《2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一章 集合與常用邏輯用 第1講 集合及其運(yùn)算教學(xué)案 理 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一章 集合與常用邏輯用 第1講 集合及其運(yùn)算教學(xué)案 理 北師大版（14頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第1講　集合及其運(yùn)算 一、知識梳理 1．集合與元素 (1)集合元素的三個特征：確定性、互異性、無序性． (2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于關(guān)系，用符號∈或?表示． (3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法． (4)常見數(shù)集的記法 集合 自然數(shù)集 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實(shí)數(shù)集 符號 N N＋(或N*) Z Q R 2.集合間的基本關(guān)系 表示 關(guān)系 　 自然語言 符號語言 Venn圖 子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，則x∈B) A?B (或B?A) 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一

2、個元素不在集合A中 AB (或BA) 集合相等 集合A，B中元素相同 A＝B 3.集合的基本運(yùn)算 集合的并集 集合的交集 集合的補(bǔ)集 圖形語言 符號語言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} ?UA＝{x|x∈U，且x?A} 常用結(jié)論 1．三種集合運(yùn)算的性質(zhì) (1)并集的性質(zhì)：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A. (2)交集的性質(zhì)：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B. (3)補(bǔ)集的性質(zhì)：A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?；?U(?UA)＝A；?U(

3、A∩B)＝(?UA)∪(?UB)；?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)． 2．集合基本關(guān)系的四個結(jié)論 (1)空集是任意一個集合的子集，是任意一個非空集合的真子集． (2)任何一個集合是它本身的子集，即A?A.空集只有一個子集，即它本身． (3)集合的子集和真子集具有傳遞性：若A?B，B?C，則A?C；若AB，BC，則AC. (4)含有n個元素的集合有2n個子集，有2n－1個非空子集，有2n－1個真子集，有2n－2個非空真子集． 二、教材衍化 1．已知集合A＝{x|x是平行四邊形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x是菱形}，則(　　) A．A?B

4、 B．C?B C．D?C D．A?D 答案：B 2．集合A＝{x|x＝－y2＋6，x∈N，y∈N}的真子集的個數(shù)為(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 解析：選C.當(dāng)y＝0時，x＝6；當(dāng)y＝1時，x＝5；當(dāng)y＝2時，x＝2；當(dāng)y≥3時，x?N，故集合A＝{2，5，6}，共含有3個元素，故其真子集的個數(shù)為23－1＝7. 3．已知集合A＝{1，3，－a2}，B＝{1，a＋2}，若B?A，則實(shí)數(shù)a＝________． 解析：因?yàn)锽?A，所以a＋2＝3或a＋2＝－a2(此方程無實(shí)根)，所以a＝1，此時A＝{1，3，－1}，B＝{

5、1，3}． 答案：1 一、思考辨析 判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　) (2)若{x2，1}＝{0，1}，則x＝0，1.(　　) (3){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(　　) (4)對于任意兩個集合A，B，(A∩B)?(A∪B)恒成立．(　　) (5)若A∩B＝A∩C，則B＝C.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)× 二、易錯糾偏 (1)忽視集合中元素的互異性致誤； (2)忽視空集的情況致誤； (3)忽視區(qū)間端點(diǎn)值致誤． 1．已知集合A＝

6、{1，3，}，B＝{1，m}，若B?A，則m＝________． 解析：因?yàn)锽?A，所以m＝3或m＝，即m＝3或m＝0或m＝1，根據(jù)集合元素的互異性可知，m≠1，所以m＝0或3. 答案：0或3 2．已知集合M＝{x|x－2＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，則實(shí)數(shù)a的值是________． 解析：易得M＝{2}．因?yàn)镸∩N＝N，所以N?M，所以N＝?或N＝M，所以a＝0或a＝. 答案：0或 3．已知集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2＜x＜4}，則A∩B＝________，A∪B＝________，(?RA)∪B＝________． 解析：由已知得A＝{x

7、|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，所以A∩B＝{x|2＜x＜3}，A∪B＝{x|1＜x＜4}， (?RA)∪B＝{x|x≤1或x＞2}． 答案：(2，3)　(1，4)　(－∞，1]∪(2，＋∞) [學(xué)生用書P2] 　　　　　　集合的概念(自主練透) 1．設(shè)集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，則B中的元素有(　　) A．5個　　　　　　　 B．4個 C．3個 D．無數(shù)個 解析：選C.依題意有A＝{－2，－1，0，1，2}，代入y＝x2＋1得到B＝{1，2，5}，故B中有3個元素． 2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有

