2022年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 函數(shù)問(wèn)題的題型與方法教案 蘇教版
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1、2022年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 函數(shù)問(wèn)題的題型與方法教案 蘇教版 一.復(fù)習(xí)目標(biāo): 1.了解映射的概念,理解函數(shù)的概念。 2.了解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的概念,掌握判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的方法,并能利用函數(shù)的性質(zhì)簡(jiǎn)化函數(shù)圖象的繪制過(guò)程。 3.了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系,會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的反函數(shù)。 4.理解分?jǐn)?shù)指數(shù)的概念,掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì),掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)。 5.理解對(duì)數(shù)的概念,掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)。 6.能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。 二.考試要求: 1.靈活運(yùn)用函數(shù)概
2、念、性質(zhì)和不等式等知識(shí)以及分類討論等方法,解函數(shù)綜合題。 2.應(yīng)用函數(shù)知識(shí)及思想方法,解決函數(shù)的最值問(wèn)題、探索性問(wèn)題與應(yīng)用性問(wèn)題,提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。 三.教學(xué)過(guò)程: (Ⅰ)函數(shù)的概念型問(wèn)題 函數(shù)概念的復(fù)習(xí)當(dāng)然應(yīng)該從函數(shù)的定義開(kāi)始.函數(shù)有二種定義,一是變量觀點(diǎn)下的定義,一是映射觀點(diǎn)下的定義.復(fù)習(xí)中不能僅滿足對(duì)這兩種定義的背誦,而應(yīng)在判斷是否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系,兩個(gè)函數(shù)關(guān)系是否相同等問(wèn)題中得到深化,更應(yīng)在有關(guān)反函數(shù)問(wèn)題中正確運(yùn)用.具體要求是: 1.深化對(duì)函數(shù)概念的理解,明確函數(shù)三要素的作用,并能以此為指導(dǎo)正確理解函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系. 2.系統(tǒng)歸納求函數(shù)定義域、值域、解析式、反函
3、數(shù)的基本方法.在熟練有關(guān)技能的同時(shí),注意對(duì)換元、待定系數(shù)法等數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用. 3.通過(guò)對(duì)分段定義函數(shù),復(fù)合函數(shù),抽象函數(shù)等的認(rèn)識(shí),進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)關(guān)系的本質(zhì),進(jìn)一步樹(shù)立運(yùn)動(dòng)變化,相互聯(lián)系、制約的函數(shù)思想,為函數(shù)思想的廣泛運(yùn)用打好基礎(chǔ). 本部分內(nèi)容的重點(diǎn)是不僅從認(rèn)識(shí)上,而且從處理函數(shù)問(wèn)題的指導(dǎo)上達(dá)到從三要素總體上把握函數(shù)概念的要求,對(duì)確定函數(shù)三要素的常用方法有個(gè)系統(tǒng)的認(rèn)識(shí),對(duì)于給出解析式的函數(shù),會(huì)求其反函數(shù). 本部分的難點(diǎn)首先在于克服“函數(shù)就是解析式”的片面認(rèn)識(shí),真正明確不僅函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則,而且其定義域都包含著對(duì)函數(shù)關(guān)系的制約作用,并真正以此作為處理問(wèn)題的指導(dǎo).其次在于確定函數(shù)三要素、求
4、反函數(shù)等課題的綜合性,不僅要用到解方程,解不等式等知識(shí),還要用到換元思想、方程思想等與函數(shù)有關(guān)概念的結(jié)合. 函數(shù)的概念是復(fù)習(xí)函數(shù)全部?jī)?nèi)容和建立函數(shù)思想的基礎(chǔ),不能僅滿足會(huì)背誦定義,會(huì)做一些有關(guān)題目,要從聯(lián)系、應(yīng)用的角度求得理解上的深度,還要對(duì)確定函數(shù)三要素的類型、方法作好系統(tǒng)梳理,這樣才能進(jìn)一步為綜合運(yùn)用打好基礎(chǔ).復(fù)習(xí)的重點(diǎn)是求得對(duì)這些問(wèn)題的系統(tǒng)認(rèn)識(shí),而不是急于做過(guò)難的綜合題. ㈠深化對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí) 例1.下列函數(shù)中,不存在反函數(shù)的是 ( ) 分析:處理本題有多種思路.分別求所給各函數(shù)的反函數(shù),看是否存在是不好的,因?yàn)檫^(guò)程太繁瑣.
