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1、2022年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理 新人教版A版 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分. 1．命題“，”的否定是（ ） A．， B．， C．， D．， 2.拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程是 ( 　　). A. B. C. D. 3. 某雷達(dá)測(cè)速區(qū)規(guī)定：凡車(chē)速大于或等于80 km/h的汽車(chē)視為“超速”，并將受到處罰．如圖是某路段的一個(gè)檢測(cè)點(diǎn)對(duì)200輛汽車(chē)的車(chē)速進(jìn)行檢測(cè)所得結(jié)果的頻率分布 直方圖，則從圖中可以看出被處罰的汽車(chē)大約有（　?。? A．20輛

2、 B．40輛 C．60輛 D．80輛 4.雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（ ） A． B． C． D． （第5題） 5．如圖所示，在邊長(zhǎng)為2的正方形中有一封閉曲線(xiàn)圍成的陰影區(qū)域．在正方形中隨機(jī)撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為，則陰影區(qū)域的面積為(　　) A. B. C. D. 6．如果方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則的取值范圍是( ) A. B. C. D. 7. 已知拋物線(xiàn)，以為中點(diǎn)作拋物線(xiàn)的弦，則這條弦所在直線(xiàn)的

3、方程為（　?。? A. B. C. D. 8. 已知?jiǎng)訄A與圓和圓都外切,則動(dòng)圓圓心的軌跡是 ( ) A．圓 B．橢圓 C．雙曲線(xiàn) D．雙曲線(xiàn)的一支 9. M為拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，Ｆ是焦點(diǎn)，P(5,4) 是定點(diǎn)，則當(dāng)取最小值時(shí)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 10.已知是雙曲線(xiàn)的兩焦點(diǎn)，以線(xiàn)段為邊作正三角

4、形，若的中點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，則雙曲線(xiàn)的離心率為（ ） A. B. C. D. 第II卷（非選擇題 共100分） 二、填空題：本大題5小題，每小題4分，共20分。 11．過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)作一條直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)，若線(xiàn)段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則等于 . 12．已知橢圓 + =1的兩個(gè)焦點(diǎn)是F1、F2,點(diǎn)P在該橢圓上,若|PF1|-|PF2|=2,則△PF1F2的面積是　　 　. 13．已知點(diǎn)A(0，－1)，當(dāng)點(diǎn)B在曲線(xiàn)y＝2x2＋1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程是____________． 14．已知：，：，若是

5、的充分不必要條件，則的取值范圍是 . 15．已知兩個(gè)點(diǎn)M(-5,0)和N(5,0)，若直線(xiàn)上存在點(diǎn)P，使|PM|-|PN|=6,則稱(chēng)該直線(xiàn)為“B型直線(xiàn)”，給出下列直線(xiàn)：①y=x+1; ②；③y=2；④y=2x+1．其中為“B型直線(xiàn)”的是 ．（填上所有正確結(jié)論的序號(hào)） 三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。 16．（本小題13分） 已知中心在原點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程是，且雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn) （Ⅰ）求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）過(guò)雙曲線(xiàn)右焦點(diǎn)作傾斜角為的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于，求. 17．

6、（本小題13分） 已知命題：方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，命題：關(guān)于x的方程無(wú)實(shí)根，若“”為假命題，“”為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 18．（本小題13分) 某商場(chǎng)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，從裝有編號(hào)0，1，2，3四個(gè)球的抽獎(jiǎng)箱中，每次取出后放回，連續(xù)取兩次，取出的兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和等于5中一等獎(jiǎng)，等于4中二等獎(jiǎng)，等于3中三等獎(jiǎng)。 （1）求中二等獎(jiǎng)的概率； （2）求未中獎(jiǎng)的概率。 19．（本小題14分） 已知頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為的拋物線(xiàn)與直線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，. （1）求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）求的值； （3）當(dāng)拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)到運(yùn)動(dòng)時(shí)，求面積的最

