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1、2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 選修2-1 2-1曲線與方程 教案 一、教學(xué)目標(biāo) (一)知識教學(xué)點 使學(xué)生掌握常用動點的軌跡以及求動點軌跡方程的常用技巧與方法． (二)能力訓(xùn)練點 通過對求軌跡方程的常用技巧與方法的歸納和介紹，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用各方面知識的能力． (三)學(xué)科滲透點 通過對求軌跡方程的常用技巧與方法的介紹，使學(xué)生掌握常用動點的軌跡，為學(xué)習(xí)物理等學(xué)科打下扎實的基礎(chǔ)． 二、教材分析 1．重點：求動點的軌跡方程的常用技巧與方法． (解決辦法：對每種方法用例題加以說明，使學(xué)生掌握這種方法．) 2．難點：作相關(guān)點法求動點的軌跡方法． (解決辦法：先使學(xué)生了解相關(guān)點法的思路

2、，再用例題進(jìn)行講解．) 三、活動設(shè)計 提問、講解方法、演板、小測驗． 四、教學(xué)過程 (一)復(fù)習(xí)引入 大家知道，平面解析幾何研究的主要問題是： (1)根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程； (2)通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)． 我們已經(jīng)對常見曲線圓、橢圓、雙曲線以及拋物線進(jìn)行過這兩個方面的研究，今天在上面已經(jīng)研究的基礎(chǔ)上來對根據(jù)已知條件求曲線的軌跡方程的常見技巧與方法進(jìn)行系統(tǒng)分析． (二)幾種常見求軌跡方程的方法 1．直接法 由題設(shè)所給(或通過分析圖形的幾何性質(zhì)而得出)的動點所滿足的幾何條件列出等式，再用坐標(biāo)代替這等式，化簡得曲線的方程，這種方法叫直接法． 例1(1)求和

3、定圓x2+y2=k2的圓周的距離等于k的動點P的軌跡方程； (2)過點A(a，o)作圓O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割線，求割線被圓O截得弦的中點的軌跡． 對(1)分析： 動點P的軌跡是不知道的，不能考查其幾何特征，但是給出了動點P的運(yùn)動規(guī)律：|OP|=2R或|OP|=0． 解：設(shè)動點P(x，y)，則有|OP|=2R或|OP|=0． 即x2+y2=4R2或x2+y2=0． 故所求動點P的軌跡方程為x2+y2=4R2或x2+y2=0． 對(2)分析： 題設(shè)中沒有具體給出動點所滿足的幾何條件，但可以通過分析圖形的幾何性質(zhì)而得出，即圓心與弦的中點連線垂直于弦，它們的斜率互為負(fù)倒

4、數(shù)．由學(xué)生演板完成， 解答為：設(shè)弦的中點為M(x，y)，連結(jié)OM，則OM⊥AM． ∵kOM·kAM=-1， 其軌跡是以O(shè)A為直徑的圓在圓O內(nèi)的一段弧(不含端點)． 2．定義法 利用所學(xué)過的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義直接寫出所求的動點的軌跡方程，這種方法叫做定義法．這種方法要求題設(shè)中有定點與定直線及兩定點距離之和或差為定值的條件，或利用平面幾何知識分析得出這些條件． 直平分線l交半徑OQ于點P(見圖2－45)，當(dāng)Q點在圓周上運(yùn)動時，求點P的軌跡方程． 分析： ∵點P在AQ的垂直平分線上，∴|PQ|=|PA|． 又P在半徑OQ上．∴|PO|+|P

5、Q|=R，即|PO|+|PA|=R． 故P點到兩定點距離之和是定值，可用橢圓定義，寫出P點的軌跡方程． 解：連接PA ∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|．又P在半徑OQ上．∴|PO|+|PQ|=2． 由橢圓定義可知：P點軌跡是以O(shè)、A為焦點的橢圓． 3．相關(guān)點法 若動點P(x，y)隨已知曲線上的點Q(x0，y0)的變動而變動，且x0、y0可用x、y表示，則將Q點坐標(biāo)表達(dá)式代入已知曲線方程，即得點P的軌跡方程．這種方法稱為相關(guān)點法(或代換法)． 例3　 已知拋物線y2=x+1，定點A(3，1)、B為拋物線上任意一點，點P在線段AB上，且有BP∶PA=1∶2，當(dāng)B點在拋物線上變動

6、時，求點P的軌跡方程． 分析： P點運(yùn)動的原因是B點在拋物線上運(yùn)動，因此B可作為相關(guān)點，應(yīng)先找出點P與點B的聯(lián)系． 解：設(shè)點P(x，y)，且設(shè)點B(x0，y0) ∵BP∶PA=1∶2，且P為線段AB的內(nèi)分點． 4．待定系數(shù)法 求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數(shù)法求． 例4　 已知拋物線y2=4x和以坐標(biāo)軸為對稱軸、實軸在y軸上的雙曲線僅有兩個公共點，又直線y=2x被雙曲線截得的線段長等于，求此雙曲線的方程。 分析： 因為雙曲線以坐標(biāo)軸為對稱軸，實軸在y軸上，所以可設(shè)雙曲線方 ax2-4b2x+a2b2=0 ∵拋物線和雙曲線僅有兩個公共點

7、，根據(jù)它們的對稱性，這兩個點的橫坐標(biāo)應(yīng)相等，因此方程ax2-4b2x+a2b2=0應(yīng)有等根． ∴△=1664-4Q4b2=0，即a2=2b． (以下由學(xué)生完成) 由弦長公式得： 即a2b2=4b2-a2． (三)鞏固練習(xí) 用十多分鐘時間作一個小測驗，檢查一下教學(xué)效果．練習(xí)題用一小黑板給出． 1． △ABC一邊的兩個端點是B(0，6)和C(0，-6)，另兩邊斜率的積是，求頂點A的軌跡。 2．點P與一定點F(2，0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是1∶2，求點P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形？ 答案： (四)小結(jié) 求曲線的軌跡方程一般地有直接法、定義法、相關(guān)點法、待定系數(shù)法，還有參數(shù)法、復(fù)數(shù)法也是求曲線的軌跡方程的常見方法，這等到講了參數(shù)方程、復(fù)數(shù)以后再作介紹． 五、布置作業(yè) 1．兩定點的距離為6，點M到這兩個定點的距離的平方和為26，求點M的軌跡方程． 2．動點P到點F1(1，0)的距離比它到F2(3，0)的距離少2，求P點的軌跡． 作業(yè)答案： 1．以兩定點A、B所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，得點M的軌跡方程x2+y2=4 2．∵|PF2|-|PF|=2，且|F1F2|∴P點只能在x軸上且x＜1，軌跡是一條射線 六、板書設(shè)計