5、 從概念看,這里應(yīng)判斷對(duì)于給出函數(shù)值域內(nèi)的任意值,依據(jù)相應(yīng)的對(duì)應(yīng)法則,是否在其定義域內(nèi)都只有惟一確定的值與之對(duì)應(yīng),因此可作出給定函數(shù)的圖象,用數(shù)形結(jié)合法作判斷,這是常用方法,請(qǐng)讀者自己一試. 此題作為選擇題還可采用估算的方法.對(duì)于D,y=3是其值域內(nèi)一個(gè)值,但若y=3,則可能x=2(2>1),也可能x=-1(-1≤-1).依據(jù)概念,則易得出D中函數(shù)不存在反函數(shù).于是決定本題選D. 說(shuō)明:不論采取什么思路,理解和運(yùn)用函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系是這里解決問(wèn)題的關(guān)鍵. 由于函數(shù)三要素在函數(shù)概念中的重要地位,那么掌握確定函數(shù)三要素的基本方法當(dāng)然成了函數(shù)概念復(fù)習(xí)中的重要課題. ㈡系統(tǒng)小結(jié)確定函數(shù)三要
6、素的基本類型與常用方法 1.求函數(shù)定義域的基本類型和常用方法 由給定函數(shù)解析式求其定義域這類問(wèn)題的代表,實(shí)際上是求使給定式有意義的x的取值范圍.它依賴于對(duì)各種式的認(rèn)識(shí)與解不等式技能的熟練.這里的最高層次要求是給出的解析式還含有其他字 例2.已知函數(shù)定義域?yàn)?0,2),求下列函數(shù)的定義域: 分析:x的函數(shù)f(x)是由u=x與f(u)這兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù),其中x是自變量,u是中間變量.由于f(x),f(u)是同一個(gè)函數(shù),故(1)為已知0<u<2,即0<x<2.求x的取值范圍. 解:(1)由0<x<2, 得 說(shuō)明:本例(1)是求函數(shù)定義域的第二種類型,即不給出
7、f(x)的解析式,由f(x)的定義域求函數(shù)f[g(x)]的定義域.關(guān)鍵在于理解復(fù)合函數(shù)的意義,用好換元法.(2)是二種類型的綜合. 求函數(shù)定義域的第三種類型是一些數(shù)學(xué)問(wèn)題或?qū)嶋H問(wèn)題中產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系,求其定義域,后面還會(huì)涉及到. 2.求函數(shù)值域的基本類型和常用方法 函數(shù)的值域是由其對(duì)應(yīng)法則和定義域共同決定的.其類型依解析式的特點(diǎn)分可分三類:(1)求常見(jiàn)函數(shù)值域;(2)求由常見(jiàn)函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的值域;(3)求由常見(jiàn)函數(shù)作某些“運(yùn)算”而得函數(shù)的值域. 3.求函數(shù)解析式舉例 例3.已知xy<0,并且4x-9y=36.由此能否確定一個(gè)函數(shù)關(guān)系y=f(x)?如果能,求出其解析式、定義域和值域
8、;如果不能,請(qǐng)說(shuō)明理由. 分析: 4x-9y=36在解析幾何中表示雙曲線的方程,僅此當(dāng)然不能確定一個(gè)函數(shù)關(guān)系y=f(x),但加上條件xy<0呢? 所以 因此能確定一個(gè)函數(shù)關(guān)系y=f(x).其定義域?yàn)?-∞,-3)∪(3,+∞).且不難得到其值域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞). 說(shuō)明:本例從某種程度上揭示了函數(shù)與解析幾何中方程的內(nèi)在聯(lián)系.任何一個(gè)函數(shù)的解析式都可看作一個(gè)方程,在一定條件下,方程也可轉(zhuǎn)化為表示函數(shù)的解析式.求函數(shù)解析式還有兩類問(wèn)題: (1)求常見(jiàn)函數(shù)的解析式.由于常見(jiàn)函數(shù)(一次函數(shù),二次函數(shù),冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù)及反三角函數(shù))的解析式的結(jié)構(gòu)形式是
9、確定的,故可用待定系數(shù)法確定其解析式.這里不再舉例. (2)從生產(chǎn)、生活中產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系的確定.這要把有關(guān)學(xué)科知識(shí),生活經(jīng)驗(yàn)與函數(shù)概念結(jié)合起來(lái),舉例也宜放在函數(shù)復(fù)習(xí)的以后部分. (Ⅱ)函數(shù)與方程的思想方法 函數(shù)思想,是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)題。方程思想,是從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手,運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(方程、不等式、或方程與不等式的混合組),然后通過(guò)解方程(組)或不等式(組)來(lái)使問(wèn)題獲解。有時(shí),還實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌,達(dá)到解決問(wèn)題的目的。 方程思想是:實(shí)際問(wèn)題→數(shù)學(xué)問(wèn)題→代數(shù)問(wèn)題→方程問(wèn)題。函數(shù)和多元方程沒(méi)有什么本質(zhì)的區(qū)別,如函數(shù)y=
10、f(x),就可以看作關(guān)于x、y的二元方程f(x)-y=0。可以說(shuō),函數(shù)的研究離不開(kāi)方程。列方程、解方程和研究方程的特性,都是應(yīng)用方程思想時(shí)需要重點(diǎn)考慮的。 函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系,函數(shù)思想通過(guò)提出問(wèn)題的數(shù)學(xué)特征,建立函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學(xué)模型,從而進(jìn)行研究。一般地,函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題,經(jīng)常利用的性質(zhì)是:f(x)、f(x)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等,要求我們熟練掌握的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的具體特性。在解題中,善于挖掘題目中的隱含條件,構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì),是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵。對(duì)所給的問(wèn)題觀察、分析、
