2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪(文) 第三章 3-1角的概念及任意角的三角函數(shù)《教案》
《2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪(文) 第三章 3-1角的概念及任意角的三角函數(shù)《教案》》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪(文) 第三章 3-1角的概念及任意角的三角函數(shù)《教案》(12頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪(文) 第三章 3-1角的概念及任意角的三角函數(shù)《教案》 1.角的概念 (1)任意角:①定義:一個(gè)角可以看做平面內(nèi)一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形;②分類:角按旋轉(zhuǎn)方向分為正角、負(fù)角和零角. (2)所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),構(gòu)成的角的集合是S={β|β=k·360°+α,k∈Z}. (3)象限角:使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,那么,角的終邊在第幾象限,就說這個(gè)角是第幾象限角;如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,那么這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限. 2.弧度制 (1)定義:把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的
2、圓心角叫做1弧度的角,正角的弧度數(shù)是正數(shù),負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù),零角的弧度數(shù)是0. (2)角度制和弧度制的互化:180°=π rad,1°= rad,1 rad=°. (3)扇形的弧長(zhǎng)公式:l=|α|·r,扇形的面積公式:S=lr=|α|·r2. 3.任意角的三角函數(shù) 任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y)時(shí),sin α=y(tǒng),cos α=x,tan α=(x≠0).三個(gè)三角函數(shù)的初步性質(zhì)如下表: 三角函數(shù) 定義域 第一象限符號(hào) 第二象 限符號(hào) 第三象 限符號(hào) 第四象 限符號(hào) sin α R + + - - cos α R + - - + ta
3、n α {α|α≠kπ+,k∈Z} + - + - 4.三角函數(shù)線 如下圖,設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P,過P作PM⊥x軸,垂足為M,過A(1,0)作單位圓的切線與α的終邊或終邊的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)T. 三角函 數(shù)線 有向線段MP為正弦線;有向線段OM為余弦線;有向線段AT為正切線 【思考辨析】 判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”) (1)角α終邊上點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-,),那么sin α=,cos α=-;同理角α終邊上點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x0,y0),那么sin α=y(tǒng)0,cos α=x0.( × ) (2)銳角是第一象限角,反之亦然.( × )
4、 (3)終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.( √ ) (4)點(diǎn)P(tan α,cos α)在第三象限,則角α終邊在第二象限.( √ ) (5)α∈(0,),則tan α>α>sin α.( √ ) (6)α為第一象限角,則sin α+cos α>1.( √ ) 1.角-870°的終邊所在的象限是第________象限. 答案 三 解析 由-870°=-1 080°+210°,知-870°角和210°角終邊相同,在第三象限. 2.已知2弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2,那么這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是________. 答案 解析 設(shè)圓的半徑為r,則sin 1=,∴r=, ∴2弧
5、度的圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)為2r=. 3.已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊為x軸的正半軸,若P(4,y)是角θ終邊上一點(diǎn),且sin θ=-,則y=____________. 答案?。? 解析 因?yàn)閟in θ==-, 所以y<0,且y2=64,所以y=-8. 4.函數(shù)y=的定義域?yàn)開_______. 答案 (k∈Z) 解析 ∵2cos x-1≥0, ∴cos x≥. 由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影所示). ∴x∈(k∈Z). 題型一 角及其表示 例1 (1)終邊在直線y=x上的角的集合是________. (2)如果α是第三象限角,那么角2α的終邊落在____
