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2022年高考數(shù)學5年真題備考題庫 第七章 第6節(jié) 空間向量及其運算和空間位置關(guān)系 理(含解析)

上傳人:xt****7 文檔編號:105483992 上傳時間:2022-06-12 格式:DOC 頁數(shù):9 大小:348.02KB
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1、2022年高考數(shù)學5年真題備考題庫 第七章 第6節(jié) 空間向量及其運算和空間位置關(guān)系 理(含解析) 1.(xx廣東,5分). 已知向量a=(1,0,-1),則下列向量中與a成60°夾角的是(  ) A.(-1,1,0) B.(1,-1,0) C.(0,-1,1) D.(-1,0,1) 解析: 各選項給出的向量的模都是,|a|=. 對于選項A,設(shè)b=(-1,1,0),則cos〈a,b〉===-,因為0°≤〈a,b〉≤180°,所以〈a,b〉=120°. 對于選項B,設(shè)b=(1,-1,0),則cos〈a,b〉===.因為0°≤〈a,b〉<180°,所以〈a,b〉=60°,正確

2、. 對于選項C,設(shè)b=(0,-1,1),則cos〈a,b〉===-.因為0°≤〈a,b〉≤180°,所以〈a,b〉=120°. 對于選項D,設(shè)b=(-1,0,1).則cos〈a,b〉===-1.因為0°≤〈a,b〉≤180°,所以〈a,b〉=180°,故選B. 答案:B 2.(xx北京,5分)在空間直角坐標系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,).若S1,S2,S3分別是三棱錐D-ABC在xOy,yOz,zOx坐標平面上的正投影圖形的面積,則(  ) A.S1=S2=S3 B.S2=S1且S2≠S3 C.S3=S1且S3≠S2

3、 D.S3=S2且S3≠S1 解析: 根據(jù)題目條件,在空間直角坐標系Oxyz中作出該三棱錐D-ABC,顯然S1=S△ABC=×2×2=2,S2=S3=×2×=.故選D. 答案:D 3.(xx江西,5分)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=11,AD=7,AA1=12.一質(zhì)點從頂點A射向點E(4,3,12).遇長方體的面反射(反射服從光的反射原理),將第i-1次到第i次反射點之間的線段記為Li(i=2,3,4),L1=AE,將線段L1,L2,L3,L4豎直放置在同一水平線上,則大致的圖形是(  ) 解析:選C 根據(jù)反射的對稱性,質(zhì)點是在過A,E,A1的平面

4、內(nèi)運動.因為<,所以過A,E,A1作長方體的截面AA1NM如圖所示. 設(shè)點A關(guān)于平面A1B1C1D1的對稱點為A′,易知它在z軸上,且A′A1=AA1=12,連接A′E并延長交平面ABCD于點E1,因為A1E=5,所以AE1=10,且E1到AB,AD的距離分別為6,8,即E1(8,6,0),而它在線段AM上,從而知L1=AE=EE1=L2;事實上,只需要在AA1NM內(nèi),過E1作AE的平行線交MN于點E2,再過E2作E1E的平行線交A1N于點E3,可知EE1>E2E3=L4>E1E2=L3,故L1=L2>L4>L3,故選C. 答案:C 4.(xx湖北,5分)在如圖所示的空間直角坐標系O

5、-xyz中,一個四面體的頂點坐標分別是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2),給出編號①②③④的四個圖,則該四面體的正視圖和俯視圖分別為  (  ) A.①和② B.③和① C.④和③ D.④和② 解析:選D 在空間直角坐標系O-xyz中作出棱長為2的正方體,在該正方體中作出四面體,如圖所示,由圖可知,該四面體的正視圖為④,俯視圖為②. 答案:D 5.(xx浙江,15分)如圖,在四面體A-BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=2.M是AD的中點,P是BM的中點,點Q在線段AC上,且AQ=3QC. (1)證明:PQ∥平面B

6、CD; (2)若二面角C-BM-D的大小為60°,求∠BDC的大?。? 解:本題考查空間線面平行的證明,二面角的計算,以及三角形的有關(guān)知識,考查考生的推理論證能力、空間想象能力,以及利用空間向量解決相關(guān)問題的能力. 法一:(1)證明:取BD的中點O,在線段CD上取點F,使得DF=3FC,連接OP,OF,F(xiàn)Q. 因為AQ=3QC,所以QF∥AD,且QF=AD. 因為O,P分別為BD,BM的中點,所以O(shè)P是△BDM的中位線,所以O(shè)P∥DM,且OP=DM. 又點M為AD的中點, 所以O(shè)P∥AD,且OP=AD. 從而OP∥FQ,且OP=FQ, 所以四邊形OPQF為平行四邊形,故PQ∥O