11、判斷比較深入、充分、全面時(shí),才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系,構(gòu)造出函數(shù)原型。另外,方程問(wèn)題、不等式問(wèn)題和某些代數(shù)問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函數(shù)問(wèn)題,即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問(wèn)題。 (一)函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù)的性質(zhì)是研究初等函數(shù)的基石,也是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容.在復(fù)習(xí)中要肯于在對(duì)定義的深入理解上下功夫. 復(fù)習(xí)函數(shù)的性質(zhì),可以從“數(shù)”和“形”兩個(gè)方面,從理解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的定義入手,在判斷和證明函數(shù)的性質(zhì)的問(wèn)題中得以鞏固,在求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的最值及應(yīng)用問(wèn)題的過(guò)程中得以深化.具體要求是: 1.正確理解函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義,能準(zhǔn)確判斷函數(shù)的奇偶性,以及函數(shù)在某一區(qū)間的單調(diào)性,能熟練運(yùn)用定義
12、證明函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性. 2.從數(shù)形結(jié)合的角度認(rèn)識(shí)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性,深化對(duì)函數(shù)性質(zhì)幾何特征的理解和運(yùn)用,歸納總結(jié)求函數(shù)最大值和最小值的常用方法. 3.培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)分析問(wèn)題,提高學(xué)生用換元、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的能力. 這部分內(nèi)容的重點(diǎn)是對(duì)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性定義的深入理解. 函數(shù)的單調(diào)性只能在函數(shù)的定義域內(nèi)來(lái)討論.函數(shù)y=f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性,反映了函數(shù)在區(qū)間上函數(shù)值的變化趨勢(shì),是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì),但不一定是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì).函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的,所以要受到區(qū)間的限制. 對(duì)函數(shù)奇偶性定義的理解,不能只停留在f(-x)=f
13、(x)和f(-x)=-f(x)這兩個(gè)等式上,要明確對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x)的實(shí)質(zhì)是:函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件.稍加推廣,可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱的充要條件是對(duì)定義域內(nèi)的任意x,都有f(x+a)=f(a-x)成立.函數(shù)的奇偶性是其相應(yīng)圖象的特殊的對(duì)稱性的反映. 這部分的難點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合運(yùn)用.根據(jù)已知條件,調(diào)動(dòng)相關(guān)知識(shí),選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問(wèn)題,是對(duì)學(xué)生能力的較高要求. 1.對(duì)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性定義的理解 例4.下面四個(gè)結(jié)論:①偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交;②奇函數(shù)的圖象一定通過(guò)原點(diǎn);③偶
14、函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;④既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)=0(x∈R),其中正確命題的個(gè)數(shù)是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 分析:偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,但不一定相交,因此③正確,①錯(cuò)誤. 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,但不一定經(jīng)過(guò)原點(diǎn),因此②不正確. 若y=f(x)既是奇函數(shù),又是偶函數(shù),由定義可得f(x)=0,但不一定x∈R,如例1中的(3),故④錯(cuò)誤,選A. 說(shuō)明:既奇又偶函數(shù)的充要條件是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且函數(shù)值恒為零. 2.復(fù)合函數(shù)的性質(zhì) 復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]是由函數(shù)u=g(x)和y=f(u
