2022年高考數(shù)學二輪專題突破 專題三 數(shù)列與不等式 第4講 不等式與線性規(guī)劃 理
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1、2022年高考數(shù)學二輪專題突破 專題三 數(shù)列與不等式 第4講 不等式與線性規(guī)劃 理
1.(xx·浙江)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,且0
2、分別為a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的總費用(單位:元)是( ) A.a(chǎn)x+by+cz B.a(chǎn)z+by+cx C.a(chǎn)y+bz+cx D.a(chǎn)y+bx+cz 4.(xx·重慶)設a,b>0,a+b=5,則+的最大值為________. 1.利用不等式性質(zhì)比較大小,利用基本不等式求最值及線性規(guī)劃問題是高考的熱點;2.一元二次不等式常與函數(shù)、數(shù)列結(jié)合考查一元二次不等式的解法和參數(shù)取值范圍;3.利用不等式解決實際問題. 熱點一 不等式的解法 1.一元二次不等式的解法 先化為一般形式ax2+bx+c>0(a≠0),再求相應一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0
3、)的根,最后根據(jù)相應二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系,確定一元二次不等式的解集.
2.簡單分式不等式的解法
(1)>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0);
(2)≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
3.指數(shù)不等式、對數(shù)不等式及抽象函數(shù)不等式,可利用函數(shù)的單調(diào)性求解.
例1 (1)已知一元二次不等式f(x)<0的解集為,則f(10x)>0的解集為( )
A.{x|x<-1或x>-lg 2}
B.{x|-1
4、單調(diào)遞增,則f(2-x)>0的解集為( )
A.{x|x>2或x<-2} B.{x|-2
5、已知f(x)是R上的減函數(shù),A(3,-1),B(0,1)是其圖象上兩點,則不等式|f(1+ln x)|<1的解集是________________. 熱點二 基本不等式的應用 利用基本不等式求最大值、最小值,其基本法則是:(1)如果x>0,y>0,xy=p(定值),當x=y(tǒng)時,x+y有最小值2(簡記為:積定,和有最小值);(2)如果x>0,y>0,x+y=s(定值),當x=y(tǒng)時,xy有最大值s2(簡記為:和定,積有最大值). 例2 (1)已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1),且a∥b,若x,y均為正數(shù),則+的最小值是( ) A. B. C.8 D.24 (2)已知
6、關(guān)于x的不等式2x+≥7在x∈(a,+∞)上恒成立,則實數(shù)a的最小值為( ) A.1 B. C.2 D. 思維升華 在利用基本不等式求最值時,要特別注意“拆、拼、湊”等技巧,使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用,否則會出現(xiàn)錯誤. 跟蹤演練2 (1)(xx·天津)已知a>0,b>0,ab=8,則當a的值為________時,log2a·log2(2b)取得最大值. (2)若直線2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圓x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦長為4,則+的最小值是____
7、____. 熱點三 簡單的線性規(guī)劃問題 解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域,再注意目標函數(shù)表示的幾何意義,數(shù)形結(jié)合找到目標函數(shù)達到最值時可行域的頂點(或邊界上的點),但要注意作圖一定要準確,整點問題要驗證解決. 例3 (1)(xx·北京)若x,y滿足則z=x+2y的最大值為( ) A.0 B.1 C. D.2 (2)(xx·安徽)x,y滿足約束條件若z=y(tǒng)-ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一,則實數(shù)a的值為( ) A.或-1 B.2或 C.2或1 D.2或-1 思維升華 (1)線性規(guī)劃問題一般有三種題型:一是求最值;二是求區(qū)域面積;三是確定目標函數(shù)中的字母系數(shù)的取
8、值范圍.(2)一般情況下,目標函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得. 跟蹤訓練3 已知x,y滿足且目標函數(shù)z=2x+y的最小值為9,則實數(shù)a的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.7 1.若點A(a,b)在第一象限,且在直線x+2y=1上,則ab的最大值為( ) A.1 B. C. D. 2.已知A(1,-1),B(x,y),且實數(shù)x,y滿足不等式組則z=·的最小值為( ) A.2 B.-2 C.-4 D.-6 3.已知函數(shù)f(x)=則不等式f(x)≤4的解集為________. 4.已知不等式≥|a2-a|對于x∈[2,6]恒成
9、立,則a的取值范圍是________.
