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1、2022年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫(kù) 第四章 第2節(jié) 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示 理(含解析)
1. (xx福建,5分)在下列向量組中,可以把向量a=(3,2)表示出來(lái)的是( )
A.e1=(0,0),e2=(1,2)
B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)
C.e1=(3,5),e2=(6,10)
D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)
解析:由題意知,A選項(xiàng)中e1=0,C,D選項(xiàng)中兩向量均共線(xiàn),都不符合基底條件,故選B(事實(shí)上,a=(3,2)=2e1+e2).
答案:B
2. (xx四川,5分)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c與
2、a的夾角等于c與b的夾角,則m=( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
解析: 法一:由已知得c=(m+4,2m+2),因?yàn)閏os〈c,a〉=,cos〈c,b〉=,所以=,又由已知得|b|=2|a|,所以2c·a=c·b,即2[(m+4)+2(2m+2)]=4(m+4)+2(2m+2),解得m=2.
法二:易知c是以ma,b為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)向量,因?yàn)閏與a的夾角等于c與b的夾角,所以該平行四邊形為菱形,又由已知得|b|=2|a|,故m=2.
答案:D
3. (xx北京,5分)已知向量a,b滿(mǎn)足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),則|λ|
3、=________.
解析:∵|a|=1,∴可令a=(cos θ,sin θ),
∵ λa+b=0.
∴即
由sin2θ+cos2θ=1得λ2=5,得|λ|=.
答案:
4. (xx江西,5分)已知單位向量e1與e2的夾角為α,且cos α=,向量a=3e1-2e2與b=3e1-e2的夾角為β,則cos β=________.
解析:因?yàn)閍2=(3e1-2e2)2=9-2×3×2×cos α+4=9,所以|a|=3,b2=(3e1-e2)2=9-2×3×1×cos α+1=8,所以|b|=2,a·b=(3e1-2e2)·(3e1-e2)=9e-9e1·e2+2e=9-9×1×1×
4、+2=8,所以cos β===.
答案:
5. (xx陜西,12分)在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(1,1),B(2,3),C(3,2),點(diǎn)P(x,y)在△ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上.
(1)若++=0,求| |;
(2)設(shè)=m+n (m,n∈R),用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.
解:(1)法一:∵++=0,
又++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),
∴解得x=2,y=2,
即=(2,2),故||=2.
法二:∵++=0,
則(-)+(-)+(-)=0,
∴=(++)=(2,2),
∴||=2.
(2
5、)由題意得=(1,2),=(2,1),∵=m+n,
∴(x,y)=(m+2n,2m+n),
∴
兩式相減得,m-n=y(tǒng)-x,
令y-x=t,由圖知,當(dāng)直線(xiàn)y=x+t過(guò)點(diǎn)B(2,3)時(shí),t取得最大值1,故m-n的最大值為1.
6.(xx浙江,5分)設(shè)△ABC,P0是邊AB上一定點(diǎn),滿(mǎn)足P0B=AB,且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P,恒有·≥·,則( )
A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°
C.AB=AC D.AC=BC
解析:選D 本題主要考查平面向量的運(yùn)算,向量的模、數(shù)量積的概念,向量運(yùn)算的幾何意義等,意在考查利用向量解決簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題的能力.設(shè)
6、AB=4,以AB所在直線(xiàn)為x軸,線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)為y軸,則A(-2,0),B(2,0),則P0(1,0),設(shè)C(a,b),P(x,0),∴=(2-x,0),=(a-x,b).∴=(1,0),=(a-1,b).
則·≥·?(2-x)·(a-x)≥a-1恒成立,
即x2-(2+a)x+a+1≥0恒成立.
∴Δ=(2+a)2-4(a+1)=a2≤0恒成立.∴a=0.
即點(diǎn)C在線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)上,∴AC=BC.
7.(xx遼寧,5分)已知點(diǎn)A(1,3),B(4,-1),則與向量同方向的單位向量為( )
A. B.
C. D.
解析:選A 本題主要考查向量的坐標(biāo)表示.由已知,
7、得=(3,-4),所以||=5,因此與同方向的單位向量是=.
8.(xx福建,5分)在四邊形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),則該四邊形的面積為( )
A. B.2
C.5 D.10
解析:選C 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算、模、四邊形面積等基礎(chǔ)知識(shí),意在考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況.依題意得,·=1×(-4)+2×2=0.所以⊥,所以四邊形ABCD的面積為||·||=××=5.
9.(xx陜西,5分)已知向量a=(1,m),b=(m,2), 若a∥b, 則實(shí)數(shù)m等于( )
A.- B.
C.-或 D.0
解析:選C 本題主要考查向量平行的充要條件的
8、坐標(biāo)表示.a(chǎn)∥b的充要條件的坐標(biāo)表示為1×2-m2=0,∴m=±.
10.(xx山東,4分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知=(-1,t),=(2,2).若∠ABO=90°,則實(shí)數(shù)t的值為_(kāi)_______.
解析:本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力.=-=(3,2-t),由題意知·=0,所以2×3+2(2-t)=0,t=5.
答案:5
11.(xx北京,5分)向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若c=λa+μb(λ,μ∈R),則=________.
解析:本題考查平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算、平面向量基本定理等基礎(chǔ)知識(shí),意在考查方程思想和考生的運(yùn)算求解能力.設(shè)i,
9、j分別為水平方向和豎直方向上的正向單位向量,則a=-i+j,b=6i+2j,c=-i-3j,所以-i-3j=λ(-i+j)+μ(6i+2j),根據(jù)平面向量基本定理得λ=-2,μ=-,所以=4.
答案:4
12.(xx安徽,5分)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O(0,0),P(6,8),將向量繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得向量,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是( )
A.(-7,-) B.(-7,)
C.(-4,-2) D.(-4,2)
解析:畫(huà)出草圖,可知點(diǎn)Q落在第三象限,則可排除B、D;代入A,cos∠QOP===,所以∠QOP=.代入C,cos∠QOP==≠,故答案為A.
答案:A
13.(xx新課標(biāo)全國(guó),5分)a,b為平面向量,已知a=(4,3),2a+b=(3,18),則a,b夾角的余弦值等于( )
A. B.-
C. D.-
解析:由題可知,設(shè)b=(x,y),則2a+b=(8+x,6+y)=(3,18),所以可以解得x=-5,y=12,故b=(-5,12),由cos〈a,b〉==.
答案:C
14.(2011北京,5分)已知向量a=(,1),b=(0,-1),c=(k,).若a-2b與c共線(xiàn),則k=____.
解析:因?yàn)閍-2b=(,3),所以由(a-2b)∥c得×-3k=0,解得k=1.
答案:1