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1、高考數(shù)學新一輪復習 詳細分類題庫 考點23 等差數(shù)列及其前n項和(文、理)(含詳解,13高考題)
一、選擇題
1. (xx·新課標Ⅰ高考理科·T7)設(shè)等差數(shù)列的前項和為,若,,,則( )
A. B. C. D.
【解題指南】利用,求出及的值,從而確定等差數(shù)列的公差,再利用前項和公式求出的值.
【解析】選C.由已知得,,,因為數(shù)列為等差數(shù)列,所以,又因為,所以,因為,所以,又,解得.
2.(xx·安徽高考文科·T7)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,,則a9=( )
A.-6 B.-4 C.-2 D.2
【解題指南】利用等差數(shù)列的
2、前n項和公式及通項公式求出首項及公差。
【解析】選A。由,聯(lián)立解得,所以。
3. (xx·遼寧高考文科·T4)與(xx·遼寧高考理科·T4)相同
下面是關(guān)于公差的等差數(shù)列的四個命題:
數(shù)列是遞增數(shù)列;數(shù)列是遞增數(shù)列;
數(shù)列是遞增數(shù)列;數(shù)列是遞增數(shù)列;
其中的真命題為( )
【解題指南】借助增函數(shù)的定義判斷所給數(shù)列是否為遞增數(shù)列
【解析】選D.
命題
判斷過程
結(jié)論
數(shù)列是遞增數(shù)列
由知數(shù)列是遞增數(shù)列
真命題
數(shù)列是遞增數(shù)列
由
,僅由是無法判斷
的正負的,因而不能判定
的大小關(guān)系
假命題
數(shù)列是遞增數(shù)列
顯然,當時,數(shù)列是常數(shù)數(shù)列,不是
3、遞增數(shù)列,
假命題
數(shù)列是遞增數(shù)列
數(shù)列的第項減去數(shù)列的第項
所以
即數(shù)列是遞增數(shù)列
真命題
二、填空題
4. (xx·重慶高考文科·T12)若2、、、、9成等差數(shù)列,則 .
【解題指南】可根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)直接求解.
【解析】因為2、、、、9成等差數(shù)列,所以公差,.
【答案】
5.(xx·上海高考文科·T2)在等差數(shù)列中,若a1+ a2+ a3+ a4=30,則a2+ a3= .
【解析】
【答案】 15
6. (xx·廣東高考理科·T12)在等差數(shù)列{an}中,已知a3+a8=10,則3a5+a7= ?
【解題指
4、南】本題考查等差數(shù)列的基本運算,可利用通項公式和整體代換的思想求解.
【解析】設(shè)公差為d,則a3+a8=2a1+9d=10,3a5+a7=4a1+18d=2(2a1+9d)=20.
【答案】20
7.(xx·新課標全國Ⅱ高考理科·T16)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知S10=0,S15=25,則nSn的最小值為 .
【解題指南】求得Sn的表達式,然后表示出nSn,將其看作關(guān)于n的函數(shù),借助導數(shù)求得最小值.
【解析】由題意知:解得d=,
a1=-3,所以
即nSn=,令f(n)= ,
則有令f'(n)>0,得,令f'(n)<0,得又因為n為正整數(shù),所以當n=7時,
5、取得最小值,即nSn的最小值為-49.
【答案】-49
8.(xx·安徽高考理科·T14))如圖,互不相同的點A1,A2,…,An,…和B1,B2,…,Bn,…分別在角O的兩條邊上,所有相互平行,且所有梯形AnBnBn+1An+1的面積均相等。設(shè)若a1=1,a2=2則數(shù)列的通項公式是_______。
【解題指南】利用三角形的面積比等于相似比的平方得到等式關(guān)系化簡求解.
【解析】
由題意可得: ①
即 ②
①②兩式相加得,所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.故,即
【答案】
三、解答題
9. (xx·大綱版全國卷高
6、考文科·T17)等差數(shù)列中,
(I)求的通項公式;
(II)設(shè)
【解題指南】(I)根據(jù)條件中給出的特殊項求出等差數(shù)列的首項和公差,再根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出的通項公式.
(II)將(I)中的通項公式代入到中,采用裂項相消法求和.
【解析】(I)設(shè)等差數(shù)列的公差為,則.
因為,所以,解得.
所以的通項公式為.
(II)因為
所以.
10.(xx·大綱版全國卷高考理科·T17)等差數(shù)列的前項和為的通項式.
【解析】設(shè)的公差為,由,得,故或.
由,,成等差數(shù)列得.
又,,.
故.
若,則,解得,此時,不符合題意.
若,則,解得或.
因此得通項公式為或.
11.(
7、xx·安徽高考文科·T19) 設(shè)數(shù)列滿足,且對任意n∈,函數(shù) ,滿足。
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)若求數(shù)列的前n項和。
【解題指南】(1)由證得是等差數(shù)列;(2)求出 的通項公式,利用等差、等比數(shù)列的求和公式計算。
【解析】(1)由題設(shè)可得,,對任意n∈,,即為等差數(shù)列.由解得的公差d=1,所以an=2+1·(n-1)=n+1.
(2)由知,
。
12. (xx·湖北高考文科·T19)已知是等比數(shù)列的前項和,,,成等差數(shù)列,且.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)是否存在正整數(shù),使得?若存在,求出符合條件的所有的集合;若不存在,說明理由.
【解題指南】(Ⅰ)由條件,,成等差數(shù)列和列出方程組,解出首項和公比,運用等比數(shù)列通項公式得出的通項公式。(Ⅱ)假設(shè)存在正整數(shù),使得,解不等式,求n的解集。
13. (xx·新課標全國Ⅱ高考文科·T17)已知等差數(shù)列的公差不為零,,且成等比數(shù)列。
(1)求的通項公式;
(2)求;
【解題指南】(1)設(shè)出公差d,利用成等比數(shù)列,求得d,可得通項公式
(2)發(fā)現(xiàn)構(gòu)成新的等差數(shù)列,確定新數(shù)列的公差與項數(shù),然后利用公式求和.
【解析】(1)設(shè)的公差為.由題意,,
即.
于是.
又所以(舍去),
故
(2)令,
由(1)知故是首項為25,公差為-6的等差數(shù)列.從而