提醒:完成作業(yè) 專題三 第4講
二輪專題強化練
專題三
第4講 不等式與線性規(guī)劃
A組 專題通關(guān)
1.下列選項中正確的是( )
A.若a>b,則ac2>bc2
B.若ab>0,a>b,則<
C.若a>b,c
10、為4,則a等于( ) A.3 B.2 C.-2 D.-3 4.(xx·重慶)若log4(3a+4b)=log2,則a+b的最小值是( ) A.6+2 B.7+2 C.6+4 D.7+4 5.(xx·浙江杭州二中第一次月考)若關(guān)于x的不等式x2+ax-2>0在區(qū)間[1,5]上有解,則實數(shù)a的取值范圍為( ) A.(-,+∞) B.[-,1] C.(1,+∞) D.(-∞,-1) 6.已知函數(shù)f(x)=那么不等式f(x)≥1的解集為________________. 7.(xx·綿陽市一診)某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明,該產(chǎn)品生產(chǎn)總成本C與產(chǎn)量q(q∈
11、N*)的函數(shù)關(guān)系式為C=100-4q,銷售單價p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為p=25-q.要使每件產(chǎn)品的平均利潤最大,則產(chǎn)量q=________. 8.已知正實數(shù)a,b滿足a+2b=1,則a2+4b2+的最小值為________. 9.設集合A為函數(shù)y=ln(-x2-2x+8)的定義域,集合B為函數(shù)y=x+的值域,集合C為不等式(ax-)(x+4)≤0的解集. (1)求A∩B; (2)若C??RA,求a的取值范圍. 10.運貨卡車以每小時x千米的速度勻速行駛130千米(按交通法規(guī)限制50≤x≤100)(單位:千米/小時).假設汽油的價格是每升
12、2元,而汽車每小時耗油(2+)升,司機的工資是每小時14元. (1)求這次行車總費用y關(guān)于x的表達式; (2)當x為何值時,這次行車的總費用最低,并求出最低費用的值. B組 能力提高 11.(xx·陜西)設f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(),q=f,r=(f(a)+f(b)),則下列關(guān)系式中正確的是( ) A.q=r<p B.q=r>p C.p=r<q D.p=r>q 12.(xx·課標全國Ⅰ)若x,y滿足約束條件則的最大值為________. 13.(xx·浙江)若實數(shù)x,y滿足x2+y2≤1,則|2x+y-2|+|6-x-
13、3y|的最小值是________.
14.圖(1)是某斜拉式大橋圖片,為了了解橋的一些結(jié)構(gòu)情況,學校數(shù)學興趣小組將大橋的結(jié)構(gòu)進行了簡化,取其部分可抽象成如圖(2)所示的模型,其中橋塔AB,CD與橋面AC垂直,通過測量得知AB=50 cm,AC=50 cm,當P為AC中點時,∠BPD=45°.
(1)求CD的長;
(2)試問點P在線段AC的何處時,∠BPD達到最大?
學生用書答案精析
第4講 不等式與線性規(guī)劃
高考真題體驗
1.C [由題意得
化簡得解得
所以f(-1)=c-6,
所以0 14、示的可行域如下圖所示,
由z=3x+2y得y=-x+,依題當目標函數(shù)直線l:y=-x+經(jīng)過A時,z取得最小值即zmin=3×1+2×=,故選B.]
3.B [令x=1,y=2,z=3,a=1,b=2,c=3.
A項:ax+by+cz=1+4+9=14;
B項:az+by+cx=3+4+3=10;
C項:ay+bz+cx=2+6+3=11;
D項:ay+bx+cz=2+2+9=13.故選B.]