7、F. 又PQ?平面BCD,OF?平面BCD,所以PQ∥平面BCD. (2)作CG⊥BD于點G,作GH⊥BM于點H,連接CH. 因為AD⊥平面BCD,CG?平面BCD,所以AD⊥CG, 又CG⊥BD,AD∩BD=D,故CG⊥平面ABD,又BM?平面ABD,所以CG⊥BM. 又GH⊥BM,CG∩GH=G,故BM⊥平面CGH, ∴BM⊥CH,所以∠CHG為二面角C-BM-D的平面角, 即∠CHG=60°. 設(shè)∠BDC=θ. 在Rt△BCD中,CD=BDcos θ=2cos θ, CG=CDsin θ=2cos θsin θ,BC=BDsin θ=2sin θ, BG=BCsin

8、 θ=2sin2θ. 在Rt△BDM中,HG==. 在Rt△CHG中,tan∠CHG===. 所以tan θ=. 從而θ=60°,即∠BDC=60°. 法二:(1)證明:如圖,取BD的中點O,以O(shè)為原點,OD,OP所在射線為y,z軸的正半軸,建立空間直角坐標系O-xyz. 由題意知A(0,,2), B(0,-,0),D(0,,0). 設(shè)點C的坐標為(x0,y0,0).因為=3,所以Q. 因為M為AD的中點,故M(0,,1).又P為BM的中點,故P.所以=. 又平面BCD的一個法向量為u=(0,0,1), 故·u=0. 又PQ?平面BCD,所以PQ∥平面BCD. (2)

9、設(shè)m=(x,y,z)為平面BMC的法向量. 由=(-x0,-y0,1),=(0,2,1)知 取y=-1,得m=. 又平面BDM的一個法向量為n=(1,0,0),于是 |cos〈m,n〉|===, 即2=3.?、? 又BC⊥CD,所以·=0,故 (-x0,--y0,0)·(-x0,-y0,0)=0, 即x+y=2.?、? 聯(lián)立①②,解得(舍去)或 所以tan∠BDC==. 又∠BDC是銳角,所以∠BDC=60°. 6.(xx天津,13分)如圖, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 側(cè)棱A1A⊥底面ABCD,AB//DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E為

10、棱AA1的中點. (1)證明:B1C1⊥CE; (2)求二面角B1-CE-C1的正弦值. (3)設(shè)點M在線段C1E上, 且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為,求線段AM的長. 解:本小題主要考查空間線線、線面的位置關(guān)系,以及二面角、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識,考查用空間向量解決立體幾何問題的方法,考查考生的空間想象能力、運算能力和推理論證能力. 法一:如圖,以點A為原點建立空間直角坐標系,依題意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0). (1)證明:易得=(1,0,-1),=(-1,1,-1),于是

11、·=0,所以B1C1⊥CE. (2) =(1,-2,-1).設(shè)平面B1CE的法向量m=(x,y,z), 則即消去x,得y+2z=0,不妨令z=1,可得一個法向量為m=(-3,-2,1). 由(1)知,B1C1⊥CE,又CC1⊥B1C1,可得B1C1⊥平面CEC1,故=(1,0,-1)為平面CEC1的一個法向量. 于是cos〈m,〉===-, 從而sin 〈m,〉=. 所以二面角B1-CE-C1的正弦值為. (3) =(0,1,0),=(1,1,1).設(shè)=λ=(λ,λ,λ),0≤λ≤1,有=+=(λ,λ+1,λ).可取=(0,0,2)為平面ADD1A1的一個法向量.設(shè)θ為直線AM與

12、平面ADD1A1所成的角,則sin θ=|cos〈,〉|===.于是=,解得λ=,所以AM=. 法二:(1)證明:因為側(cè)棱CC1⊥底面A1B1C1D1,B1C1?平面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1C1.經(jīng)計算可得B1E=,B1C1=,EC1=,從而B1E2=B1C+EC,所以在△B1EC1中,B1C1⊥C1E,又CC1,C1E?平面CC1E,CC1∩C1E=C1,所以B1C1⊥平面CC1E.又CE?平面CC1E,故B1C1⊥CE. (2)過B1作B1G⊥CE于點G,連接C1G.由(1)知,B1C1⊥CE,故CE⊥平面B1C1G,得CE⊥C1G,所以∠B1GC1為二面角B1-CE-C1的

13、平面角.在△CC1E中,由CE=C1E=,CC1=2,可得C1G=.在Rt△B1C1G中,B1G=,所以sin ∠B1GC1=, 即二面角B1-CE-C1的正弦值為. (3)連接D1E,過點M作MH⊥ED1于點H,可得MH⊥平面ADD1A1,連接AH,AM,則∠MAH為直線AM與平面ADD1A1所成的角. 設(shè)AM=x,從而在Rt△AHM中,有MH=x,AH=x.在Rt△C1D1E中,C1D1=1,ED1=,得EH=MH=x.在△AEH中,∠AEH=135°,AE=1,由AH2=AE2+EH2-2AE·EHcos 135°, 得x2=1+x2+x, 整理得5x2-2x-6=0,解得x=

