九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第二十七講 動態(tài)幾何問題透視
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1、九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第二十七講 動態(tài)幾何問題透視 春去秋來,花開花落,物轉(zhuǎn)星移,世間萬物每時(shí)每刻都處于運(yùn)動變化、相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化中,事物的本質(zhì)特征只有在運(yùn)動中方能凸現(xiàn)出來. 動態(tài)幾何問題,是指以幾何知識和圖形為背景,滲入運(yùn)動變化觀點(diǎn)的一類問題,常見的形式是:點(diǎn)在線段或弧線上運(yùn)動、圖形的翻折、平移、旋轉(zhuǎn)等,解這類問題的基本策略是: 1.動中覓靜 這里的“靜”就是問題中的不變量、不變關(guān)系,動中覓靜就是在運(yùn)動變化中探索問題中的不變性. 2.動靜互化 “靜”只是“動”的瞬間,是運(yùn)動的一種特殊形式,動靜互化就是抓住“靜”的瞬間,使一般情形
2、轉(zhuǎn)化為特殊問題,從而找到“動”與“靜”的關(guān)系. 3.以動制動 以動制動就是建立圖形中兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系,通過研究運(yùn)動函數(shù),用聯(lián)系發(fā)展的觀點(diǎn)來研究變動元素的關(guān)系. 注:幾何動態(tài)既是一類問題,也是一種觀點(diǎn)與思維方法,運(yùn)用幾何動態(tài)的觀點(diǎn),可以把表面看來不同的定理統(tǒng)一起來,可以找到探求幾何中的最值、定值等問題的方法;更一般情況是,對于一個(gè)數(shù)學(xué)問題,努力去發(fā)掘更多結(jié)論,不同解法,通過弱化或強(qiáng)化條件來探討結(jié)論的狀況等,這就是常說的“動態(tài)思維”. 【例題求解】 【例1】 如圖,把直角三角形ABC的斜邊AB放在定直線上,按順時(shí)針方向在上轉(zhuǎn)動兩次,使它轉(zhuǎn)到A″B″C″的位置,設(shè)BC=
3、1,AC=,則頂點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)A″的位置時(shí),點(diǎn)A經(jīng)過的路線與直線所圍成的面積是 . 思路點(diǎn)撥 解題的關(guān)鍵是將轉(zhuǎn)動的圖形準(zhǔn)確分割.RtΔABC的兩次轉(zhuǎn)動,頂點(diǎn)A所經(jīng)過 的路線是兩段圓弧,其中圓心角分別為120°和90°,半徑分別為2和,但該路線與直線所圍成的面積不只是兩個(gè)扇形面積之和. 【例2】如圖,在⊙O中,P是直徑AB上一動點(diǎn),在AB同側(cè)作AA′⊥AB,BB′⊥AB,且AA′=AP,BB′=BP,連結(jié)A′B′,當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)
4、A移到點(diǎn)B時(shí),A′B′的中點(diǎn)的位置( ) ⌒ A.在平分AB的某直線上移動 B.在垂直AB的某直線上移動 C.在AmB上移動 D.保持固定不移動 思路點(diǎn)撥 畫圖、操作、實(shí)驗(yàn),從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律. 【例3】 如圖,菱形OABC的長為4厘米,∠AOC=60°,動點(diǎn)P從O出發(fā),以每秒1厘米的速度沿O→A→B路線運(yùn)動,點(diǎn)P出發(fā)2秒后,動點(diǎn)Q
5、從O出發(fā),在OA上以每秒1厘米的速度,在AB上以每秒2厘米的速度沿O→A→B路線運(yùn)動,過P、Q兩點(diǎn)分別作對角線AC的平行線.設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動的時(shí)間為秒,這兩條平行線在菱形上截出的圖形(圖中的陰影部分)的周長為厘米,請你回答下列問題: (1)當(dāng)=3時(shí),的值是多少? (2)就下列各種情形: ①0≤≤2;②2≤≤4;③4≤≤6;④6≤≤8.求與之間的函數(shù)關(guān)系式. (3)在給出的直角坐標(biāo)系中,用圖象表示(2)中的各種情形下與的關(guān)系. 思路點(diǎn)撥 本
