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2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 必修五 2-4 第2課時 等比數(shù)列的性質(zhì)(教案)

上傳人:xt****7 文檔編號:105516775 上傳時間:2022-06-12 格式:DOC 頁數(shù):6 大?。?6.50KB
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1、2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 必修五 2-4 第2課時 等比數(shù)列的性質(zhì)(教案) 教學(xué)重點(diǎn) 1.探究等比數(shù)列更多的性質(zhì); 2.解決生活實(shí)際中的等比數(shù)列的問題. 教學(xué)難點(diǎn) 滲透重要的數(shù)學(xué)思想. 教具準(zhǔn)備 多媒體課件、投影膠片、投影儀等 三維目標(biāo) 一、知識與技能 1.了解等比數(shù)列更多的性質(zhì); 2.能將學(xué)過的知識和思想方法運(yùn)用于對等比數(shù)列性質(zhì)的進(jìn)一步思考和有關(guān)等比數(shù)列的實(shí)際問題的解決中; 3.能在生活實(shí)際的問題情境中,抽象出等比數(shù)列關(guān)系,并能用有關(guān)的知識解決相應(yīng)的實(shí)際問題. 二、過程與方法 1.繼續(xù)采用觀察、思考、類比、歸納、探究、得出結(jié)論的方法進(jìn)行教學(xué);

2、 2.對生活實(shí)際中的問題采用合作交流的方法,發(fā)揮學(xué)生的主體作用,引導(dǎo)學(xué)生探究問題的解決方法,經(jīng)歷解決問題的全過程; 3.當(dāng)好學(xué)生學(xué)習(xí)的合作者的角色. 三、情感態(tài)度與價(jià)值觀 1.通過對等比數(shù)列更多性質(zhì)的探究,培養(yǎng)學(xué)生的良好的思維品質(zhì)和思維習(xí)慣,激發(fā)學(xué)生對知識的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度,培養(yǎng)學(xué)生的類比、歸納的能力; 2.通過生活實(shí)際中有關(guān)問題的分析和解決,培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識社會、了解社會的意識,更多地知道數(shù)學(xué)的社會價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值. 教學(xué)過程 導(dǎo)入新課 師 教材中第59頁練習(xí)第3題、第4題,請學(xué)生課外進(jìn)行活動探究,現(xiàn)在請同學(xué)們把你們的探究結(jié)果展示一下. 生 由學(xué)習(xí)小組

3、匯報(bào)探究結(jié)果. 師 對各組的匯報(bào)給予評價(jià). 師 出示多媒體幻燈片一:第3題、第4題詳細(xì)解答: 第3題解答: (1)將數(shù)列{an}的前k項(xiàng)去掉,剩余的數(shù)列為a k+1,a k+2,….令bi=ak+i,i=1,2,…, 則數(shù)列a k+1,ak+2,…,可視為b1,b2,…. 因?yàn)?(i≥1),所以,{bn}是等比數(shù)列,即a k+1,ak+2,…是等比數(shù)列. (2){an}中每隔10項(xiàng)取出一項(xiàng)組成的數(shù)列是a1,a 11,a 21,…,則 (k≥1). 所以數(shù)列a1,a 11,a21,…是以a1為首項(xiàng),q10為公比的等比數(shù)列. 猜想:在數(shù)列{an}中每隔m(

4、m是一個正整數(shù))取出一項(xiàng),組成一個新數(shù)列,這個數(shù)列是以a1為首項(xiàng)、qm為公比的等比數(shù)列. ◇本題可以讓學(xué)生認(rèn)識到,等比數(shù)列中下標(biāo)為等差數(shù)列的子數(shù)列也構(gòu)成等比數(shù)列,可以讓學(xué)生再探究幾種由原等比數(shù)列構(gòu)成的新等比數(shù)列的方法. 第4題解答: (1)設(shè){an}的公比是q,則 a52=(a1q4)2=a12q8, 而a3·a7=a1q2·a1q6=a12q8, 所以a52=a3·a7. 同理,a52=a1·a9. (2)用上面的方法不難證明an2=a n-1·a n+1(n>1).由此得出,an是a n-1和a n+1的等比中項(xiàng),同理可證an2=a n-k·an+k(n>k