14、.所以線段AM的長為. 7.(xx湖北,12分)如圖,AB是圓O的直徑,點C是圓O上異于A,B的點,直線PC⊥平面ABC,E,F(xiàn)分別是PA,PC的中點. (1)記平面BEF與平面ABC的交線為l,試判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系,并加以證明; (2)設(shè)(1)中的直線l與圓O的另一個交點為D,且點Q滿足=.記直線PQ與平面ABC所成的角為θ,異面直線PQ與EF所成的角為α,二面角E-l-C的大小為β,求證:sin θ=sin αsin β. 解:本題考查空間線面位置關(guān)系的判斷和證明,考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識,考查空間向量在立體幾何中的應用,考查化歸與轉(zhuǎn)

15、化思想,考查空間想象能力、邏輯推理能力和運算求解能力. (1)直線l∥平面PAC,證明如下: 連接EF,因為E,F(xiàn)分別是PA,PC的中點,所以EF∥AC. 又EF?平面ABC,且AC?平面ABC,所以EF∥平面ABC. 而EF?平面BEF,且平面BEF∩平面ABC=l,所以EF∥l. 因為l?平面PAC,EF?平面PAC,所以l∥平面PAC. (2)證明:法一:(綜合法)如圖1,連接BD,由(1)可知交線l即為直線BD,且l∥AC. 因為AB是⊙O的直徑,所以AC⊥BC,于是l⊥BC. 已知PC⊥平面ABC,而l?平面ABC,所以PC⊥l. 而PC∩BC=C,所以l⊥平面

16、PBC. 連接BE,BF,因為BF?平面PBC,所以l⊥BF. 故∠CBF就是二面角E-l-C的平面角,即∠CBF=β. 由=,作DQ∥CP,且DQ=CP. 連接PQ,DF,因為F是CP的中點,CP=2PF,所以DQ=PF, 從而四邊形DQPF是平行四邊形,PQ∥FD. 連接CD,因為PC⊥平面ABC,所以CD是FD在平面ABC內(nèi)的射影, 故∠CDF就是直線PQ與平面ABC所成的角,即∠CDF=θ. 又BD⊥平面PBC,有BD⊥BF,知∠BDF為銳角, 故∠BDF為異面直線PQ與EF所成的角,即∠BDF=α, 于是在Rt△DCF,Rt△FBD,Rt△BCF中,分別可得 s

17、in θ=,sin α=,sin β=, 從而sin αsin β=·==sin θ, 即sin θ=sin αsin β. 法二:(向量法)如圖2,由=,作DQ∥CP,且DQ=CP. 連接PQ,EF,BE,BF,BD,由(1)可知交線l即為直線BD. 以點C為原點,向量,,所在直線分別為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,設(shè)CA=a,CB=b,CP=2c,則有 C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,b,0),P(0,0,2c),Q(a,b,c),E,F(xiàn)(0,0,c). 于是=,=(-a,-b,c),=(0,-b,c), 所以cos α==, 從而sin α==

18、 . 又取平面ABC的一個法向量為m=(0,0,1), 可得sin θ==, 設(shè)平面BEF的法向量為n=(x,y,z), 所以由可得取n=(0,c,b). 于是|cos β|==,從而sin β= =. 故sin αsin β=·==sin θ, 即sin θ=sin αsin β. 8.(xx福建,13分)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E為CD中點. (1)求證:B1E⊥AD1; (2)在棱AA1上是否存在一點P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的長;若不存在,說明理由; (3)若二面角A-B1E-A1的大小為30°,求AB的長.

19、 解:(1)證明:以A為原點,,,的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標系(如圖).設(shè)AB=a,則A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E(,1,0),B1(a,0,1),故=(0,1,1),=(-,1,-1),=(a,0,1),=(,1,0). ∵·=-×0+1×1+(-1)×1=0, ∴B1E⊥AD1. (2)假設(shè)在棱AA1上存在一點P(0,0,z0), 使得DP∥平面B1AE,此時=(0,-1,z0). 又設(shè)平面B1AE的法向量n=(x,y,z). ∵n⊥平面B1AE,∴n⊥,n⊥,得取x=1,則y=-,z=-a,得平面B1AE的一個法向量n=

20、(1,-,-a). 要使DP∥平面B1AE,只要n⊥,有-az0=0,解得z0=. 又DP?平面B1AE,∴存在點P,滿足DP∥平面B1AE,此時AP=. (3)連接A1D,B1C,由長方體ABCD-A1B1C1D1及AA1=AD=1,得AD1⊥A1D. ∵B1C∥A1D,∴AD1⊥B1C.又由(1)知B1E⊥AD1,且B1C∩B1E=B1, ∴AD1⊥平面DCB1A1,∴是平面A1B1E的一個法向量,此時=(0,1,1). 設(shè)與n所成的角為θ, 則cos θ== . ∵二面角A-B1E-A1的大小為30°, ∴|cos θ|=cos 30°,即=, 解得a=2,即AB的長為2.

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