8、一個元素，則a＝________． 解析：當(dāng)a＝0時，顯然成立；當(dāng)a≠0時，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝. 答案：0或 3.已知集合A＝{x∈N|1＜x＜log2k}，集合A中至少有3個元素，則k的取值范圍為________． 解析：因?yàn)榧螦中至少有3個元素，所以log2k＞4，所以k＞24＝16. 答案：(16，＋∞) 4．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，則m的值為________． 解析：由題意得m＋2＝3或2m2＋m＝3， 則m＝1或m＝－. 當(dāng)m＝1時，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根據(jù)集合中元素的互異性可知不滿足題意； 當(dāng)m＝－時，m＋2＝，而

9、2m2＋m＝3，符合題意，故m＝－. 答案：－ 求解與集合中的元素有關(guān)問題的注意事項(xiàng) (1)如果題目條件中的集合是用描述法表示的集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明白集合的類型，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他類型的集合． (2)如果是根據(jù)已知列方程求參數(shù)值，一定要將參數(shù)值代入集合中檢驗(yàn)是否滿足元素的互異性．　 　　　　　　集合的基本關(guān)系(典例遷移) (1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

10、0，x∈R}，B＝{x|0

11、2m－15}，試求

12、m的取值范圍． 解：因?yàn)锽?A， 所以①當(dāng)B＝?時，2m－14. 綜上可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－∞，2)∪(4，＋∞)． (1)判斷兩集合關(guān)系的方法 ①對描述法表示的集合，把集合化簡后，從表達(dá)式中尋找兩集合間的關(guān)系； ②對于用列舉法表示的集合，從元素中尋找關(guān)系． (2)根據(jù)兩集合間的關(guān)系求參數(shù)的方法 已知兩個集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題． [提醒]　空集是任何集合的子集，當(dāng)題目條件中有B?A時，應(yīng)分B＝

13、?和B≠?兩種情況討論． 1．(2020·西安模擬)設(shè)集合M＝{x|x2－x>0}，N＝，則(　　) A．MN(yùn) B．NM C．M＝N D．M∪N＝R 解析：選C.集合M＝{x|x2－x>0}＝{x|x>1或x<0}，N＝＝{x|x>1或x<0}，所以M＝N.故答案為C. 2．設(shè)M為非空的數(shù)集，M?{1，2，3}，且M中至少含有一個奇數(shù)元素，則這樣的集合M共有(　　) A．6個 B．5個 C．4個 D．3個 解析：選A.由題意知，M＝{1}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共6個． 3．若集合A＝{1，2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝

14、0，x∈R}，且B?A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________． 解析：①若B＝?，則Δ＝m2－4＜0， 解得－2＜m＜2，符合題意； ②若1∈B，則12＋m＋1＝0， 解得m＝－2，此時B＝{1}，符合題意； ③若2∈B，則22＋2m＋1＝0， 解得m＝－，此時B＝，不合題意． 綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為[－2，2)． 答案：[－2，2) 　　　　　　集合的基本運(yùn)算(多維探究) 角度一　集合的運(yùn)算 (1)(2019·高考全國卷Ⅰ)已知集合M＝{x|－4

15、2} C．{x|－20}，B＝{y|y≥2}，則(?RA)∪B＝(　　) A. B．? C．[0，＋∞) D．(0，＋∞) 【解析】　(1)通解：因?yàn)镹＝{x|－20}＝，所以?RA＝，又B＝{y|y≥2}，所以(?RA

16、)∪B＝[0，＋∞)．故選C. 【答案】　(1)C　(2)C 角度二　利用集合的運(yùn)算求參數(shù) (1)(2020·江西上饒重點(diǎn)中學(xué)六校聯(lián)考)已知A＝[1，＋∞)，B＝[0，3a－1]，若A∩B≠?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．[1，＋∞) B． C. D．(1，＋∞) (2)集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，則a的值為________． (3)已知集合A＝{x|x2－x－12＞0}，B＝{x|x≥m}．若A∩B＝{x|x＞4}，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 【解析】　(1)由題意可得3a－1≥1，解得a≥，即實(shí)數(shù)a的

17、數(shù)值范圍是.故選C. (2)根據(jù)并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故只能是a＝4. (3)集合A＝{x|x＜－3或x＞4}，因?yàn)锳∩B＝{x|x＞4}，所以－3≤m≤4. 【答案】　(1)C　(2)4　(3)[－3，4] (1)集合運(yùn)算的常用方法 ①若集合中的元素是離散的，常用Venn圖求解； ②若集合中的元素是連續(xù)的實(shí)數(shù)，則用數(shù)軸表示，此時要注意端點(diǎn)的情況． (2)利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的值或取值范圍的方法 ①與不等式有關(guān)的集合，一般利用數(shù)軸解決，要注意端點(diǎn)值能否取到； ②若集合能一一列舉，則一般先用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系，再列方程(組)求解．