15、)構(gòu)成的,因變量y通過(guò)中間變量u與自變量x建立起函數(shù)關(guān)系,函數(shù)u=g(x)的值域是y=f(u)定義域的子集. 復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)由構(gòu)成它的函數(shù)性質(zhì)所決定,具備如下規(guī)律: (1)單調(diào)性規(guī)律 如果函數(shù)u=g(x)在區(qū)間[m,n]上是單調(diào)函數(shù),且函數(shù)y=f(u)在區(qū)間[g(m),g(n)] (或[g(n),g(m)])上也是單調(diào)函數(shù),那么 若u=g(x),y=f(u)增減性相同,則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]為增函數(shù);若u=g(x),y= f(u)增減性不同,則y=f[g(x)]為減函數(shù). (2)奇偶性規(guī)律 若函數(shù)g(x),f(x),f[g(x)]的定義域都是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的,則u=g(x),y
16、=f(u)都是奇函數(shù)時(shí),y=f[g(x)]是奇函數(shù);u=g(x),y=f(u)都是偶函數(shù),或者一奇一偶時(shí),y= f[g(x)]是偶函數(shù). 例5.若y=log(2-ax)在[0,1]上是x的減函數(shù),則a的取值范圍是( ?。? A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.[2,+∞) 分析:本題存在多種解法,但不管哪種方法,都必須保證:①使log(2-ax)有意義,即a>0且a≠1,2-ax>0.②使log(2-ax)在[0,1]上是x的減函數(shù).由于所給函數(shù)可分解為y=logu,u=2-ax,其中u=2-ax在a>0時(shí)為減函數(shù),所以必須a>1;③[0,1]
17、必須是y=log(2-ax)定義域的子集. 解法一:因?yàn)閒(x)在[0,1]上是x的減函數(shù),所以f(0)>f(1), 即log2>log(2-a). 解法二:由對(duì)數(shù)概念顯然有a>0且a≠1,因此u=2-ax在[0,1]上是減函數(shù),y= logu應(yīng)為增函數(shù),得a>1,排除A,C,再令 故排除D,選B. 說(shuō)明:本題綜合了多個(gè)知識(shí)點(diǎn),無(wú)論是用直接法,還是用排除法都需要概念清楚,推理正確. 3.函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合運(yùn)用 例6.甲、乙兩地相距Skm,汽車從甲地勻速行駛到乙地,速度不得超過(guò)c km/h,已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成:可變部分與速度
18、v(km/h)的平方成正比,比例系數(shù)為b;固定部分為a元. (1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度v(km/h)的函數(shù),并指出這個(gè)函數(shù)的定義域; (2)為了使全程運(yùn)輸成本最小,汽車應(yīng)以多大速度行駛. 分析:(1)難度不大,抓住關(guān)系式:全程運(yùn)輸成本=單位時(shí)間運(yùn)輸成本×全程運(yùn)輸時(shí)間,而全程運(yùn)輸時(shí)間=(全程距離)÷(平均速度)就可以解決. 故所求函數(shù)及其定義域?yàn)? 但由于題設(shè)條件限制汽車行駛速度不超過(guò)ckm/h,所以(2)的解決需要 論函數(shù)的增減性來(lái)解決. 由于vv>0,v-v>0,并且 又S>0,所以即 則當(dāng)v=c時(shí),y取最小值.
19、 說(shuō)明:由于限制汽車行駛速度不得超過(guò)c,因而求最值的方法也就不完全是常用的方法,再加上字母的抽象性,使難度有所增大. (二)函數(shù)的圖象 1.掌握描繪函數(shù)圖象的兩種基本方法——描點(diǎn)法和圖象變換法. 2.會(huì)利用函數(shù)圖象,進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì),解決方程、不等式中的問(wèn)題. 3.用數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想和轉(zhuǎn)化變換的思想分析解決數(shù)學(xué)問(wèn)題. 4.掌握知識(shí)之間的聯(lián)系,進(jìn)一步培養(yǎng)觀察、分析、歸納、概括和綜合分析能力. 以解析式表示的函數(shù)作圖象的方法有兩種,即列表描點(diǎn)法和圖象變換法,掌握這兩種方法是本節(jié)的重點(diǎn). 運(yùn)用描點(diǎn)法作圖象應(yīng)避免描點(diǎn)前的盲目性,也應(yīng)避免盲目地連點(diǎn)成線.要把表列在關(guān)鍵處
20、,要把線連在恰當(dāng)處.這就要求對(duì)所要畫(huà)圖象的存在范圍、大致特征、變化趨勢(shì)等作一個(gè)大概的研究.而這個(gè)研究要借助于函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式等理論和手段,是一個(gè)難點(diǎn).用圖象變換法作函數(shù)圖象要確定以哪一種函數(shù)的圖象為基礎(chǔ)進(jìn)行變換,以及確定怎樣的變換.這也是個(gè)難點(diǎn). 1.作函數(shù)圖象的一個(gè)基本方法 例7.作出下列函數(shù)的圖象(1)y=|x-2|(x+1);(2)y=10|lgx|. 分析:顯然直接用已知函數(shù)的解析式列表描點(diǎn)有些困難,除去對(duì)其函數(shù)性質(zhì)分析外,我們還應(yīng)想到對(duì)已知解析式進(jìn)行等價(jià)變形. 解:(1)當(dāng)x≥2時(shí),即x-2≥0時(shí), 當(dāng)x<2時(shí),即x-2<0時(shí), 這是分段函數(shù),每段函數(shù)圖