6、例是一個(gè)動態(tài)幾何問題,又是一個(gè)“分段函數(shù)”問題,需運(yùn)用動態(tài)的觀點(diǎn),將各段分別討論、畫圖、計(jì)算. 注:動與靜是對立的,又是統(tǒng):一的,無論圖形運(yùn)動變化的哪一類問題,都真實(shí)地反映了現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)與形的變與不變兩個(gè)方面,從辯證的角度去觀察、探索、研究此類問題,是一種重要的解題策略. 建立運(yùn)動函數(shù)關(guān)系就更一般地、整體-地把握了問題,許多相關(guān)問題就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值或自變量的值. 【例4】 如圖,正方形ABCD中,有一直徑為BC的半圓,BC=2cm,現(xiàn)有兩點(diǎn)E、F,分別從點(diǎn)B、點(diǎn)A同時(shí)出發(fā),點(diǎn)E沿線段BA以1m/秒的速度向點(diǎn)A運(yùn)動,點(diǎn)F沿折線A
7、—D—C以2cm/秒的速度向點(diǎn)C運(yùn)動,設(shè)點(diǎn)E離開點(diǎn)B的時(shí)間為2 (秒). (1)當(dāng)為何值時(shí),線段EF與BC平行? (2)設(shè)1<<2,當(dāng)為何值時(shí),EF與半圓相切? (3)當(dāng)1≤<2時(shí),設(shè)EF與AC相交于點(diǎn)P,問點(diǎn)E、F運(yùn)動時(shí),點(diǎn)P的位置是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請說明理由;若不發(fā)生變化,請給予證明,并求AP:PC的值. 思路點(diǎn)撥 動中取靜,根據(jù)題意畫出不同位置的圖形,然后分別求解,這是解本例的基本策略,對于(1)、(2),運(yùn)用相關(guān)幾何性質(zhì)建立關(guān)于的方
8、程;對于(3),點(diǎn)P的位置是否發(fā)生變化,只需看是否為一定值. 注:動態(tài)幾何問題常通過觀察、比較、分析、歸納等方法尋求圖形中某些結(jié)論不變或變化規(guī)律,而把特定的運(yùn)動狀態(tài),通過代數(shù)化來定量刻畫描述也是解這類問題的重要思想. 【例5】 ⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點(diǎn);如圖(1),連結(jié)O2 O1并延長交⊙O1于P點(diǎn),連結(jié)PA、PB并分別延長交⊙O2于C、D兩點(diǎn),連結(jié)C O2并延長交⊙O2于E點(diǎn).已知⊙O2的半徑為R,設(shè)∠CAD=. (1)求:CD的長(用含R、的式子表示); (2)試判斷CD與PO1的位置關(guān)系,并說明理由; (3)設(shè)點(diǎn)P′
9、為⊙O1上(⊙O2外)的動點(diǎn),連結(jié)P′A、P′B并分別延長交⊙O2于C′、D′,請你探究∠C′AD′是否等于? C′D′與P′Ol的位置關(guān)系如何?并說明理由. ⌒ 思路點(diǎn)撥 對于(1)、(2),作出圓中常見輔助線;對于(3),P點(diǎn)雖為OOl上的一個(gè)動點(diǎn),但⊙O1、⊙O2一些量(如半徑、AB)都是定值或定弧,運(yùn)用圓的性質(zhì),把角與孤聯(lián)系起來. 學(xué)力訓(xùn)練 1.如圖, ΔABC中,∠C=90°,AB=12cm,∠ABC=
10、60°,將ΔABC以點(diǎn)B為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到AB延長線上的D處,則AC邊掃過的圖形的面積是 cm (π=3.14159…,最后結(jié)果保留三個(gè)有效數(shù)字). 2.如圖,在RtΔ ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AC= cm,將ΔABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)至ΔA'BC'的位置,且使A、B、C'三點(diǎn)在同一條直線上,則點(diǎn)A經(jīng)過的最短路線的長度是 cm. 3.一塊等邊三角形的木板,邊長為l,現(xiàn)將木板沿水平線翻滾,那么B點(diǎn)從開始至結(jié)束走過的路徑長度為( ) A. B. C.4
11、 D. 4.把ΔABC沿AB邊平移到ΔA'B'C'的位置,它們的重疊部分的面積是ΔABC的面積的一半,若AB=,則此三角形移動的距離AA'是( ) A. B. C.1 D. 5.如圖,正三角形ABC的邊長為6厘米,⊙O的半徑為r厘米,當(dāng)圓心O從點(diǎn)A出發(fā),沿著線路AB—BC—CA運(yùn)動,回到點(diǎn)A時(shí),⊙O隨
12、著點(diǎn)O的運(yùn)動而移動. (1)若r=厘米,求⊙O首次與BC邊相切時(shí)AO的長; (2)在O移動過程中,從切點(diǎn)的個(gè)數(shù)來考慮,相切有幾種不同的情況?寫出不同的情況下,r的取值范圍及相應(yīng)的切點(diǎn)個(gè)數(shù); (3)設(shè)O在整個(gè)移動過程中,在ΔABC內(nèi)部,⊙O未經(jīng)過的部分的面積為S,在S>0時(shí),求關(guān)于r的函數(shù)解析式,并寫出自變量r的取值范圍. 6.已知:如圖,⊙O韻直徑為10,弦AC=8,點(diǎn)B在圓周上運(yùn)動(與A、C兩點(diǎn)不重合),連結(jié)BC、BA,過點(diǎn)C作CD⊥AB于