5、>0).an是an-k和an+k的等比中項(xiàng)(n>k>0). 師 和等差數(shù)列一樣,等比數(shù)列中蘊(yùn)涵著許多的性質(zhì),如果我們想知道的更多,就要對它作進(jìn)一步的探究. 推進(jìn)新課 [合作探究] 師 出示投影膠片1 例題1 (教材P61B組第3題)就任一等差數(shù)列{an},計(jì)算a7+a 10,a8+a9和a10+a 40,a20+a30,你發(fā)現(xiàn)了什么一般規(guī)律,能把你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用一般化的推廣嗎?從等差數(shù)列和函數(shù)之間的聯(lián)系的角度來分析這個問題.在等比數(shù)列中會有怎樣的類似結(jié)論? 師 注意題目中“就任一等差數(shù)列{an}”,你打算用一個什么樣的等差數(shù)列來計(jì)算? 生 用等差數(shù)列1,2,3,… 師

6、 很好,這個數(shù)列最便于計(jì)算,那么發(fā)現(xiàn)了什么樣的一般規(guī)律呢? 生 在等差數(shù)列{an}中,若k+s=p+q(k,s,p,q∈N *),則ak+as=ap+aq. 師 題目要我們“從等差數(shù)列與函數(shù)之間的聯(lián)系的角度來分析這個問題”,如何做? 生 思考、討論、交流. 師 出示多媒體課件一:等差數(shù)列與函數(shù)之間的聯(lián)系. [教師精講] 師 從等差數(shù)列與函數(shù)之間的聯(lián)系的角度來分析這個問題:由等差數(shù)列{an}的圖象,可以看出, 根據(jù)等式的性質(zhì),有. 所以ak+as=ap+aq. 師 在等比數(shù)列中會有怎樣的類似結(jié)論? 生 猜想對于等比數(shù)列{an},類似的性質(zhì)為:k+s=p

7、+t(k,s,p,t∈N*),則 ak·as=ap·at. 師 讓學(xué)生給出上述猜想的證明. 證明:設(shè)等比數(shù)列{an}公比為q, 則有ak·a s=a1qk-1·a1qs-1=a12·qk+s-2, ap·at=a1q p-1·a1qt-1=a12·qp+t-2. 因?yàn)閗+s=p+t, 所以有ak·as=ap·at. 師 指出:經(jīng)過上述猜想和證明的過程,已經(jīng)得到了等比數(shù)列的一個新的性質(zhì). 即等比數(shù)列{an}中,若k+s=p+t(k,s,p,t∈N*),則有ak·as=ap·at. 師 下面有兩個結(jié)論: (1)與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之積等于首末兩項(xiàng)的積;

8、 (2)與某一項(xiàng)距離相等的兩項(xiàng)之積等于這一項(xiàng)的平方. 你能將這兩個結(jié)論與上述性質(zhì)聯(lián)系起來嗎? 生 思考、列式、合作交流,得到: 結(jié)論(1)就是上述性質(zhì)中1+n=(1+t)+(n-t)時的情形; 結(jié)論(2)就是上述性質(zhì)中k+k=(k+t)+(k-t)時的情形. 師 引導(dǎo)學(xué)生思考,得出上述聯(lián)系,并給予肯定的評價(jià). 師 上述性質(zhì)有著廣泛的應(yīng)用. 師 出示投影膠片2:例題2 例題2 (1)在等比數(shù)列{an}中,已知a1=5,a9a 10=100,求a 18; (2)在等比數(shù)列{bn}中,b4=3,求該數(shù)列前七項(xiàng)之積; (3)在等比數(shù)列{an}中,a2=-2