21、象可根據(jù)二次函數(shù)圖象作出(見(jiàn)圖6) (2)當(dāng)x≥1時(shí),lgx≥0,y=10|lgx|=10lgx=x; 當(dāng)0<x<1時(shí),lgx<0, 所以 這是分段函數(shù),每段函數(shù)可根據(jù)正比例函數(shù)或反比例函數(shù)作出.(見(jiàn)圖7) 說(shuō)明:作不熟悉的函數(shù)圖象,可以變形成基本函數(shù)再作圖,但要注意變形過(guò)程是否等價(jià),要特別注意x,y的變化范圍.因此必須熟記基本函數(shù)的圖象.例如:一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù),及三角函數(shù)、反三角函數(shù)的圖象. 在變換函數(shù)解析式中運(yùn)用了轉(zhuǎn)化變換和分類討論的思想. 2.作函數(shù)圖象的另一個(gè)基本方法——圖象變換法. 一個(gè)函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q(如平移、伸縮、對(duì)稱、
22、旋轉(zhuǎn)等),得到另一個(gè)與之相關(guān)的圖象,這就是函數(shù)的圖象變換. 在高中,主要學(xué)習(xí)了三種圖象變換:平移變換、伸縮變換、對(duì)稱變換. (1)平移變換 函數(shù)y=f(x+a)(a≠0)的圖象可以通過(guò)把函數(shù)y=f(x)的圖象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|個(gè)單位而得到; 函數(shù)y=f(x)+b(b≠0)的圖象可以通過(guò)把函數(shù)y=f(x)的圖象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|個(gè)單位而得到. (2)伸縮變換 函數(shù)y=Af(x)(A>0,A≠1)的圖象可以通過(guò)把函數(shù)y=f(x)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)(A>1)或縮短(0<A<1)成原來(lái)的A倍,橫坐標(biāo)不變而得到. 函數(shù)y=f(ωx)(ω>0
23、,ω≠1)的圖象可以通過(guò)把函數(shù)y=f(x)的圖象上 而得到. (3)對(duì)稱變換 函數(shù)y=-f(x)的圖象可以通過(guò)作函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱的圖形而得到. 函數(shù)y=f(-x)的圖象可以通過(guò)作函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形而得到. 函數(shù)y=-f(-x)的圖象可以通過(guò)作函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖形而得到. 函數(shù)y=f-1(x)的圖象可以通過(guò)作函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圖形而得到。 函數(shù)y=f(|x|)的圖象可以通過(guò)作函數(shù)y=f(x)在y軸右方的圖象及其與y軸對(duì)稱的圖形而得到. 函數(shù)y=|f(x)|的圖象可以通過(guò)作函數(shù)y=f(x)的圖象
24、,然后把在x軸下方的圖象以x軸為對(duì)稱軸翻折到x軸上方,其余部分保持不變而得到. 例8.已知f(x+199)=4x+4x+3(x∈R),那么函數(shù)f(x)的最小值為_(kāi)___. 分析:由f(x+199)的解析式求f(x)的解析式運(yùn)算量較大,但這里我們注意到,y=f(x +100)與y=f(x),其圖象僅是左右平移關(guān)系,它們?nèi)〉? 求得f(x)的最小值即f(x+199)的最小值是2. 說(shuō)明:函數(shù)圖象與函數(shù)性質(zhì)本身在學(xué)習(xí)中也是密切聯(lián)系的,是“互相利用”關(guān)系,函數(shù)圖象在判斷函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、周期性及求最值等方面都有重要用途. (Ⅳ)函數(shù)綜合應(yīng)用 函數(shù)的綜合復(fù)習(xí)是在系統(tǒng)復(fù)習(xí)函數(shù)有關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)
25、上進(jìn)行函數(shù)的綜合應(yīng)用: 1.在應(yīng)用中深化基礎(chǔ)知識(shí).在復(fù)習(xí)中基礎(chǔ)知識(shí)經(jīng)歷一個(gè)由分散到系統(tǒng),由單一到綜合的發(fā)展過(guò)程.這個(gè)過(guò)程不是一次完成的,而是螺旋式上升的.因此要在應(yīng)用深化基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí),使基礎(chǔ)知識(shí)向深度和廣度發(fā)展. 2.以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體突出數(shù)學(xué)思想方法.?dāng)?shù)學(xué)思想方法是觀念性的東西,是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的靈魂,同時(shí)它又離不開(kāi)具體的數(shù)學(xué)知識(shí).函數(shù)內(nèi)容最重要的數(shù)學(xué)思想是函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合的思想.此外還應(yīng)注意在解題中運(yùn)用的分類討論、換元等思想方法.解較綜合的數(shù)學(xué)問(wèn)題要進(jìn)行一系列等價(jià)轉(zhuǎn)化或非等價(jià)轉(zhuǎn)化.因此本課題也十分重視轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想. 3.重視綜合運(yùn)用知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力和推理論證能力的培養(yǎng).函