13、D.設(shè)CB的長為,CD的長為. (1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;當(dāng)以BC為直徑的圓與AC相切時(shí),求的值; (2)在點(diǎn)B運(yùn)動的過程中,以CD為直徑的圓與⊙O有幾種位置關(guān)系,并求出不同位置時(shí) 的取值范圍; (3)在點(diǎn)B運(yùn)動的過程中,如果過B作BE⊥AC于E,那么以BE為直徑的圓與⊙O能內(nèi)切嗎?若不能,說明理由;若能,求出BE的長. 7.如圖,已知A為∠POQ的邊OQ上一點(diǎn),以A為頂點(diǎn)的∠MAN的兩邊分別交射線OP于M、N兩點(diǎn),且∠MAN=∠POQ=(為銳角).當(dāng)∠MAN以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心,AM邊從與AO重合的位置開始,按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(∠MAN保持不變)
14、時(shí),M、N兩點(diǎn)在射線OP上同時(shí)以不同的速度向右平移移動.設(shè)OM=,ON= (>≥0),ΔAOM的面積為S,若cos、OA是方程的兩個(gè)根. (1)當(dāng)∠MAN旋轉(zhuǎn)30°(即∠OAM=30°)時(shí),求點(diǎn)N移動的距離; (2)求證:AN2=ON·MN; (3)求與之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍; (4)試寫出S隨變化的函數(shù)關(guān)系式,并確定S的取值范圍. 8.已知:如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=3cm,∠C=60°,BD⊥CD.
15、 (1)求BC、AD的長度; (2)若點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度運(yùn)動,點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CD邊向點(diǎn)D以1cm/s的速度運(yùn)動,當(dāng)P、Q分別從B、C同時(shí)出發(fā)時(shí),寫出五邊形ABPQD的面積S與運(yùn)動時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量的取值范圍(不包含點(diǎn)P在B、C兩點(diǎn)的情況); (3)在(2)的前提下,是否存在某一時(shí)刻,使線段PQ把梯形ABCD分成兩部分的面積比為1:5?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由. 9
16、.已知:如圖①,E、F、G、H按照AE=CG,BF=DH,BF=nAE(n是正整數(shù))的關(guān)系,分別在兩鄰邊長、的矩形ABCD各邊上運(yùn)動. 設(shè)AE=,四邊形EFGH的面積為S. (1)當(dāng)n=l、2時(shí),如圖②、③,觀察運(yùn)動情況,寫出四邊形EFGH各頂點(diǎn)運(yùn)動到何位置,使? (2)當(dāng)n=3時(shí),如圖④,求S與之間的函數(shù)關(guān)系式(寫出自變量的取值范圍),探索S隨增大而變化的規(guī)律;猜想四邊形EFGH各頂點(diǎn)運(yùn)動到何位置,使; (3)當(dāng)n=k (k≥1)時(shí),你所得到的規(guī)律和猜想是否成立?請說明理由.
17、 10.如圖1,在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)E從O點(diǎn)出發(fā),以1個(gè)單位/秒的速度沿軸正方向運(yùn)動,點(diǎn)F從O點(diǎn)出發(fā),以2個(gè)單位/秒的速度沿軸正方向運(yùn)動,B(4,2),以BE為直徑作⊙O1. (1)若點(diǎn)E、F同時(shí)出發(fā),設(shè)線段EF與線段OB交于點(diǎn)G,試判斷點(diǎn)G與⊙O1的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論; (2)在(1)的條件下,連結(jié)FB,幾秒時(shí)FB與⊙O1相切? (3)如圖2,若E點(diǎn)提前2秒出發(fā),點(diǎn)F再出發(fā),當(dāng)點(diǎn)F出發(fā)后,E點(diǎn)在A點(diǎn)左側(cè)時(shí),設(shè)BA⊥軸于A點(diǎn),連結(jié)AF交⊙O1于點(diǎn)P,試問PA·FA的值是否會發(fā)生變化?若不變,請說明理由,并求其值;若變化,請求其值的變化范圍. 參考答案
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