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2022年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題13 推理與證明、數(shù)系的擴(kuò)充 間接證明易錯(cuò)點(diǎn)

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1、2022年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題13 推理與證明、數(shù)系的擴(kuò)充 間接證明易錯(cuò)點(diǎn) 主標(biāo)題:間接證明易錯(cuò)點(diǎn) 副標(biāo)題:從考點(diǎn)分析間接證明在高考中的易錯(cuò)點(diǎn),為學(xué)生備考提供簡(jiǎn)潔有效的備考策略。 關(guān)鍵詞:間接證明,易錯(cuò)點(diǎn) 難度:3 重要程度:3 內(nèi)容: ?一、沒有應(yīng)用假設(shè)進(jìn)行推理而致錯(cuò) ????????【例1】已知實(shí)數(shù)p滿足不等式(2p+1)(p+2)<0,用反證法證明:關(guān)于x的方程無實(shí)根. ????????錯(cuò)解:假設(shè)方程有實(shí)根, 由已知實(shí)數(shù)p滿足不等式(2p+1)(p+2)<0, 解得, 方程的判別式, ∵,∴,∴△<0. 即關(guān)于x的方程無實(shí)根。 ????????剖析:利用反證法

2、證明時(shí),首先要對(duì)所要證明的結(jié)論進(jìn)行否定性的假設(shè),并以此為條件進(jìn)行推理,得到矛盾,從而證明原命題成立. ????????正解:假設(shè)方程有實(shí)根, 則該方程的判別式≥0,解得p≥2或p≤-2, 而由已知實(shí)數(shù)p滿足不等式(2p+1)(p+2)<0, 解得, 二者矛盾,所以假設(shè)錯(cuò)誤,從而原方程無實(shí)根。 ????????二、利用假設(shè)進(jìn)行推理時(shí)不嚴(yán)密而致錯(cuò) ????????【例2】設(shè)a,b,c都是小于1的正數(shù),求證:(1-a)b,(1-b)a,(1-c)a三個(gè)數(shù)不可能同時(shí)大于。 ????????錯(cuò)解:假設(shè)三個(gè)數(shù)都大于, 即, 三個(gè)式子相乘,得。 又因?yàn)?,,? ∴, 這與假設(shè)矛盾,因

3、此假設(shè)不成立。 ∴(1-a)b,(1-b)a,(1-c)a三個(gè)數(shù)不可能同時(shí)大于。 ????????剖析:在利用基本不等式時(shí)忘記了等號(hào),少了取等號(hào)的條件,所以證明過程不嚴(yán)密。 ????????正確:假設(shè)三個(gè)數(shù)都大于, 即, 三個(gè)式子相乘,得。 又因?yàn)?,,? ∴, 這與假設(shè)矛盾,因此假設(shè)不成立。 ∴(1-a)b,(1-b)a,(1-c)a三個(gè)數(shù)不可能同時(shí)大于。 ????????三、考慮不全面而致錯(cuò) ????????【例3】若a∥b,若直線a與平面相交,求證:直線b與平面相交。 ????????錯(cuò)解:假設(shè)b不與平面相交,則直線b∥平面, 則平面內(nèi)存在直線b′,使得b∥b′. 而a∥b,故a∥b′,因?yàn)槠矫妫詀∥平面,這與已知相矛盾, 所以假設(shè)錯(cuò)誤,b與平面相交。 ?????????剖析:直線與平面不相交,包含直線與平面平行和直線在平面內(nèi)兩種情況,少了直線在平面內(nèi)的情況. ????????正解:假設(shè)b不與平面相交,則直線b∥平面或直線b平面。 (1)若直線b∥平面,則平面內(nèi)存在直線b′,使得b∥b′. 而a∥b,故a∥b′,因?yàn)槠矫?,所以a∥平面,這與已知相矛盾。 (2)若直線b平面,則由a∥b,平面,所以a∥平面,這與已知相矛盾。 綜上所述,b與平面相交。

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