9、,a5=54,求a8. 例題2 三個小題由師生合作交流完成,充分讓學(xué)生思考,展示將問題與所學(xué)的性質(zhì)聯(lián)系到一起的思維過程. 解答: (1)在等比數(shù)列{an}中,已知a1=5,a9a10=100,求a 18. 解:∵a1a 18=a9a 10,∴a 18= =20. (2)在等比數(shù)列{bn}中,b4=3,求該數(shù)列前七項(xiàng)之積. 解:b1b2b3b4b5b6b7=(b1b7)(b2b6)(b3b5)b4. ∵b42=b1b7=b2b6=b3b5,∴前七項(xiàng)之積(32)3×3=37=2 187. (3)在等比數(shù)列{an}中,a2=-2,a5=54,求a8. 解:.∵a5是

10、a2與a8的等比中項(xiàng),∴542=a8×(-2). ∴a8=-1 458. 另解:a8=a5q3=a5·=-1 458. [合作探究] 師 判斷一個數(shù)列是否成等比數(shù)列的方法:1、定義法;2、中項(xiàng)法;3、通項(xiàng)公式法. 例題3:已知{an}{bn}是兩個項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列,仿照下表中的例子填寫表格.從中你能得出什么結(jié)論?證明你的結(jié)論. an bn an·bn 判斷{an·bn}是否是等比數(shù)列 例 -5×2n-1 是 自選1 自選2 師 請同學(xué)們自己完成上面的表. 師 根據(jù)這個表格,我們可以得到什么樣的結(jié)論?如何

11、證明? 生 得到:如果{an}、{bn}是兩個項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列,那么{an·bn}也是等比數(shù)列. 證明如下: 設(shè)數(shù)列{an}的公比是p,{bn}公比是q,那么數(shù)列{an·bn}的第n項(xiàng)與第n+1項(xiàng)分別為a1p n-1b1qn-1與a1pnb1qn,因?yàn)楠? , 它是一個與n無關(guān)的常數(shù),所以{an·bn}是一個以pq為公比的等比數(shù)列. [教師精講] 除了上面的證法外,我們還可以考慮如下證明思路: 證法二: 設(shè)數(shù)列{an}的公比是p,{bn}公比是q,那么數(shù)列{an·bn}的第n項(xiàng)、第n-1項(xiàng)與第n+1項(xiàng)(n>1,n∈N *)分別為a1p n-1b1q n-1、a

12、1p n-2b1qn-2與a1pnb1qn,因?yàn)楠? (anbn)2=(a1p n-1b1qn-1)2=(a1b1)2(pq) 2(n-1), (a n-1·bn-1)(a n+1·bn+1)=(a1pn-2b1qn-2)(a1pnb1qn)=(a1b1)2(pq)2(n-1), 即有(anbn)2=(a n-1·bn-1)(a n+1·bn+1)(n>1,n∈N *), 所以{an·bn}是一個等比數(shù)列. 師 根據(jù)對等比數(shù)列的認(rèn)識,我們還可以直接對數(shù)列的通項(xiàng)公式考察: 證法三:設(shè)數(shù)列{an}的公比是p,{bn}公比是q,那么數(shù)列{an·bn}的通項(xiàng)公式為 anbn=a1p n-1b1qn-1=(a1b1)(pq) n-1, 設(shè)cn=anbn,則cn=(a1b1)(pq) n-1, 所以{an·bn}是一個等比數(shù)列. 課堂小結(jié) 本節(jié)學(xué)習(xí)了如下內(nèi)容: 1.等比數(shù)列的性質(zhì)的探究. 2.證明等比數(shù)列的常用方法. 布置作業(yè) 課本第60頁習(xí)題2.4 A組第3題、B組第1題. 板書設(shè)計(jì) 等比數(shù)列的基本性質(zhì)及其應(yīng)用 例1           例2           例3

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