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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第八章 第6節(jié) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系練習(xí)
一、選擇題
1.已知拋物線y=-x2+3上存在關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱的相異兩點(diǎn)A,B,則|AB|等于( )
A.3 B.4
C.3 D.4
[解析] 設(shè)直線AB的方程為y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2),由?x2+x+b-3=0?x1+x2=-1,得AB的中點(diǎn)M.
又M在直線x+y=0上,可求出b=1,
則|AB|=·=3.
[答案] C
2.(xx·泰安模擬)斜率為的直線與雙曲線-=1(a>0,b>0)恒有兩個(gè)公共點(diǎn),則雙曲線離心率的取值范圍是( )
A.[2
2、,+∞) B.(2,+∞)
C.(1,) D.(,+∞)
[解析] 因?yàn)樾甭蕿榈闹本€與雙曲線-=1恒有兩個(gè)公共點(diǎn),所以>,所以e==>=2.
所以雙曲線離心率的取值范圍是(2,+∞).
[答案] B
3.(xx·西安模擬)已知任意k∈R,直線y-kx-1=0與橢圓+=1(m>0)恒有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A.(0,1) B.(0,5)
C.[1,5)∪(5,+∞) D.[1,5)
[解析] 直線y=kx+1過(guò)定點(diǎn)(0,1),只要(0,1)在橢圓+=1上或其內(nèi)部即可.從而m≥1,又因?yàn)闄E圓+=1中m≠5,所以m的取值范圍是[1,5)∪(5,+∞).
[答
3、案] C
4.(xx·衡水模擬)若雙曲線-=1(a>0,b>0)與橢圓+=1(m>b>0)的離心率之積等于1,則以a,b,m為邊長(zhǎng)的三角形一定是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.銳角三角形 D.鈍角三角形
[解析] 設(shè)雙曲線離心率為e1,橢圓離心率為e2,
所以e1= ,e2= ,
故e1·e2= =1
?(m2-a2-b2)b2=0,即a2+b2-m2=0,
所以,以a,b,m為邊長(zhǎng)的三角形為直角三角形.
[答案] B
5.(xx·嘉定模擬)過(guò)點(diǎn)P(1,1)作直線與雙曲線x2-=1交于A,B兩點(diǎn),使點(diǎn)P為AB中點(diǎn),則這樣的直線( )
A.存在一
4、條,且方程為2x-y-1=0
B.存在無(wú)數(shù)條
C.存在兩條,方程為2x±(y+1)=0
D.不存在
[解析] 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=2,y1+y2=2,則x- y=1,x- y=1,
兩式相減得(x1-x2)(x1+x2)- (y1-y2)(y1+y2)=0,所以x1-x2= (y1-y2),即kAB=2,
故所求直線方程為y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
聯(lián)立 可得2x2-4x+3=0,但此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解,故這樣的直線不存在.故選D.
[答案] D
6.(xx·杭州模擬)F為橢圓+y2=1的右焦點(diǎn),第一象限內(nèi)的點(diǎn)M在橢圓上,若MF⊥
5、x軸,直線MN與圓x2+y2=1相切于第四象限內(nèi)的點(diǎn)N,則|NF|等于( )
A. B.
C. D.
[解析] 因?yàn)镸F⊥x軸,F(xiàn)為橢圓+y2=1的右焦點(diǎn),所以F(2,0),M,設(shè)lMN:y-=k(x-2),
N(x,y),則O到lMN的距離d==1,解得k=(負(fù)值舍去).
又因?yàn)?
即N,所以|NF|==.
[答案] A
二、填空題
7.已知兩定點(diǎn)M(-2,0),N(2,0),若直線上存在點(diǎn)P,使得|PM|-|PN|=2,則稱該直線為“A型直線”,給出下列直線:①y=x+1;②y=x+2;③y=-x+3;④y=-2x.其中是“A型直線”的序號(hào)是______
6、__.
[解析] 由條件知考慮給出直線與雙曲線x2-=1右支的交點(diǎn)情況,作圖易知①③直線與雙曲線右支有交點(diǎn),故填①③.
[答案] ①③
8.(xx·無(wú)錫模擬)若直線mx+ny=4與⊙O:x2+y2=4沒(méi)有交點(diǎn),則過(guò)點(diǎn)P(m,n)的直線與橢圓+=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是________.
[解析] 由題意知:>2,即<2,所以點(diǎn)P(m,n)在橢圓+=1的內(nèi)部,故所求交點(diǎn)個(gè)數(shù)是2個(gè).
[答案] 2
9.已知雙曲線左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P為其右支上一點(diǎn),∠F1PF2=60°,且S△F1PF2=2,若|PF1|,|F1F2|2,|PF2|成等差數(shù)列,則該雙曲線的離心率為_(kāi)_______.
7、[解析] 設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n(m>n),雙曲線方程為-=1(a>0,b>0),因此有m-n=2a,|F1F2|=2c,S△PF1F2=·m·n·=2,m·n=8.