4.3
解析 ∵a,b>0,a+b=5,∴(+)2=a+b+4+2≤a+b+4+()2+()2=a+b+4+a+b+4=18,當且僅當a=,b=時,等號成立,則+≤3,即+最大值為3. 15、
熱點分類突破
例1 (1)D (2)C
解析 (1)由已知條件0<10x<,
解得x 16、4a,x1=-2a,由x2-x1=15,
得4a-(-2a)=15,解得a=.
(2)∵|f(1+ln x)|<1,
∴-1 17、由題意可知4+2a≥7,得a≥,
即實數(shù)a的最小值為,故選B.
跟蹤演練2 (1)4 (2)4
解析 (1)log2a·log2(2b)=log2a·(1+log2b)≤2=
2=2=4,當且僅當log2a=1+log2b,即a=2b時,等號成立,此時a=4,b=2.
(2)易知圓x2+y2+2x-4y+1=0的半徑為2,圓心為(-1,2),因為直線2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圓x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦長為4,所以直線2ax-by+2=0(a>0,b>0)過圓心,把圓心坐標代入得:a+b=1,所以+=(+)(a+b)=2++≥4,當且僅當=,a+b=1,即a 18、=b=時等號成立.
例3 (1)D (2)D
解析 (1)可行域如圖所示.目標函數(shù)化為y=-x+z,當直線y=-x+z過點A(0,1)時,z取得最大值2.
(2)如圖,由y=ax+z知z的幾何意義是直線在y軸上的截距,
故當a>0時,要使z=y(tǒng)-ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一,則a=2;
當a<0時,要使z=y(tǒng)-ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一,則a=-1.
跟蹤訓練3 C [依題意,不等式組所表示的可行域如圖所示(陰影部分),觀察圖象可知,當目標函數(shù)z=2x+y過點B(a,a)時,zmin=2a+a=3a;因為目標函數(shù)z=2x+y的最小值為9,所以3a=9,解得a=3,故選C.
19、]
高考押題精練
1.D [因為點A(a,b)在第一象限,且在直線x+2y=1上,
所以a>0,b>0,且a+2b=1,
所以ab=·a·2b≤·()2=,
當且僅當a=2b=,
即a=,b=時,“=”成立.
故選D.]
2.C [畫出不等式組所表示的可行域為如圖所示的△ECD的內(nèi)部(包括邊界),其中E(2,6),C(2,0),D(0,2).目標函數(shù)z=·=x-y.
令直線l:y=x-z,要使直線l過可行域上的點且在y軸上的截距-z取得最大值,只需直線l過點E(2,6).
此時z取得最小值,且最小值zmin=2-6=-4.故選C.]
3.{x|-14≤x<2或x≥}
20、
解析 由題意得
或
解得x≥或-14≤x<2,
故不等式f(x)≤4的解集為{x|-14≤x<2或x≥}.
4.[-1,2]
解析 設y=,
因為y=在x∈[2,6]上單調(diào)遞減,
即ymin==,
故不等式≥|a2-a|對于x∈[2,6]恒成立等價于|a2-a|≤恒成立,化簡得
解得-1≤a≤2,
故a的取值范圍是[-1,2].
二輪專題強化練答案精析
第4講 不等式與線性規(guī)劃
1.B [若a>b,取c=0,則ac2>bc2不成立,排除A;取a=2,b=-1,c=1,d=2,則選項C不成立,排除C;取a=2,b=1,c=1,d=-1,則選項D不成立,排除D.選B 21、.]
2.C [根據(jù)題意,由于不等式x2+x<+對任意a,b∈(0,+∞)恒成立,則x2+x<(+)min,
∵+≥2=2,
∴x2+x<2,求解此一元二次不等式可知其解集為(-2,1).]
3.B [不
等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示.
易知A(2,0),
由得B(1,1).
由z=ax+y,得y=-ax+z.
∴當a=-2或a=-3時,z=ax+y在O(0,0)處取得最大值,最大值為zmax=0,不滿足題意,排除C,D選項;當a=2或3時,z=ax+y在A(2,0)處取得最大值,
∴2a=4,∴a=2,排除A,故選B.]