6、____. 答案 (1){α|α=kπ+,k∈Z} (2)第一、二象限或y軸的非負(fù)半軸上 解析 (1)∵在(0,π)內(nèi)終邊在直線y=x上的角是, ∴終邊在直線y=x上的角的集合為{α|α=+kπ,k∈Z}. (2)∵2kπ+π<α<2kπ+π,k∈Z, ∴4kπ+2π<2α<4kπ+3π,k∈Z. ∴角2α的終邊落在第一、二象限或y軸的非負(fù)半軸上. 思維升華 (1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角,方法是先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合,然后通過對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來求得所需的角. (2)利用終邊相同的角的集合S={β|β=2kπ+α,k∈Z}判斷一個(gè)角β所在
7、的象限時(shí),只需把這個(gè)角寫成[0,2π)范圍內(nèi)的一個(gè)角α與2π的整數(shù)倍的和,然后判斷角α的象限. (1)在直角坐標(biāo)平面內(nèi),對(duì)于始邊為x軸非負(fù)半軸的角,下列命題中正確的是________.(填序號(hào)) ①第一象限中的角一定是銳角; ②終邊相同的角必相等; ③相等的角終邊一定相同; ④不相等的角終邊一定不同. (2)已知角α=45°,在區(qū)間[-720°,0°]內(nèi)與角α有相同終邊的角β=________. 答案 (1)③ (2)-675°或-315° 解析 (1)第一象限角是滿足2kπ<α<2kπ+,k∈Z的角,當(dāng)k≠0時(shí),它都不是銳角,與角α終邊相同的角是2kπ+α,k∈Z;當(dāng)k≠0
8、時(shí),它們都與α不相等,亦即終邊相同的角可以不相等,但不相等的角終邊可以相同. (2)由終邊相同的角關(guān)系知β=k·360°+45°,k∈Z, ∴取k=-2,-1,得β=-675°或β=-315°. 題型二 三角函數(shù)的概念 例2 (1)已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與x軸的正半軸重合,終邊在直線y=2x上,則cos 2θ=________. (2)若sin αtan α<0,且<0,則角α是第________象限角. 思維點(diǎn)撥 (1)由于三角函數(shù)值與選擇終邊上的哪個(gè)點(diǎn)沒有關(guān)系,因此知道了終邊所在的直線,可在這個(gè)直線上任取一點(diǎn),然后按照三角函數(shù)的定義來計(jì)算,最后用倍角公式求值. (2)
9、可以根據(jù)各象限內(nèi)三角函數(shù)值的符號(hào)判斷. 答案 (1)- (2)三 解析 (1)取終邊上一點(diǎn)(a,2a),a≠0,根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義,可得cos θ=±, 故cos 2θ=2cos2θ-1=-. (2)由sin αtan α<0可知sin α,tan α異號(hào),從而角α為第二或第三象限角. 由<0可知cos α,tan α異號(hào),從而角α為第三或第四象限角,故角α為第三象限角. 思維升華 (1)利用三角函數(shù)的定義,求一個(gè)角的三角函數(shù)值,需確定三個(gè)量:角的終邊上任意一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x,縱坐標(biāo)y,該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r. (2)根據(jù)三角函數(shù)定義中x、y的符號(hào)來確定各象限內(nèi)三角函數(shù)
10、的符號(hào),理解并記憶:“一全正、二正弦、三正切、四余弦”.
(1)已知角α的終邊過點(diǎn)P(-8m,-6sin 30°),且cos α=-,則m的值為________.
(2)若θ是第二象限角,則________0.(判斷大小)
答案 (1) (2)<
解析 (1)∵r=,
∴cos α==-,
∴m>0,∴=,即m=.
(2)∵θ是第二象限角,∴-1
11、形的弧長(zhǎng)及該弧所在的弓形的面積; (2)若扇形的周長(zhǎng)是一定值C (C>0),當(dāng)α為多少弧度時(shí),該扇形有最大面積? 思維點(diǎn)撥 (1)弓形面積可用扇形面積與三角形面積相減得到;(2)建立關(guān)于α的函數(shù). 解 (1)設(shè)弧長(zhǎng)為l,弓形面積為S弓,則 α=60°=,R=10,l=×10= (cm), S弓=S扇-S△=××10-×102×sin =π-=50 (cm2). (2)扇形周長(zhǎng)C=2R+l=2R+αR,∴R=, ∴S扇=α·R2=α·2 =α·=·≤. 當(dāng)且僅當(dāng)α2=4,即α=2時(shí),扇形面積有最大值. 思維升華 涉及弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算時(shí),可用的公式有角度表示和弧度表示兩
12、種,其中弧度表示的公式結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,易記好用,在使用前,應(yīng)將圓心角用弧度表示.弧長(zhǎng)和扇形面積公式:l=|α|R,S=|α|R2. 已知扇形的周長(zhǎng)為4 cm,當(dāng)它的半徑為________和圓心角為________弧度時(shí),扇形面積最大,這個(gè)最大面積是________. 答案 1 cm 2 1 cm2 解析 設(shè)扇形圓心角為α,半徑為r,則 2r+|α|r=4,∴|α|=-2. ∴S扇形=|α|·r2=2r-r2=-(r-1)2+1, ∴當(dāng)r=1時(shí),(S扇形)max=1,此時(shí)|α|=2. 數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用 典例:(1)函數(shù)y= 的定義域?yàn)開_______. (2)如圖