18、[提醒]　在求出參數(shù)后，注意結(jié)果的驗(yàn)證(滿足互異性)．　 1．(2020·江西吉安一中、新余一中等八所中學(xué)聯(lián)考)已知集合M＝[－1，1]，N＝{y|y＝x2，x∈M}，則M∩N＝(　　) A．[0，1] B．[－1，1] C．[0，1) D．(0，1] 解析：選A.由于M＝[－1，1]，N＝{y|y＝x2，x∈M}，所以N＝[0，1]，所以M∩N＝[0，1]．故選A. 2.(2020·安徽宣城八校聯(lián)考)如圖，設(shè)全集U＝N，集合A＝{1，3，5，7，8}，B＝{1，2，3，4，5}，則圖中陰影部分表示的集合為(　　) A．{2，4} B．{7，8} C．{1，3，

19、5} D．{1，2，3，4，5} 解析：選A.由題圖可知陰影部分表示的集合為(?UA)∩B，因?yàn)榧螦＝{1，3，5，7，8}，B＝{1，2，3，4，5}，U＝N，所以(?UA)∩B＝{2，4}．故選A. 3．已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|y＝}，則A∩B＝(　　) A．{x|－1＜x＜0} B．{x|－1＜x≤0} C．{x|0＜x＜2} D．{x|0≤x＜2} 解析：選B.因?yàn)楹瘮?shù)y＝有意義，所以－x2－2x≥0，解得－2≤x≤0，所以集合B＝{x|－2≤x≤0}．又集合A＝{x|－1＜x＜2}，所以A∩B＝{x|－1＜x≤0}．故選B. [學(xué)生用書

20、P4] 　集合新定義問題中的核心素養(yǎng) (1)(2020·河南南陽第一中學(xué)第十四次考試)定義集合運(yùn)算：A⊙B＝{Z|Z＝xy，x∈A，y∈B}，設(shè)集合A＝{－1，0，1}，B＝{sin α，cos α}，則集合A⊙B的所有元素之和為(　　) A．1　　　　　　　　　　 B．0 C．－1 D．sin α＋cos α (2)(2020·河北保定一模)設(shè)P和Q是兩個集合，定義集合P－Q＝{x|x∈P，且x?Q}，如果P＝{x|1<2x<4}，Q＝{y|y＝2＋sin x，x∈R}，那么P－Q＝(　　) A．{x|0

21、．{x|0

22、的新定義問題的兩個切入點(diǎn) ①正確理解新定義．這類問題不是簡單的考查集合的概念或性質(zhì)問題，而是以集合為載體的有關(guān)新定義問題．常見的命題形式有新概念、新法則、新運(yùn)算等； ②合理利用集合性質(zhì)．運(yùn)用集合的性質(zhì)(如元素的性質(zhì)、集合的運(yùn)算性質(zhì)等)是破解新定義型集合問題的關(guān)鍵．在解題時要善于從題設(shè)條件給出的數(shù)式中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，但關(guān)鍵之處還是合理利用集合的運(yùn)算與性質(zhì)． 　設(shè)A是整數(shù)集的一個非空子集，對于k∈A，如果k－1?A且k＋1?A，那么k是A的一個“單一元”，給定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3個元素構(gòu)成的所有集合中，不含“單一元”的集合共有________個．

23、 解析：符合題意的集合為{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6個． 答案：6 [基礎(chǔ)題組練] 1．設(shè)集合A＝{－1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，則(A∩C)∪B＝(　　) A．{2}　　　　　　　　　 B．{2，3} C．{－1，2，3} D．{1，2，3，4} 解析：選D.由條件可得A∩C＝{1，2}，故(A∩C)∪B＝{1，2，3，4}． 2．(2019·高考全國卷Ⅱ)設(shè)集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，則A∩B＝(　　) A．(－∞，1) B

24、．(－2，1) C．(－3，－1) D．(3，＋∞) 解析：選A.因?yàn)锳＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|x>3或x<2}，B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}，所以A∩B＝{x|x<1}，故選A. 3．(2020·河南許昌、洛陽三模)已知集合A＝{x|y＝}，B＝(0，1)，則A∩B＝(　　) A．(0，1) B．(0，1] C．(－1，1) D．[－1，1] 解析：選A.由題意得A＝[－1，1]，又B＝(0，1)，所以A∩B＝(0，1)．故選A. 4．設(shè)集合M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝k＋2，k∈Z}，則(　　) A．M＝N B．M?N C

25、．N?M D．M∩N＝? 解析：選B.因?yàn)榧螹＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}＝{奇數(shù)}，N＝{x|x＝k＋2，k∈Z}＝{整數(shù)}，所以M?N.故選B. 5．(2020·廣東湛江測試(二))已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝2x－3，x∈A}，則集合A∩B的子集個數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：選C.因?yàn)锳＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝2x－3，x∈A}，所以B＝{－1，1，3，5}，所以A∩B＝{1，3}．所以集合A∩B的子集個數(shù)為22＝4.故選C. 6．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個數(shù)為(　

26、　) A．9 B．8 C．5 D．4 解析：選A.法一：由x2＋y2≤3知，－≤x≤，－≤y≤.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}，所以A中元素的個數(shù)為CC＝9，故選A. 法二：根據(jù)集合A的元素特征及圓的方程在坐標(biāo)系中作出圖形，如圖，易知在圓x2＋y2＝3中有9個整點(diǎn)，即為集合A的元素個數(shù)，故選A. 7．已知x∈R，集合A＝{0，1，2，4，5}，集合B＝{x－2，x，x＋2}，若A∩B＝{0，2}，則x＝(　　) A．－2 B．0 C．1 D．2 解析：選B.因?yàn)锳＝{0，1，2，4，5}，集合B＝{x－2，x，x＋2}，且A∩B

27、＝{0，2}， 所以或 當(dāng)x＝2時，B＝{0，2，4}，A∩B＝{0，2，4}(舍)； 當(dāng)x＝0時，B＝{－2，0，2}，A∩B＝{0，2}． 綜上，x＝0.故選B. 8．(2020·滁州模擬)已知集合M＝{x|x2＝1}，N＝{x|ax＝1}，若N?M，則實(shí)數(shù)a的取值集合為(　　) A．{1}　　　　　　　　　 B．{－1，1} C．{1，0} D．{－1，1，0} 解析：選D.M＝{x|x2＝1}＝{－1，1}，當(dāng)a＝0時，N＝?，滿足N?M，當(dāng)a≠0時，因?yàn)镹?M，所以＝－1或＝1，即a＝－1或a＝1.故選D. 9.(2020·太原模擬)已知全集U＝R，集合A＝{x

28、|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，則如圖所示的陰影部分表示的集合是(　　) A．(－2，1) B．[－1，0]∪[1，2) C．(－2，－1)∪[0，1] D．[0，1] 解析：選C.因?yàn)榧螦＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，所以A＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|－1≤x≤1}，所以A∪B＝(－2，1]，A∩B＝[－1，0)，所以陰影部分表示的集合為?A∪B(A∩B)＝(－2，－1)∪[0，1]，故選C. 10．(2020·福建廈門3月質(zhì)量檢查)已知集合A＝{x|x2－4x＋3>0}，B＝{x|x－a<0}，若B?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　

29、　) A．(3，＋∞) B．[3，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，1] 解析：選D.A＝{x|x2－4x＋3>0}＝{x|x<1或x>3}，B＝{x|x－a<0}＝{x|x

30、(－∞，3] 12．已知集合A＝{x|x－a≤0}，B＝{1，2，3}，若A∩B≠?，則a的取值范圍為________． 解析：集合A＝{x|x≤a}，集合B＝{1，2，3}，若A∩B≠?，則1，2，3這三個元素至少有一個在集合A中，若2或3在集合A中，則1一定在集合A中，因此只要保證1∈A即可，所以a≥1. 答案：[1，＋∞) [綜合題組練] 1．已知全集U＝A∪B中有m個元素，(?UA)∪(?UB)中有n個元素，若A∩B非空，則A∩B的元素個數(shù)為(　　) A．mn　　 B．m＋n C．n－m　　 D．m－n 解析：選D.因?yàn)??UA)∪(?UB)中有n個元素，如圖中陰影

31、部分所示，又U＝A∪B中有m個元素，故A∩B中有m－n個元素． 2．給定集合A，若對于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，則稱集合A為閉集合，給出如下三個結(jié)論： ①集合A＝{－4，－2，0，2，4}為閉集合； ②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}為閉集合； ③若集合A1，A2為閉集合，則A1∪A2為閉集合． 其中錯誤結(jié)論的序號是________． 解析：①中，－4＋(－2)＝－6?A，所以①不正確；②中，設(shè)n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，則n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正確；③中，令A(yù)1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝k，k

32、∈Z}，則A1，A2為閉集合，但3k＋k?(A1∪A2)，故A1∪A2不是閉集合，所以③不正確． 答案：①③ 3．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2m＜x＜1－m}，若A∩B＝?，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 解析：因?yàn)锳∩B＝?，①若當(dāng)2m≥1－m，即m≥時，B＝?，符合題意； ②若當(dāng)2m＜1－m，即m＜時， 需滿足或 解得0≤m＜或?，即0≤m＜. 綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞) 4．設(shè)[x]表示不大于x的最大整數(shù)，集合A＝{x|x2－2[x]＝3}，B＝，則A∩B＝________． 解析：不等式<2x<8的解為－3