26、數(shù)是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的開(kāi)始,還不可能在大范圍內(nèi)綜合運(yùn)用知識(shí).但從復(fù)習(xí)開(kāi)始就讓學(xué)生樹(shù)立綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的意識(shí)是十分重要的.推理論證能力是學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié),近幾年高考命題中加強(qiáng)對(duì)這方面的考查,尤其是對(duì)代數(shù)推理論證能力的考查是十分必要的.本課題在例題安排上作了這方面的考慮. 具體要求是: 1.在全面復(fù)習(xí)函數(shù)有關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步深刻理解函數(shù)的有關(guān)概念,全面把握各類函數(shù)的特征,提高運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)解決問(wèn)題的能力. 2.掌握初等數(shù)學(xué)研究函數(shù)的方法,提高研究函數(shù)的能力,重視數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用和推理論證能力的培養(yǎng). 3.初步溝通函數(shù)與方程、不等式及解析幾何有關(guān)知識(shí)的橫向聯(lián)系,提高綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題
27、的能力. 4.樹(shù)立函數(shù)思想,使學(xué)生善于用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)分析問(wèn)題. 本部分內(nèi)容的重點(diǎn)是:通過(guò)對(duì)問(wèn)題的講解與分析,使學(xué)生能較好的調(diào)動(dòng)函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)解決問(wèn)題,并在解決問(wèn)題中深化對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解,深化對(duì)函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想的理解與運(yùn)用. 難點(diǎn)是:函數(shù)思想的理解與運(yùn)用,推理論證能力、綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)與提高. 函數(shù)的綜合運(yùn)用主要是指運(yùn)用函數(shù)的知識(shí)、思想和方法綜合解決問(wèn)題.函數(shù)描述了自然界中量的依存關(guān)系,是對(duì)問(wèn)題本身的數(shù)量本質(zhì)特征和制約關(guān)系的一種刻畫(huà),用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對(duì)象,抽象其數(shù)學(xué)特征,建立函數(shù)關(guān)系.因此,運(yùn)動(dòng)變化、相互聯(lián)系、相互制約是函數(shù)思想的精髓,掌握有關(guān)函數(shù)知識(shí)是運(yùn)
28、用函數(shù)思想的前提,提高用初等數(shù)學(xué)思想方法研究函數(shù)的能力,樹(shù)立運(yùn)用函數(shù)思想解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的意識(shí)是運(yùn)用函數(shù)思想的關(guān)鍵. 1.準(zhǔn)確理解、熟練運(yùn)用,不斷深化有關(guān)函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí) 在中學(xué)階段函數(shù)只限于定義在實(shí)數(shù)集合上的一元單值函數(shù),其內(nèi)容可分為兩部分.第一部分是函數(shù)的概念和性質(zhì),這部分的重點(diǎn)是能從變量的觀點(diǎn)和集合映射的觀點(diǎn)理解函數(shù)及其有關(guān)概念,掌握描述函數(shù)性質(zhì)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等概念;第二部分是七類常見(jiàn)函數(shù)(一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù))的圖象和性質(zhì).第一部分是理論基礎(chǔ),第二部分是第一部分的運(yùn)用與發(fā)展. 例9.已知函數(shù)f(x),x∈F,那么集合{(x,y)|y
29、=f(x),x∈F}∩{(x,y)|x=1}中所含元素的個(gè)數(shù)是.( ) A.0 B.1 C.0或1 D.1或2 分析:這里首先要識(shí)別集合語(yǔ)言,并能正確把集合語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成熟悉的語(yǔ)言.從函數(shù)觀點(diǎn)看,問(wèn)題是求函數(shù)y=f(x),x∈F的圖象與直線x=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)(這是一次數(shù)到形的轉(zhuǎn)化),不少學(xué)生常誤認(rèn)為交點(diǎn)是1個(gè),并說(shuō)這是根據(jù)函數(shù)定義中“惟一確定”的規(guī)定得到的,這是不正確的,因?yàn)楹瘮?shù)是由定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則三要素組成的.這里給出了函數(shù)y=f(x)的定義域是F,但未明確給出1與F的關(guān)系,當(dāng)1∈F時(shí)有1個(gè)交點(diǎn),當(dāng)1 F時(shí)沒(méi)有交點(diǎn),所以選C. 2.掌握研究函數(shù)的方
30、法,提高研究函數(shù)問(wèn)題的能力 高中數(shù)學(xué)對(duì)函數(shù)的研究理論性加強(qiáng)了,對(duì)一些典型問(wèn)題的研究十分重視,如求函數(shù)的定義域,確定函數(shù)的解析式,判斷函數(shù)的奇偶性,判斷或證明函數(shù)在指定區(qū)間的單調(diào)性等,并形成了研究這些問(wèn)題的初等方法,這些方法對(duì)分析問(wèn)題能力,推理論證能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)能力的培養(yǎng)和發(fā)展是十分重要的. 函數(shù)、方程、不等式是相互聯(lián)系的.對(duì)于函數(shù)f(x)與g(x),令f(x)=g(x),f(x)>g(x)或f(x)<g(x)則分別構(gòu)成方程和不等式,因此對(duì)于某些方程、不等式的問(wèn)題用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)是十分有益的;方程、不等式從另一個(gè)側(cè)面為研究函數(shù)提供了工具. 例10.方程lgx+x=3的解所在區(qū)間為
31、 ( ?。? A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,+∞) 分析:在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫(huà)出函數(shù)y=lgx與y=-x+3的圖象(如圖2).它們的交點(diǎn)橫坐標(biāo),顯然在區(qū)間(1,3)內(nèi),由此可排除A,D.至于選B還是選C,由于畫(huà)圖精確性的限制,單憑直觀就比較困難了.實(shí)際上這是要比較與2的大?。?dāng)x=2時(shí),lgx=lg2,3-x=1.由于lg2<1,因此>2,從而判定∈(2,3),故本題應(yīng)選C. 說(shuō)明:本題是通過(guò)構(gòu)造函數(shù)用數(shù)形結(jié)合法求方程lgx+x=3解所在的區(qū)間.?dāng)?shù)形結(jié)合,要在結(jié)合方面下功夫.不僅要通過(guò)圖象直觀估計(jì),而且還要計(jì)算
32、的鄰近兩個(gè)函數(shù)值,通過(guò)比較其大小進(jìn)行判斷. 例11.(1)一次函數(shù)f(x)=kx+h(k≠0),若m<n有f(m)>0,f(n)>0,則對(duì)于任意x∈(m,n)都有f(x)>0,試證明之; (2)試用上面結(jié)論證明下面的命題: 若a,b,c∈R且|a|<1,|b|<1,|c|<1,則ab+bc+ca>-1. 分析:?jiǎn)栴}(1)實(shí)質(zhì)上是要證明,一次函數(shù)f(x)=kx+h(k≠0), x∈(m, n).若區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值均為正,則對(duì)于任意x∈(m,n)都有f(x)>0.之所以具有上述性質(zhì)是由于一次函數(shù)是單調(diào)的.因此本問(wèn)題的證明要從函數(shù)單調(diào)性入手. (1)證明: 當(dāng)k>0時(shí),函數(shù)f(x)=
33、kx+h在x∈R上是增函數(shù),m<x<n,f(x)>f(m)>0; 當(dāng)k<0時(shí),函數(shù)f(x)=kx+h在x∈R上是減函數(shù),m<x<n,f(x)>f(n)>0. 所以對(duì)于任意x∈(m,n)都有f(x)>0成立. (2)將ab+bc+ca+1寫成(b+c)a+bc+1,構(gòu)造函數(shù)f(x)=(b+c)x+bc+1.則 f(a)=(b+c)a+bc+1. 當(dāng)b+c=0時(shí),即b=-c, f(a)=bc+1=-+1. 因?yàn)閨c|<1,所以f(a)=-+1>0. 當(dāng)b+c≠0時(shí),f(x)=(b+c)x+bc+1為x的一次函數(shù). 因?yàn)閨b|<1,|c|<1, f(1)=b+c+bc+1=(
34、1+b)(1+c)>0, f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)>0. 由問(wèn)題(1)對(duì)于|a|<1的一切值f(a)>0,即(b+c)a+bc+1=ab+ac+bc+1>0. 說(shuō)明:?jiǎn)栴}(2)的關(guān)鍵在于“轉(zhuǎn)化”“構(gòu)造”.把證明ab+bc+ca>-1轉(zhuǎn)化為證明ab+bc+ca+1>0, 由于式子ab+bc+ca+1中, a,b,c是對(duì)稱的,構(gòu)造函數(shù)f(x)=(b+c)x+bc+1,則f(a)=(b+c)a+bc+1,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在|a|<1,|b|<1,|c|<1的條件下證明f(a)>0.(也可構(gòu)造 f(x)=(a+c)x+ac+1,證明f(b)>0)。 例12.定義在R上的
35、單調(diào)函數(shù)f(x)滿足f(3)=log3且對(duì)任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求證f(x)為奇函數(shù); (2)若f(k·3)+f(3-9-2)<0對(duì)任意x∈R恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍. 分析:欲證f(x)為奇函數(shù)即要證對(duì)任意x都有f(-x)=-f(x)成立.在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中,令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的問(wèn)題,求f(0)的值.令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0,f(x)是奇函數(shù)得到證明. (1)證明:f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R), ① 令x=y
36、=0,代入①式,得f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0. 令y=-x,代入①式,得 f(x-x)=f(x)+f(-x),又f(0)=0,則有 0=f(x)+f(-x).即f(-x)=-f(x)對(duì)任意x∈R成立,所以f(x)是奇函數(shù). (2)解:f(3)=log3>0,即f(3)>f(0),又f(x)在R上是單調(diào)函數(shù),所以f(x)在R上是增函數(shù),又由(1)f(x)是奇函數(shù). f(k·3)<-f(3-9-2)=f(-3+9+2), k·3<-3+9+2, 3-(1+k)·3+2>0對(duì)任意x∈R成立. 令t=3>0,問(wèn)題等價(jià)于t-(1+k)t+2>0對(duì)任意t>0恒成立.