13、,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一單位圓的圓心的初始位置在(0,1),此時(shí)圓上一點(diǎn)P的位置在(0,0),圓在x軸上沿正向滾動(dòng).當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于C(2,1)時(shí),的坐標(biāo)為________. 思維點(diǎn)撥 (1)求函數(shù)定義域可轉(zhuǎn)化為解不等式sin x≥,利用三角函數(shù)線可直觀清晰地得出角x的范圍. (2)點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng)的弧長(zhǎng)是本題的關(guān)鍵,可在圖中作三角形,尋找P點(diǎn)坐標(biāo)和三角形邊長(zhǎng)的關(guān)系. 解析 (1)∵sin x≥,作直線y=交單位圓于A、B兩點(diǎn),連結(jié)OA、OB,則OA與OB圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角α的終邊的范圍,故滿足條件的角α的集合為 {x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}. (2)如圖
14、所示,過圓心C作x軸的垂線,垂足為A,過P作x軸的垂線與過C作y軸的垂線交于點(diǎn)B.因?yàn)閳A心移動(dòng)的距離為2,所以劣弧=2,即圓心角∠PCA=2, 則∠PCB=2-,所以PB=sin(2-)=-cos 2, CB=cos(2-)=sin 2, 所以xP=2-CB=2-sin 2,yP=1+PB=1-cos 2, 所以=(2-sin 2,1-cos 2). 答案 (1)[2kπ+,2kπ+π], k∈Z (2)(2-sin 2,1-cos 2) 溫馨提醒 (1)利用三角函數(shù)線解三角不等式要在單位圓中先作出臨界情況,然后觀察適合條件的角的位置;(2)解決和旋轉(zhuǎn)有關(guān)的問題要抓住旋轉(zhuǎn)過程
15、中角的變化,結(jié)合弧長(zhǎng)公式、三角函數(shù)定義尋找關(guān)系. 方法與技巧 1.在利用三角函數(shù)定義時(shí),點(diǎn)P可取終邊上任一點(diǎn),如有可能則取終邊與單位圓的交點(diǎn).OP=r一定是正值. 2.三角函數(shù)符號(hào)是重點(diǎn),也是難點(diǎn),在理解的基礎(chǔ)上可借助口訣:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 3.在解簡(jiǎn)單的三角不等式時(shí),利用單位圓及三角函數(shù)線是一個(gè)小技巧. 失誤與防范 1.注意易混概念的區(qū)別:象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角.第一類是象限角,第二、第三類是區(qū)間角. 2.角度制與弧度制可利用180°=π rad進(jìn)行互化,在同一個(gè)式子中,采用的度量制度必須一致,不可混用. 3.已知三角函數(shù)值的符號(hào)確
16、定角的終邊位置不要遺漏終邊在坐標(biāo)軸上的情況. A組 專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間:40分鐘) 1.角α的終邊過點(diǎn)P(-1,2),則sin α=________. 答案 解析 由三角函數(shù)的定義, 得sin α==. 2.若一圓弧長(zhǎng)等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng),則其圓心角α∈(0,π)的弧度數(shù)為________. 答案 解析 設(shè)圓半徑為r,則其內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)為r, 所以r=α·r,∴α=. 3.已知角x的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為(sin,cos),則角x的最小正值為________. 答案 解析 因?yàn)閟in x=cos=-,cos x=sin=, 所以x=-+2kπ
17、(k∈Z),故當(dāng)k=1時(shí),x=,
即角x的最小正值為.
4.若α是第三象限角,則y=+的值為________.
答案 0
解析 ∵α是第三象限角,
∴2kπ+π<α<2kπ+π(k∈Z),
∴kπ+< 18、==,
于是===.
6.設(shè)α為第二象限角,其終邊上一點(diǎn)為P(m,),且cos α=m,則sin α的值為________.
答案
解析 設(shè)P(m,)到原點(diǎn)O的距離為r,
則=cos α=m,
∴r=2,sin α===.
7.如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)A,點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為,則cos α=________.
答案?。?
解析 由題意及圖,易知A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-,
所以cos α=-.
8.函數(shù)y=+ 的定義域是________________________________________.
答案 (k∈Z)
解析 由題意知即
∴x 19、的取值范圍為+2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z.
