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1、2022年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫 第七章 第2節(jié) 空間幾何體的表面積與體積 理(含解析)
1.(xx陜西,5分)已知底面邊長為1,側(cè)棱長為的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上,則該球的體積為( )
A. B.4π
C.2π D.
解析:因?yàn)樵撜睦庵耐饨忧虻陌霃绞撬睦庵w對角線的一半,所以半徑r==1,所以V球=×13=.故選D.
答案:D
2.(xx山東,5分)三棱錐P-ABC中,D,E分別為PB,PC的中點(diǎn),記三棱錐D-ABE的體積為V1,P-ABC的體積為V2,則=________.
解析:如圖,設(shè)點(diǎn)C到平面PAB的距離為h,三角形PAB的面積為S,則V2=
2、Sh,V1=VE-ADB=×S×h=Sh,所以=.
3.(xx江蘇,5分)設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面積分別為S1,S2,體積分別為V1,V2,若它們的側(cè)面積相等,且=,則的值是________.
解析:設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面半徑分別是r1,r2,母線長分別是l1,l2.則由=可得=.又兩個(gè)圓柱的側(cè)面積相等,即2πr1l1=2πr2l2,則==,所以==×=.
答案:
4.(xx新課標(biāo)全國Ⅰ,5分)如圖,有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器,容器高8 cm,將一個(gè)球放在容器口,再向容器內(nèi)注水,當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測得水深為6 cm,如果不計(jì)容器的厚度,則球的體積為( )
A. c
3、m3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
解析:本題考查正方體和球組成的組合體、球的體積的計(jì)算,意在考查考生的空間想象能力、轉(zhuǎn)化化歸能力以及運(yùn)用體積公式進(jìn)行計(jì)算的能力.解題時(shí),先根據(jù)已知條件分析出正方體的上底面到球心的距離為(R-2) cm(其中R為球半徑),再利用球半徑、球心距和截面圓半徑構(gòu)成的直角三角形求出球半徑,進(jìn)而計(jì)算出球的體積.設(shè)球半徑為R cm,根據(jù)已知條件知正方體的上底面與球相交所得截面圓的半徑為4 cm,球心到截面的距離為(R-2) cm,所以由42+(R-2)2=R2,得R=5,所以球的體積V=πR3=π×53= cm3
4、,選擇A.
答案:A
5.(xx遼寧,5分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,則球O的半徑為( )
A. B.2
C. D.3
解析:本題主要考查多面體、球等基本概念以及如何根據(jù)組合體中的位置關(guān)系進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算,意在考查考生的空間想象能力、運(yùn)算求解能力以及轉(zhuǎn)化思想.如圖,由球心作平面ABC的垂線,則垂足為BC的中點(diǎn)M.又AM=BC=,OM=AA1=6,所以球O的半徑R=OA= =.
答案:C
6.(xx新課標(biāo)全國,5分)已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,△ABC是邊長為1的正三角形,S
5、C為球O的直徑,且SC=2,則此棱錐的體積為( )
A. B.
C. D.
解析:在直角三角形ASC中,AC=1,∠SAC=90°,SC=2,所以SA==;同理SB=.過A點(diǎn)作SC的垂線交SC于D點(diǎn),連接DB,因△SAC≌△SBC,故BD⊥SC,故SC⊥平面ABD,且平面ABD為等腰三角形,因∠ASC=30°,故AD=SA=,則△ABD的面積為×1× =,則三棱錐的體積為××2=.
答案:A
7.(xx江西,5分)如右圖,已知正四棱錐S-ABCD所有棱長都為1,點(diǎn)E是側(cè)棱SC上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)E垂直于SC的截面將正四棱錐分成上、下兩部分.記SE=x(0
6、,截面下面部分的體積為V(x),則函數(shù)y=V(x)的圖像大致為( )
解析:(1)當(dāng)0
7、形,如圖2,設(shè)此三角形為△EFG,則EG=EF=ECtan 60°=(1-x),CG=CF=2CE=2(1-x),三棱錐E-FGC底面FGC上的高h(yuǎn)=ECsin 45°=(1-x),∴V(x)=×CG·CF·h=(1-x)3,
∴V′(x)=-(1-x)2,
又顯然V′(x)=-(1-x)2在區(qū)間(,1)上單調(diào)遞增,V′(x)<0(x∈(,1)),
∴函數(shù)V(x)=(1-x)3在區(qū)間(,1)上單調(diào)遞減,且遞減的速率越來越慢,故排除B,應(yīng)選A.
答案:A
8.(2011遼寧,5分)已知球的直徑SC=4,A,B是該球球面上的兩點(diǎn),AB=,∠ASC=∠BSC=30°,則棱錐S-ABC的體積
8、為( )
A.3 B.2
C. D.1
解析:由題可知AB一定在與直徑SC垂直的小圓面上,作過AB的小圓交直徑SC于D,設(shè)SD=x,則DC=4-x,此時(shí)所求棱錐即分割成兩個(gè)棱錐S-ABD和C-ABD,在△SAD和△SBD中,由已知條件可得AD=BD=x,又因?yàn)镾C為直徑,所以∠SBC=∠SAC=90°,所以∠DCB=∠DCA=60°,在△BDC中,BD=(4-x),所以x=(4-x),所以x=3,AD=BD=,所以三角形ABD為正三角形,所以V=S△ABD×4=.
答案:C
9.(xx山東,4分)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E、F分別為線段AA1,B1C上的點(diǎn),則三棱錐D1-EDF的體積為________.
解析:因?yàn)镋點(diǎn)在線段AA1上,所以S△DED1=×1×1=,又因?yàn)镕點(diǎn)在線段B1C上,所以點(diǎn)F到平面DED1的距離為1,即h=1,所以VD1-EDF=VF-DED1=×S△DED1×h=××1=.
答案: