14、式．
(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化．
(1)(xx·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ改編)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，則△ABC的面積為 ．
(2)(xx·山東)在△ABC中，已知·＝tan A，當(dāng)A＝時(shí)，△ABC的面積為 ．
答案 (1)＋1 (2)
解析 (1)因?yàn)锽＝，C＝，所以A＝.
由正弦定理得＝，解得c＝2.
所以三角形的面積為bcsin A＝×2×2sin .
因?yàn)閟in ＝sin＝×＋×
＝，
所以bcsin A＝2×＝＋1.
(2)已知A＝，
由題意得||||c
15、os ＝tan ，
||||＝，
所以△ABC的面積S＝||||sin
＝××＝.
三角變換不等價(jià)致誤
典例：在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，試判斷△ABC的形狀．
易錯(cuò)分析 (1)從兩個(gè)角的正弦值相等直接得到兩角相等，忽略兩角互補(bǔ)情形；
(2)代數(shù)運(yùn)算中兩邊同除一個(gè)可能為0的式子，導(dǎo)致漏解；
(3)結(jié)論表述不規(guī)范．
規(guī)范解答
解 ∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，
∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，
∴2sin Acos B·
16、b2＝2cos Asin B·a2，
即a2cos Asin B＝b2sin Acos B.
方法一 由正弦定理知a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
∴sin2Acos Asin B＝sin2Bsin Acos B，
又sin A·sin B≠0，∴sin Acos A＝sin Bcos B，
∴sin 2A＝sin 2B.
在△ABC中，0<2A<2π，0<2B<2π，
∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝.
∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．
方法二 由正弦定理、余弦定理得：
a2b＝b2a，
∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，
17、
∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0.
即a＝b或a2＋b2＝c2.
∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．
溫馨提醒 (1)判斷三角形形狀要對(duì)所給的邊角關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之變?yōu)橹缓吇蛑缓堑氖阶?，然后進(jìn)行判斷；(2)在三角變換過程中，一般不要兩邊約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解；在利用三角函數(shù)關(guān)系推證角的關(guān)系時(shí)，要注意利用誘導(dǎo)公式，不要漏掉角之間關(guān)系的某種情況.
方法與技巧
1．應(yīng)熟練掌握和運(yùn)用內(nèi)角和定理：A＋B＋C＝π，＋＋＝中互補(bǔ)和互余的情況，結(jié)合誘導(dǎo)公式可以減少角的種數(shù)．
2．正弦、余弦定理的公式應(yīng)注意靈活運(yùn)用，
18、如由正弦、余弦定理結(jié)合得sin2A＝sin2B＋sin2C－2sin B·sin C·cos A，可以進(jìn)行化簡(jiǎn)或證明．
3．在解三角形或判斷三角形形狀時(shí)，要注意三角函數(shù)值的符號(hào)和角的范圍，防止出現(xiàn)增解、漏解．
失誤與防范
1．在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而求出其他的邊和角時(shí)，有時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解，所以要進(jìn)行分類討論．
2．利用正弦、余弦定理解三角形時(shí)，要注意三角形內(nèi)角和定理對(duì)角的范圍的限制.
A組 專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練
(時(shí)間：40分鐘)
1．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，則AC＝ .
答案 2
解析 由正
19、弦定理得＝，所以AC＝＝＝2.
2．在△ABC中，A∶B＝1∶2，sin C＝1，則a∶b∶c＝ .
答案 1∶∶2
解析 由sin C＝1，∴C＝，由A∶B＝1∶2，故A＋B＝3A＝，得A＝，B＝，由正弦定理得，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝∶∶＝1∶∶2.
3．(xx·遼寧)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a＞b，則B＝ .
答案
解析 由條件得sin Bcos C＋sin Bcos A＝，
由正弦定理，得sin Acos C＋sin Ccos A＝，
20、
∴sin(A＋C)＝，從而sin B＝，
又a＞b，且B∈(0，π)，因此B＝.
4．△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，則BC邊上的高為 ．
答案
解析 設(shè)AB＝a，則由AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B知7＝a2＋4－2a，即a2－2a－3＝0，∴a＝3(負(fù)值舍去)．∴BC邊上的高為AB·sin B＝3×＝.
5．(xx·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ改編)鈍角三角形ABC的面積是，AB＝1，BC＝，則AC＝ .
答案
解析 ∵S＝AB·BCsin B＝×1×sin B＝，
∴sin B＝，∴B＝或.
當(dāng)B＝時(shí)，根據(jù)余弦定理有AC2＝AB
21、2＋BC2－2AB·BCcos B＝1＋2＋2＝5，∴AC＝，此時(shí)△ABC為鈍角三角形，符合題意；
當(dāng)B＝時(shí)，根據(jù)余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝1＋2－2＝1，∴AC＝1，此時(shí)AB2＋AC2＝BC2，△ABC為直角三角形，不符合題意．故AC＝.
6．在△ABC中，若b＝5，B＝，sin A＝，則a＝ .
答案
解析 根據(jù)正弦定理應(yīng)有＝，
∴a＝＝＝.
7．在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C＝，則BC＝ .
答案 4或5
解析 設(shè)BC＝x，則由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C得5＝25＋x2－
22、2·5·x·，即x2－9x＋20＝0，解得x＝4或x＝5.
8．(xx·福建)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，則△ABC的面積等于 ．
答案 2
解析 如圖所示，在△ABC中，由正弦定理得＝，解得sin B＝1，所以B＝90°，所以S△ABC＝×AB×2＝××2＝2.
9．(xx·北京)在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝2A.
(1)求cos A的值；
(2)求c的值．
解 (1)在△ABC中，由正弦定理
＝?＝＝，
∴cos A＝.
(2)由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A?32＝(2)2＋c2－2×2c×，
則c2－8c＋1
23、5＝0.
∴c＝5或c＝3.
當(dāng)c＝3時(shí)，a＝c，∴A＝C.
由A＋B＋C＝π，知B＝，與a2＋c2≠b2矛盾．
∴c＝3舍去．故c的值為5.
10．(xx·遼寧)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a>c，已知·＝2，cos B＝，b＝3.求：
(1)a和c的值；
(2)cos(B－C)的值．
解 (1)由·＝2得c·acos B＝2.
又cos B＝，所以ac＝6.
由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B.
又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×6×＝13.
解得或
因?yàn)閍>c，所以a＝3，c＝2.
(2)在△ABC中，
sin B＝＝
24、 ＝，
由正弦定理，得sin C＝sin B＝×＝.
因?yàn)閍＝b>c，所以C為銳角，
因此cos C＝＝ ＝.
于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C
＝×＋×＝.
B組 專項(xiàng)能力提升
(時(shí)間：20分鐘)
1．△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a，則＝ .
答案
解析 ∵asin Asin B＋bcos2A＝a，
∴sin Asin Asin B＋sin Bcos2A＝sin A，
∴sin B＝sin A，∴＝＝.
2．在△ABC中，若b＝5，B＝，tan A＝2，則
25、a＝ .
答案 2
解析 由tan A＝2得sin A＝2cos A.
又sin2A＋cos2A＝1得sin A＝.
∵b＝5，B＝，
根據(jù)正弦定理，有＝，
∴a＝＝＝2.
3．(xx·江蘇)若△ABC的內(nèi)角滿足sin A＋sin B＝2sin C，則cos C的最小值是 ．
答案
解析 由sin A＋sin B＝2sin C，
結(jié)合正弦定理得a＋b＝2c.
由余弦定理得cos C＝
＝＝
≥＝，
故≤cos C<1，
故cos C的最小值為.
4．(xx·浙江)在△AB
26、C中，C＝90°，M是BC的中點(diǎn)．若sin∠BAM＝，則sin∠BAC＝ .
答案
解析 因?yàn)閟in∠BAM＝，
所以cos∠BAM＝.
如圖，在△ABM中，利用正弦定理，得＝，所以＝＝＝.
在Rt△ACM中，有＝sin∠CAM＝sin(∠BAC－∠BAM)．由題意知BM＝CM，
所以＝sin(∠BAC－∠BAM)．
化簡(jiǎn)，得2sin∠BACcos∠BAC－cos2∠BAC＝1.
所以2tan∠BAC－1＝tan2∠BAC＋1，
解得tan∠BAC＝.
再結(jié)合sin2∠BAC＋cos2∠BAC＝1，∠BAC為銳角可解得sin∠BAC＝.
5．已知△ABC的
27、三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，角B所對(duì)的邊b＝，且函數(shù)f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x－在x＝A處取得最大值．
(1)求f(x)的值域及周期；
(2)求△ABC的面積．
解 (1)因?yàn)锳，B，C成等差數(shù)列，
所以2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，
所以B＝，即A＋C＝.
因?yàn)閒(x)＝2sin2x＋2sin xcos x－
＝(2sin2x－1)＋sin 2x＝sin 2x－cos 2x
＝2sin，
所以T＝＝π.
又因?yàn)閟in∈[－1,1]，
所以f(x)的值域?yàn)閇－2,2]．
(2)因?yàn)閒(x)在x＝A處取得最大值，
所以sin＝1.
因?yàn)?
2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪（文） 第三章 3-7正弦定理、余弦定理《教案》