9.已知角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-,m) (m≠0)且sin θ=m,試判斷角θ所在的象限,并求cos θ和tan θ的值.
解 由題意,得r=,
所以sin θ==m.
因?yàn)閙≠0,所以m=±,故角θ是第二或第三象限角.
當(dāng)m=時(shí),r=2,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-,),角θ是第二象限角,
所以cos θ===-,
tan θ===-;
當(dāng)m=-時(shí),r=2,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-,-),角θ是第三象限角,
所以cos θ===-,
tan θ===.
10.已知扇形的圓心角是α,半徑為R,弧長(zhǎng)為l.
(1)若α=60°,R=10 cm,求扇 20、形的弧長(zhǎng)l.
(2)若扇形的周長(zhǎng)為20 cm,當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí),這個(gè)扇形的面積最大?
(3)若α=,R=2 cm,求扇形的弧所在的弓形的面積.
解 (1)α=60°=,l=10×=(cm).
(2)由已知得,l+2R=20,
所以S=lR=(20-2R)R=10R-R2
=-(R-5)2+25,
所以當(dāng)R=5時(shí),S取得最大值25,
此時(shí)l=10,α=2.
(3)設(shè)弓形面積為S弓.
由題知l=cm,
S弓=S扇形-S三角形
=××22-×22×sin
=(-)(cm2).
B組 專項(xiàng)能力提升
(時(shí)間:20分鐘)
1.若一扇形的圓心角為72°,半徑為20 21、 cm,則扇形的面積為________cm2.
答案 80π
解析 ∵72°=,
∴S扇形=αr2=××202=80π(cm2).
2.已知角α=2kπ-(k∈Z),若角θ與角α的終邊相同,則y=++的值為________.
答案 -1
解析 由α=2kπ-(k∈Z)及終邊相同的概念知,角α的終邊在第四象限,
又角θ與角α的終邊相同,所以角θ是第四象限角,
所以sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0.
所以y=-1+1-1=-1.
3.在直角坐標(biāo)系中,O是原點(diǎn),A點(diǎn)坐標(biāo)為(,-1),將OA繞O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)450°到B點(diǎn),則B點(diǎn)的坐標(biāo)為________.
答案 (1, 22、)
解析 設(shè)B(x,y),由題意知OA=OB=2,∠BOx=60°,且點(diǎn)B在第一象限,
∴x=2cos 60°=1,
∴y=2sin 60°=,
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,).
4.設(shè)MP和OM分別是角的正弦線和余弦線,則給出的以下不等式:
①M(fèi)P
- 溫馨提示:
1: 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
2: 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
3.本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
5. 裝配圖網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 110中國(guó)人民警察節(jié)(筑牢忠誠(chéng)警魂感受別樣警彩)
- 2025正字當(dāng)頭廉字入心爭(zhēng)當(dāng)公安隊(duì)伍鐵軍
- XX國(guó)企干部警示教育片觀后感筑牢信仰之基堅(jiān)守廉潔底線
- 2025做擔(dān)當(dāng)時(shí)代大任的中國(guó)青年P(guān)PT青年思想教育微黨課
- 2025新年工作部署會(huì)圍繞六個(gè)干字提要求
- XX地區(qū)中小學(xué)期末考試經(jīng)驗(yàn)總結(jié)(認(rèn)真復(fù)習(xí)輕松應(yīng)考)
- 支部書記上黨課筑牢清廉信念為高質(zhì)量發(fā)展?fàn)I造風(fēng)清氣正的環(huán)境
- 冬季消防安全知識(shí)培訓(xùn)冬季用電防火安全
- 2025加強(qiáng)政治引領(lǐng)(政治引領(lǐng)是現(xiàn)代政黨的重要功能)
- 主播直播培訓(xùn)直播技巧與方法
- 2025六廉六進(jìn)持續(xù)涵養(yǎng)良好政治生態(tài)
- 員工職業(yè)生涯規(guī)劃方案制定個(gè)人職業(yè)生涯規(guī)劃
- 2024年XX地區(qū)黨建引領(lǐng)鄉(xiāng)村振興工作總結(jié)
- XX中小學(xué)期末考試經(jīng)驗(yàn)總結(jié)(認(rèn)真復(fù)習(xí)輕松應(yīng)考)
- 幼兒園期末家長(zhǎng)會(huì)長(zhǎng)長(zhǎng)的路慢慢地走