：本題涉及函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、二次函數(shù)的條件極值、不等式等知

36、識(shí)，以及用函數(shù)的思想、數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化和化歸的思想方法解題，是綜合性較強(qiáng)的一道好題。 4．分析：方程可轉(zhuǎn)化成lg(x2+20x)=lg(8x6a3),從而得x2+20x=8x6a3>0,注意到若將等號(hào)兩邊看成是二次函數(shù) x y l1 l2 l -20 o y= x2+20x及一次函數(shù)y=8x6a3，則只需考慮這兩個(gè) 函數(shù)的圖象在x軸上方恒有唯一交點(diǎn)即可。 解：令y1= x2+20x=（x+10）2100,y2=8x6a3,則如圖所示，y1的圖象為一個(gè)定拋物線，y2的圖象是一條斜率為定值8，而截距不定的直線，要使y1和y2在x軸上有唯一交點(diǎn)，則直線必須位于l1和

37、l2之間。（包括l1但不包括l2) 當(dāng)直線為l1時(shí)，直線過點(diǎn)（20，0）此時(shí)縱截距為6a3=160,a=; 當(dāng)直線為l2時(shí)，直線過點(diǎn)（0，0），縱截距為6a3=0，a= ∴a的范圍為[，）。 5．解：（1）當(dāng)時(shí)，方程化為，表示軸。 （2）當(dāng)時(shí)，方程化為，表示軸 （3）當(dāng)時(shí)，方程為標(biāo)準(zhǔn)形式： ①當(dāng)時(shí)，方程化為表示以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓。 ②當(dāng)時(shí)，方程（*）表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，焦點(diǎn)為 ③當(dāng)時(shí)，方程（*）表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，焦點(diǎn)為 ④當(dāng)時(shí)，方程（*）表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，焦點(diǎn)為 ⑤當(dāng)時(shí)，方程（*

38、）表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，焦點(diǎn)為 6．解：設(shè)空調(diào)機(jī)、洗衣機(jī)的月供應(yīng)量分別是x、y臺(tái)，總利潤(rùn)是P，則P＝6x+8y 由題意：30x+20y ≤300 5x+10y≤110 x≥0，y≥0 x、y均為整數(shù) 畫圖知直線 y＝－3/4x＋1/8P 過M（4,9）時(shí)，縱截距最大，這時(shí)P也取最大值Pmax＝6×4＋8×9＝96（百元） 故：當(dāng)月供應(yīng)量為：空調(diào)機(jī)4臺(tái)，洗衣機(jī)9臺(tái)時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)9600元。 7．解：設(shè)每盒盒飯需要面食x（百克），米食y（百克） 則目標(biāo)函數(shù)為S＝0.5x+0.4y

39、 且x，y滿足 ： 6x+3y≥8 4x+7y≥10 x≥0 ，y≥0 畫圖可知，直線 y＝－5/4x+5/2S 過A（13/15,14/15）時(shí)，縱截距5/2S最小，即S最小。 故每盒盒飯為13/15百克，米食14/15百克時(shí)既科學(xué)又費(fèi)用最少。 8．解答從略，答案是： 值班人員的眼睛距表盤距離為 （米）。本題材料背景:儀表及工業(yè)電視，是現(xiàn)代化企業(yè)的眼睛，它總是全神貫注地注視著生產(chǎn)內(nèi)部過程，并忠實(shí)地把各種指標(biāo)顯示在值班人員的面前。這就要在值班人員和儀表及工業(yè)電視之間，建立某種緊密的聯(lián)系，聯(lián)系的紐帶是值班人員的眼睛！因此只有在最佳位置上安排值班人員的座位，才

40、能避免盲目性。 9.解：假設(shè)圍欄的邊長(zhǎng)為x米和玉米，于是由題設(shè)可知x＞0，y＞0，且 xy＝144 （1） 2x+y≤50 （2） 雙曲線xy＝144在第一象線內(nèi)的一支與直線2x＋y＝50的交點(diǎn)是A（），B（），滿足條件（1）、（2）的解集是在雙曲線xy＝144（），這一段上的點(diǎn)集（即如圖中雙曲線A、B之間的一段），當(dāng)過雙曲線A、B之間上的任一點(diǎn)作一點(diǎn)作直線2x＋y＝k（k＞0）就是相應(yīng)需用鐵絲網(wǎng)的長(zhǎng)度，直線2x+y=k（k＞0）與雙曲線xy＝144相切。這時(shí)，相應(yīng)的k值最小，消去y得x的二次方程： ，從△＝0得， 即k＝24（米）所需用鐵絲網(wǎng)的最短長(zhǎng)度為24米。從圖中知，利用已有墻的最大長(zhǎng)度由點(diǎn)A的縱坐標(biāo)給出，即米，利用墻的最短長(zhǎng)度由B縱坐標(biāo)給出，即米。