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1、2022年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫(kù) 第七章 第5節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質(zhì) 理(含解析)
1.(xx安徽,5分)設(shè)平面α與平面β相交于直線m,直線a在平面α內(nèi),直線b在平面β內(nèi),且b⊥m,則“α⊥β”是“a⊥b”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
解析:若α⊥β,又α∩β=m,b?β,b⊥m,根據(jù)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理可得b⊥α,又因?yàn)閍?α,所以a⊥b;反過來,當(dāng)a∥m時(shí),因?yàn)閎⊥m,一定有b⊥a,但不能保證b⊥α,即不能推出α⊥β.
答案:A
2.(2011浙江,5分)下列命題中錯(cuò)誤的
2、是( )
A.如果平面α⊥平面β,那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面β
B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β
C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ
D.如果平面α⊥平面β,那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β
解析:對(duì)于D,若平面α⊥平面β,則平面α內(nèi)的直線可能不垂直于平面β,甚至可能平行于平面β,其余選項(xiàng)均是正確的.
答案:D
3.(2011新課標(biāo)全國(guó),12分)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.
(1)證明:PA⊥BD;
(2)若PD=AD,
3、求二面角A-PB-C的余弦值.
解:(1)證明:因?yàn)椤螪AB=60°,AB=2AD,由余弦定理得BD=AD.
從而BD2+AD2=AB2,故BD⊥AD.
又PD⊥底面ABCD,可得BD⊥PD.
所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.
(2)如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),AD的長(zhǎng)為單位長(zhǎng),射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則
A(1,0,0),B(0,,0),C(-1,,0),P(0,0,1).
=(-1,,0),=(0,,-1),=(-1,0,0).
設(shè)平面PAB的法向量為n=(x,y,z),則
即
因此可取n=(,1,).
設(shè)平面PBC的法向量為m,則
可取m=(0,-1,-).則cos〈m,n〉==-.
故二面角A-PB-C的余弦值為-.