4.D [由題意得所以
又log4 22、(3a+4b)=log2,
所以log4(3a+4b)=log4ab,
所以3a+4b=ab,故+=1.
所以a+b=(a+b)(+)
=7++
≥7+2=7+4,
當且僅當=時取等號.故選D.]
5.A [方法一 令f(x)=x2+ax-2,
則f(0)=-2.
①若-≤0,即a≥0時,要使關(guān)于x的不等式x2+ax-2>0在區(qū)間[1,5]上有解,則應滿足f(5)>0,
解得a>-.所以a≥0;
②若->0即a<0時,要使關(guān)于x的不等式x2+ax-2>0在區(qū)間[1,5]上有解,也應滿足f(5)>0,
解得a>-.所以-
23、).
方法二 不等式x2+ax-2>0在[1,5]上有解可轉(zhuǎn)化為a>-x在[1,5]上有解,
設f(x)=-x,x∈[1,5],易知f(x)為減函數(shù),f(x)min=f(5)=-,
∴a>f(x)min=-,
故a的取值范圍是(-,+∞).]
6.(-∞,0]∪[3,+∞)
解析 當x>0時,由log3x≥1可得x≥3,
當x≤0時,由()x≥1可得x≤0,
∴不等式f(x)≥1的解集為(-∞,0]∪[3,+∞).
7.40
解析 每件產(chǎn)品的利潤y=25-q-=29-(+)≤29-2=24,當且僅當=
且q>0,即q=40時取等號.
8.
解析 方法一 a2+4b2+ 24、≥+=+8=.
當且僅當a=2b時等號成立.
方法二 因為1=a+2b≥2?ab≤,當且僅當a=2b=時取等號.
又因為a2+4b2+≥2a·(2b)+=4ab+.令t=ab,
所以f(t)=4t+在(0,]上單調(diào)遞減,
所以f(t)min=f()=.
此時a=2b=.
9.解 (1)由-x2-2x+8>0
得-4 25、A∩B=(-4,-3]∪[1,2).
(2)?RA={x|x≤-4或x≥2}.
(ax-)(x+4)=0有兩根
x=-4或x=.
當a>0時,C={x|-4≤x≤},
不可能C??RA;
當a<0時,C={x|x≤-4或x≥},
若C??RA,則≥2,∴a2≤,
∴-≤a<0.故a的取值范圍為[-,0).
10.解 (1)行車所用時間為t=(h),
y=×2×(2+)+14×,x∈[50,100].
所以,這次行車總費用y關(guān)于x的表達式是y=+x,x∈[50,100].
(2)y=+x≥26,當且僅當=x,
即x=18時,上述不等式中等號成立.
故當x=18時,這次 26、行車的總費用最低,最低費用為26元.
11.C [∵0<a<b,∴>,
又∵f(x)=ln x
在(0,+∞)上為增函數(shù),
故f>f(),即q>p.
又r=(f(a)+f(b))=(ln a+ln b)
=ln a+ln b=ln(ab)
=f()=p.
故p=r<q.選C.]
12.3
解析 畫出可行域如圖陰影所示,
∵表示過點(x,y)與原點(0,0)的直線的斜率,
∴點(x,y)在點A處時最大.
由 得
∴A(1,3).∴的最大值為3.
13.3
解析 滿足x2+y2≤1的實數(shù)x,y表示的點(x,y)構(gòu)成的區(qū)域是單位圓及其內(nèi)部.
f(x,y)=|2x+y 27、-2|+|6-x-3y|
=|2x+y-2|+6-x-3y
=
直線y=-2x+2與圓x2+y2=1交于A,B兩點,如圖所示,易得B.
設z1=4+x-2y,z2=8-3x-4y,分別作直線y=x和y=-x并平移,則z1=4+x-2y在點B取得最小值為3,z2=8-3x-4y在點
B取得最小值為3,所以|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是3.
14.解 (1)設∠BPA=α,∠DPC=β,
CD=h cm,則tan α=2,tan β=,
由題意得,tan(α+β)==-1,
解得h=75.
故CD的長為75 cm.
(2)設AP=x cm(0
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