又m+n=×4c2=2c2?(m+n)2=4c4.①
由余弦定理cos∠F1PF2=
==?m2+n2=8+4c2
?(m+n)2=4c2+24.②
①②兩式聯(lián)立解得c2=3?c=,
所以,??2a=2,a=1,e==.
[答案]
三、解答題
10.(xx·衡水模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:+=1(a>b≥1)的離心率e=,且橢圓C上一點(diǎn)N到點(diǎn)Q(0,3)的距離最大值為4,過(guò)點(diǎn)M(3,
8、0)的直線交橢圓C于點(diǎn)A,B.
(1)求橢圓C的方程.
(2)設(shè)P為橢圓上一點(diǎn),且滿足+=t(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),當(dāng)|AB|<時(shí),求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
[解] (1)因?yàn)閑2===,所以a2=4b2,
則橢圓方程為+=1,即x2+4y2=4b2.
設(shè)N(x,y),則|NQ|
==
==.
當(dāng)y=-1時(shí),|NQ|有最大值為=4,
解得b2=1,所以a2=4,橢圓方程是+y2=1.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),
AB方程為y=k(x-3),由
整理得(1+4k2)x2-24k2x+36k2-4=0.
由Δ=(24k2)2-16(9k2-1)(
9、1+4k2)>0,得k2<.
x1+x2=,x1·x2=.
所以+=(x1+x2,y1+y2)=t(x0,y0),
則x0=(x1+x2)=,y0=(y1+y2)
=[k(x1+x2)-6k]=.
由點(diǎn)P在橢圓上,得+=4,
化簡(jiǎn)得36k2=t2(1+4k2)①
又由|AB|=|x1-x2|<,即(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]<3,將x1+x2,x1x2代入得
(1+k2)<3,
化簡(jiǎn),得(8k2-1)(16k2+13)>0,
則8k2-1>0,k2>,
所以<k2<②
由①,得t2==9-,
聯(lián)立②,解得3<t2<4,
所以-2<t<-或<t<2.
10、
11.(xx·石家莊模擬)橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-1,0)、F2(1,0),過(guò)F1作與x軸不重合的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn).
(1)若△ABF2為正三角形,求橢圓的離心率;
(2)若橢圓的離心率滿足0<e<,O為坐標(biāo)原點(diǎn),
求證:|OA|2+|OB|2<|AB|2.
(1)解:由橢圓的定義知|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|,∵|AF2|=|BF2|,∴|AF1|=|BF1|,即F1F2 為邊AB上的中線,∴F1F2⊥AB.
在Rt△AF1F2中,cos 30°=,則=,
∴橢圓的離心率為.
(2)證明:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)
11、,∵0<e<,c=1,
∴a>1+.
①當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí),+=1,y2=,·=x1x2+y1y2=1-==,∵a2>,∴·<0,
∴∠AOB恒為鈍角,∴|OA|2+|OB|2<|AB|2.
②當(dāng)直線AB不與x軸垂直時(shí),設(shè)直線AB的方程為:
y=k(x+1),代入+=1,
整理得,(b2+a2k2)x2+2k2a2x+a2k2-a2b2=0,
∴x1+x2=,x1x2=,
·=x1x2+y1y2
=x1x2+k2(x1+1)(x2+1)
=x1x2(1+k2)+k2(x1+x2)+k2
=
==
令m(a)=-a4+3a2-1,由①可知m(a)<0,
∴∠AOB
12、恒為鈍角,∴恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2.
12.(xx·長(zhǎng)春三校調(diào)研)在直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)M,點(diǎn)F為拋物線C:y=mx2(m>0)的焦點(diǎn),線段MF恰被拋物線C平分.
(1)求m的值;
(2)過(guò)點(diǎn)M作直線l交拋物線C于A,B兩點(diǎn),設(shè)直線FA,F(xiàn)M,F(xiàn)B的斜率分別為k1,k2,k3,問(wèn)k1,k2,k3能否成公差不為零的等差數(shù)列?若能,求直線l的方程;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
解:(1)由題得拋物線C的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為,線段MF的中點(diǎn)N在拋物線C上,
∴-=m,8m2+2m-1=0,
∴m=(m=-舍去).
(2)由(1)知拋物線C:x2=4y,F(xiàn)(0,1).
設(shè)直線l的方程為y+=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2),
由得x2-4kx+8k+2=0,
Δ=16k2-4(8k+2)>0,
∴k<或k>.
由根與系數(shù)的關(guān)系得
假設(shè)k1,k2,k3能成公差不為零的等差數(shù)列,則k1+k3=2k2.
而k1+k3=+=
=
=
==,
k2==-,
∴=-,8k2+10k+3=0,解得k=-(符合題意)或k=-(不合題意,舍去).
∴直線l的方程為y+=-(x-2),
即x+2y-1=0.