7、大值． 20．（本小題滿(mǎn)分13分） 已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)在軸上，若右焦點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）是否存在斜率為，過(guò)定點(diǎn)Q(0,2)的直線(xiàn)，使與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，且？若存在，求出k的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由． 21．（本小題滿(mǎn)分14分） 已知橢圓過(guò)點(diǎn)，其焦距為. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）已知橢圓具有如下性質(zhì)：若橢圓的方程為，則橢圓在其上一點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問(wèn)題： （i）如圖（1），點(diǎn)為在第一象限中的任意一點(diǎn)，過(guò)作的切線(xiàn)，分別與軸和軸的正半軸交于兩點(diǎn)，求面積的最小值； （ii）如圖（2），過(guò)橢圓上任意

8、一點(diǎn)作的兩條切線(xiàn)和，切點(diǎn)分別為.當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在定圓恒與直線(xiàn)相切？若存在，求出圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 圖（1） 圖（2） 高二期中考數(shù)學(xué)（理科）參考答案 一、選擇題（每小題5分，共60分） 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A B B C B D B C 二、填空題（每小題4分，共20分） 11. 6 12. 13. 14. 15. ①③

9、 三．解答題：（本大題共6小題，共80分. ） 16．解：(1)設(shè)雙曲線(xiàn)方程為：，點(diǎn)代入得：， 所以所求雙曲線(xiàn)方程為： （2）直線(xiàn)的方程為：， 由 得：， . 17. 18.解: （1）記試驗(yàn)的基本事件為（x,y）,x,y分別表示第一次和第二次取到的編號(hào)，則所有基本事件為(0,0)(0,1)(0,2)(0,3)(1,0)(1,1)(1,2)(1,3)(2,0)(2,1)(2,2)(2,3)(3,0)(3,1)(3,2)(3,3

10、)共16個(gè)， 設(shè)“中二等獎(jiǎng)”的事件為A，其中事件A包含基本事件共3個(gè)， ———6分 （2）設(shè)“未中獎(jiǎng)”的事件為B ，“兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和等于3”這一事件包括基本事件 共4個(gè)，“兩個(gè)小球號(hào)碼相加之和等于5”這一事件包括基本事件共2個(gè) ——————12分 答：略——————13分 19. 解：（1）設(shè)所求的拋物線(xiàn)方程為，根據(jù)題意， ∴所求的拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程為. …………2分 （2）設(shè)A（x1,y1)、B(x2,y2), 由得4x2+4(b-1)x+b2=0, …………3分 Δ=16(b-1)2-16b2>0

11、. ∴. …………5分 又由韋達(dá)定理有x1+x2=1-b,x1x2=, ∴= …………7分 即. ∴. …………8分 20. 解：（I）依題意可設(shè)橢圓方程為 ，則右焦點(diǎn)， 由題設(shè)：，解得：， 故所求橢圓的方程為. ……… 4分 （II）設(shè)存在直線(xiàn)符合題意，直線(xiàn)方程為，代入橢圓方程得： ， ……… 6分 設(shè)，為弦的中點(diǎn)，則 由韋達(dá)定理得：

12、， …… 8分 ， ……9分 因?yàn)? …11分 不符合，所以不存在直線(xiàn)符合題意. … 13分 21. （I）解：依題意得：橢圓的焦點(diǎn)為，由橢圓定義知： ，所以橢圓的方程為. …………… 4分 （II）（?。┰O(shè)，則橢圓在點(diǎn)B處的切線(xiàn)方程為 令，，令，所以 …………… 5分 又點(diǎn)B在橢圓的第一象限上，所以 …………… 7分 ，當(dāng)且僅當(dāng) 所以當(dāng)時(shí)，三角形OCD的面積的最小值為 …………… 9分 （Ⅲ）設(shè)，則橢圓在點(diǎn)處的切線(xiàn)為： 又過(guò)點(diǎn)，所以，同理點(diǎn)也滿(mǎn)足， 所以都在直線(xiàn)上， 即：直線(xiàn)MN的方程為　 ……………12分 所以原點(diǎn)O到直線(xiàn)MN的距離，………… 13分 所以直線(xiàn)MN始終與圓相切. …………… 14分