37、 R恒成立. 說(shuō)明:?jiǎn)栴}(2)的上述解法是根據(jù)函數(shù)的性質(zhì).f(x)是奇函數(shù)且在x∈R上是增函數(shù),把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)f(t)=t-(1+k)t+2對(duì)于任意t>0恒成立.對(duì)二次函數(shù)f(t)進(jìn)行研究求解.本題還有更簡(jiǎn)捷的解法: 分離系數(shù)由k·3<-3+9+2得 上述解法是將k分離出來(lái),然后用平均值定理求解,簡(jiǎn)捷、新穎. (Ⅲ)、強(qiáng)化訓(xùn)練 1.對(duì)函數(shù)作代換x=g(t),則總不改變f(x)值域的代換是 ( ) A. B. C.g(t)=(t-1)2 D.g(t)=cost 2.方程f(x,y)=0的曲線如圖所示,那么方程f(2-x,y)=0的曲線
38、是 ( )
3.已知命題p:函數(shù)的值域?yàn)镽,命題q:函數(shù)
是減函數(shù)。若p或q為真命題,p且q為假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
A.a(chǎn)≤1 B.a(chǎn)<2 C.1
39、 B. f(1) 40、=S (p≠q,p、q∈N),則S=_________。
9.關(guān)于x的方程sinx+cosx+a=0有實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________。
10.正六棱錐的體積為48,側(cè)面與底面所成的角為45°,則此棱錐的側(cè)面積為_(kāi)__________。
11. 建造一個(gè)容積為8m,深為2m的長(zhǎng)方體無(wú)蓋水池,如果池底和池壁的造價(jià)每平方米分別為120元和80元,則水池的最低造價(jià)為_(kāi)__________。
12.已知函數(shù)滿足:,,則
。
13.已知為正整數(shù),方程的兩實(shí)根為,且,則的最小值為_(kāi)_______________________。
14.設(shè)函數(shù)f(x)=l 41、g(ax+2x+1).
(1)若f(x)的定義域是R,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若f(x)的值域是R,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
15.設(shè)不等式2x-1>m(x-1)對(duì)滿足|m|≤2的一切實(shí)數(shù)m的取值都成立。求x的取值范圍。
16. 設(shè)等差數(shù)列{a}的前n項(xiàng)的和為S,已知a=12,S>0,S<0 。
①.求公差d的取值范圍;
②.指出S、S、…、S中哪一個(gè)值最大,并說(shuō)明理由。(1992年全國(guó)高考)
P
M
A H B
D C
17. 如圖,AB是圓O的直徑,PA垂直于圓O所在平面,C是圓周上任一點(diǎn),設(shè)∠BA 42、C=θ,PA=AB=2r,求異面直線PB和AC的距離。
18. 已知△ABC三內(nèi)角A、B、C的大小成等差數(shù)列,且tanA·tanC=2+,又知頂點(diǎn)C的對(duì)邊c上的高等于4,求△ABC的三邊a、b、c及三內(nèi)角。
19. 設(shè)f(x)=lg,如果當(dāng)x∈(-∞,1]時(shí)f(x)有意義,求 實(shí)數(shù)a的取值范圍。
20.已知偶函數(shù)f(x)=cosqsinx-sin(x-q)+(tanq-2)sinx-sinq的最小值是0,求f(x)的最大值 及此時(shí)x的集合.
21.已知,奇函數(shù)在上單調(diào).
(Ⅰ)求字母應(yīng)滿足的條件;
(Ⅱ)設(shè),且滿足,求證:.
(Ⅴ)、參考答案
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